行列ベクトル積としての線形写像

行列から定義される線形写像

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、\(n\)次元の列ベクトル\(x\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選べば、\(A\)の列の個数と\(x\)の行の個数はともに\(n\)で一致するため、両者の行列積\begin{equation*}Ax\in M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。このような行列積を特に行列ベクトル積（matrix vector product）と呼びます。具体的には、\begin{eqnarray*}
Ax &=&\begin{pmatrix}
\mathrm{row}\left( A,1\right) \cdot \mathrm{col}\left( x,1\right) \\
\vdots \\
\mathrm{row}\left( A,m\right) \cdot \mathrm{col}\left( x,1\right)
\end{pmatrix}\quad \because \text{行列の積の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
\left( a_{11},\cdots ,a_{1n}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \\
\vdots \\
\left( a_{m1},\cdots ,a_{mn}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right)
\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}\quad \because \text{内積の定義} \\
&=&x_{1}\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
\vdots \\
a_{m1}\end{array}\right) +\cdots +x_{n}\left(
\begin{array}{c}
a_{1n} \\
\vdots \\
a_{mn}\end{array}\right) \\
&=&x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left(
A,n\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
Ax=x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left(
A,n\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、行列ベクトル積\(Ax\)は行列\(A\)のすべての列からなる集合\begin{equation*}\left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right)
\right\} \subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}の線型結合の1つでもあります。

いずれにせよ、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それぞれの列ベクトル\(x\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、行列ベクトル積\begin{eqnarray*}f_{A}\left( x\right) &=&Ax \\
&=&x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left(
A,n\right)
\end{eqnarray*}を像として定める写像\begin{equation*}
f_{A}:M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能ですが、この写像は線形写像になることが保証されます。

行列ベクトル積としての線形写像

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、入力した列ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)との行列ベクトル積に相当する列ベクトル\(Ax\in \mathbb{R} ^{m}\)を出力する写像\(f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義すれば、それは線形写像になることが明らかになりました。逆に、線形写像が与えられたとき、それは必ず行列ベクトル積の形で表現可能です。しかも、そのような表現は一意的です。順番に解説します。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とその定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底\begin{equation*}\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられれば、以下の行列\begin{equation*}
A=\left( f\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f\left( e_{n}\right) \right) =\begin{pmatrix}
f_{1}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( e_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( e_{n}\right)
\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。これを写像\(f\)の標準行列（standard matrix of \(f\)）と呼びます。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像である場合には、そしてその場合にのみ、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値は、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =Ax
\end{equation*}という形で表されます。しかも、この行列\(A\)は写像\(f\)の標準行列と必ず一致します。つまり、写像\(f\)が線形写像であることと、それが\(f\)の標準行列\(A\)との行列ベクトル積\(Ax\)の形で表現されることは必要十分であるということです。写像\(f\)の標準行列\(A\)は一意的に定まるため、以上の事実は、線形写像とその標準行列が1対1の関係にあることを意味します。

線形写像と標準基底

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の次元は\(n\)であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底には\(n\)個のベクトルが含まれます。そこで、\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底を、\begin{equation}\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}で表記します。その上で、もう一方の実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)の中から\(n\)個のベクトル\begin{equation}\left\{ v_{1},\cdots ,v_{n}\right\} \subset \mathbb{R} ^{m} \quad \cdots (2)
\end{equation}を選んだとき、\(\left( 1\right) \)を\(\left( 2\right) \)へ写す線形写像、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
v_{1}=f\left( e_{1}\right) \\
\vdots \\
v_{n}=f\left( e_{n}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たす線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が存在するとともに、それは一意的に定まることが保証されます。証明では先の命題を利用します。

上の命題より、線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が具体的にどのような形状を持つかは、\(f\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底ベクトル\(e_{1},\cdots ,e_{n}\)に対して定めるベクトル\(f\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f\left(e_{n}\right) \)の組み合わせによって完全に決定されることが明らかになりました。

ちなみに、上の命題に登場する\(\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底であるため、その要素であるベクトル\(e_{1},\cdots ,e_{n}\)は線型独立な異なる\(n\)個のベクトルです。一方、\(\left\{ v_{1},\cdots ,v_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)から任意に選ぶことができるため、その要素であるベクトル\(v_{1},\cdots ,v_{n}\)は線型従属でもよく、また、その中に等しいベクトルが含まれていても問題ありません。

先の命題では線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が標準基底ベクトルに対して定めるベクトルを指定しましたが、実際には、標準基底に限定されない、任意の基底を選んだ場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の次元は\(n\)であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底には\(n\)個のベクトルが含まれます。そこで、\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底を任意に選び、それを、\begin{equation}\left\{ v_{1},\cdots ,v_{n}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}で表記します。その上で、もう一方の実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)の中から\(n\)個のベクトル\begin{equation}\left\{ w_{1},\cdots ,w_{n}\right\} \subset \mathbb{R} ^{m} \quad \cdots (2)
\end{equation}を選んだとき、\(\left( 1\right) \)を\(\left( 2\right) \)へ写す線形写像、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
w_{1}=f\left( v_{1}\right) \\
\vdots \\
w_{n}=f\left( v_{n}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たす線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が存在するとともに、それは一意的に定まることが保証されます。

上の命題より、線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が具体的にどのような形状を持つかは、\(f\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底ベクトル\(v_{1},\cdots,v_{n}\)に対して定めるベクトル\(f\left( v_{1}\right) ,\cdots ,f\left( v_{n}\right) \)の組み合わせによって完全に決定されることが明らかになりました。

演習問題