行列変換としての線形写像

行列から定義される線形写像

定義域が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)であり、終集合が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるような写像\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、写像\(\boldsymbol{f}\)に入出力するベクトルとして列ベクトルを採用します。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の列ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を像として定めるということです。このような写像\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) +\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{y}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( k\boldsymbol{x}\right) =k\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それに対して\(n\)次元の列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選びます。行列\(A\)の列の個数とベクトル\(\boldsymbol{x}\)の行の個数はともに\(n\)で一致するため両者の行列積\begin{eqnarray*}A\boldsymbol{x} &=&\begin{pmatrix}
\mathrm{row}\left( A,1\right) \cdot \mathrm{col}\left( \boldsymbol{x},1\right)
\\
\vdots \\
\mathrm{row}\left( A,m\right) \cdot \mathrm{col}\left( \boldsymbol{x},1\right)
\end{pmatrix}\quad \because \text{行列積の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
\left( a_{11},\cdots ,a_{1n}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \\
\vdots \\
\left( a_{m1},\cdots ,a_{mn}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right)
\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}
\\
&=&x_{1}\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
\vdots \\
a_{m1}\end{array}\right) +\cdots +x_{n}\left(
\begin{array}{c}
a_{1n} \\
\vdots \\
a_{mn}\end{array}\right) \\
&=&x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left(
A,n\right) \\
&\in &M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}が1つの列ベクトルとして定まります。このような事情を踏まえると、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んで固定したとき、それぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、以下の列ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =A\boldsymbol{x}
\end{equation*}を像として定める多変数のベクトル値写像\begin{equation*}
\boldsymbol{f}_{A}:M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。

行列\(A\)から以上の要領で定義される写像\(\boldsymbol{f}_{A}\)は線形写像になることが保証されます。

線形写像は行列によって表現される

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =A\boldsymbol{x}
\end{equation*}を像として定める写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義すれば、これは線形写像になることが明らかになりました。逆に、線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、任意の列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =A\boldsymbol{x}
\end{equation*}を満たす行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在することを保証できます。順番に解説します。

写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とその定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} =\left\{
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}が与えられれば、以下の行列\begin{eqnarray*}
M\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left( \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \right)
\\
&=&\begin{pmatrix}
f_{1}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right)
\end{pmatrix}
\\
&\in &M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}が定義可能です。これを写像\(\boldsymbol{f}\)の標準行列（standard matrix of \(\boldsymbol{f}\)）と呼びます。

写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像である場合には、任意の列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =A\boldsymbol{x}
\end{equation*}を満たす行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在するとともに、このような行列\(A\)が一意的に定まります。しかも、この行列\(A\)は\(\boldsymbol{f}\)の標準行列と一致します。つまり、\begin{equation*}A=M\left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

標準基底ベクトルと線形写像

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底を、\begin{equation}\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}で表記します。その上で、もう一方の実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)から\(n\)個のベクトル\begin{equation}\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \subset \mathbb{R} ^{m} \quad \cdots (2)
\end{equation}を任意に選びます。このとき、\(\left( 1\right) \)を\(\left(2\right) \)へ写す線形写像、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
\boldsymbol{v}_{1}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) \\
\vdots \\
\boldsymbol{v}_{n}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たす線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が存在することが保証されます。

先の命題に登場する\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底であるため、その要素であるベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\)は線型独立な異なる\(n\)個のベクトルです。一方、\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)から任意に選ぶことができるため、その要素であるベクトル\(\boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\)は線型従属でもよく、また、その中に等しいベクトルが含まれていても問題ありません。

\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトル\(\boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\)を任意に選んだとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\)を\(\boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\)へ写す線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が必ず存在することが明らかになりました。逆に、線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{f}\)が具体的にどのような形状を持つかは、\(\boldsymbol{f}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\)に対して定める\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \)の組み合わせによって完全に決定されます。具体的には以下の通りです。

2つの写像\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、これらが写像として一致することは、以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{g}\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。一方、\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに線形写像である場合には、これらが写像として一致することを示すために\(\mathbb{R} ^{n}\)上のすべてのベクトル\(\boldsymbol{x}\)について\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{x}\right) \)が成り立つことを示す必要はなく、\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底ベクトル\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)に対して定める像が常に一致することを示せば十分です。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} :\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には\(\boldsymbol{f}=\boldsymbol{g}\)になることが保証されます。

以上の命題より、線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が具体的にどのような形状を持つかは、\(\boldsymbol{f}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\)に対して定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \)の組み合わせによって完全に決定されることが明らかになりました。

演習問題