線形写像の逆像と核（ゼロ空間）

写像による逆像

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトル\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選ぶと、これに対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす始集合\(\mathbb{R} ^{n}\)上のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)は存在するとは限りませんし、存在する場合にも一意的であるとは限りません。そこで、\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たすようなベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)からなる集合を、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( y\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{m}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを\(f\)による\(y\)の逆像（inverse image）や原像（preimage）などと呼びます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(f\)の成分関数です。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が始集合上のそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める像\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)は終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上の「要素」であるようなベクトルです。一方、終集合上に存在するそれぞれのベクトル\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす始集合上のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的であるとは限らないため、逆像\(f^{-1}\left( y\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の「部分集合」であること、すなわち、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であることに注意が必要です。順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow y=f\left( x\right)
\end{equation*}が成立します。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および終集合上のベクトル\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{m}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(f\)によるベクトル\(y\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義される一方で、\(f\)の成分関数\(f_{i}\)によるベクトル\(y\)の第\(i\)成分\(y_{i}\)の逆像は、\begin{equation*}f_{i}^{-1}\left( y_{i}\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ y_{i}=f_{i}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されますが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
f^{-1}\left( y\right) =\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left( y_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、写像\(f\)によるベクトル\(y\)の逆像は、それぞれの成分関数\(f_{i}\)によるベクトル\(y\)の成分\(y_{i}\)の逆像の共通部分と一致します。

以上の命題を利用すれば、写像による点の逆像を求める作業を、その写像の成分関数による点の逆像を求める作業へ帰着させることができます。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選びます。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のそれぞれのベクトル\(x\)に対して\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトル\(f\left( x\right) \)を定めますが、これは\(Y\)の要素であるか否かのどちらか一方です。そこで、\(f\left( x\right) \)が\(Y\)の要素になるような\(x\)からなる集合を、\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(f\)による\(Y\)の逆像（inverse image）や原像（preimage）などと呼びます。\(f^{-1}\left(Y\right) \)は\(f\)の始集合\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。

集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それぞれの\(i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} \)に対して、任意の\(y=\left(y_{1},\cdots ,y_{m}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)について、\begin{equation*}y\in Y\Leftrightarrow y_{i}\in Y_{i}
\end{equation*}を満たす集合\(Y_{i}\subset \mathbb{R} \)を定義します。\(f\)による集合\(Y\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}と定義される一方で、それぞれの成分関数\(f_{i}\)による\(Y_{i}\)の逆像は、\begin{equation*}f_{i}^{-1}\left( Y_{i}\right) =\{x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f_{i}\left( x\right) \in Y_{i}
\end{equation*}と定義されますが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
f^{-1}\left( Y\right) =\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left( Y_{i}\right)
\end{equation*}が成立します。つまり、写像\(f\)による集合\(Y\)の逆像は、それぞれの成分関数\(f_{i}\)による集合\(Y_{i}\)の逆像の共通部分と一致します。

以上の命題を利用すれば、写像による集合の逆像を求める作業を、その写像の成分関数による集合の逆像を求める作業へ帰着させることができます。

線形写像の核（ゼロ集合）

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =Ax
\end{equation*}という形で表されることは、\(f\)が線形写像であるための必要十分条件です。しかも、この行列\(A\)は\(f\)の標準行列と必ず一致します。つまり、\begin{equation*}A=\left( f\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f\left( e_{n}\right) \right) =\begin{pmatrix}
f_{1}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( e_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( e_{n}\right)
\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底です。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)は実ベクトル空間であるため、ゼロベクトルを要素として持ちます。したがって、\(f\)によるゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{m}\)の逆像をとることができます。これを\(f\)の核（kernel）やゼロ空間（null space）などと呼び、\begin{eqnarray*}\ker f &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( x\right) =0\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。明らかに、\begin{equation*}
\ker f\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられれば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して、\begin{equation*}f_{A}\left( x\right) =Ax
\end{equation*}を定める写像\(f_{A}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が定義可能ですが、これは線形写像であるとともに、\(A\)は\(f\)の標準行列と一致します。したがって、この線形写像\(f_{A}\)についてもその核\begin{eqnarray*}\ker f_{A} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f_{A}\left( x\right) =0\right\} \quad \because \text{核の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ Ax=0\right\} \quad \because f_{A}\text{の定義}
\end{eqnarray*}をとることができます。ただし、これを線形写像\(f_{A}\)の核と呼ぶ代わりに、行列\(A\)の核（kernel）やゼロ空間（null）などと呼ぶこともでき、それを、\begin{equation*}\ker A=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ Ax=0\right\}
\end{equation*}で表記します。

先の命題を用いると、線形写像\(f\)の核を以下のように表現できます。つまり、線形写像\(f\)の成分関数\(f_{i}\)によるゼロ\(0\)の逆像の共通部分をとれば\(f\)の核が得られるということです。

線形写像の核は標準行列の行空間の直交補空間

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルは、\(f\)の標準行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =Ax
\end{equation*}という形で表されますが、線形写像\(f\)の核\(\ker f\)は、\(f\)の標準行列\(A\)のすべての行と垂直なベクトルからなる集合です。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間\(X\)が与えられたとき、\(X\)の直交補空間とは、\(X\)上に存在するすべてのベクトルと直交するベクトルからなる集合\begin{equation*}X^{\perp }=\left\{ n\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall x\in X:n\cdot x=0\right\}
\end{equation*}として定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。さらに、部分空間\(X\)の直交補空間\(X^{\perp }\)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間になることが保証されます。

線形写像\(f\)の標準行列\(A\)の行空間\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{row}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right) \right\} \right) \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}は、\(A\)の行の線型結合として表されるベクトルを集めてできる集合ですが、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の部分空間であるため、その直交補空間\begin{equation*}\left( \mathrm{row}\left( A\right) \right) ^{\perp }=\left\{ n\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall x\in \mathrm{row}\left( A\right) :n\cdot x=0\right\}
\end{equation*}をとることができます。先の命題を用いると、これが\(f\)の核と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\ker f=\left( \mathrm{row}\left( A\right) \right) ^{\perp }
\end{equation*}が成り立つことが示されます。線形写像の核は標準行列の行空間の直交補空間と一致するということです。

線形写像の核は標準行列の列の線型結合がゼロベクトルになるようなスカラーの組からなる集合

線形写像の核を以下のように表現することもできます。

線形写像の核は定義域の部分空間

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の核は\(f\)の標準行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の行空間の直交補空間と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\ker f=\left( \mathrm{row}\left( A\right) \right) ^{\perp }
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。一般に、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)部分空間\(X\)の直交補空間\(X^{\perp }\)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間である行空間\(\mathrm{row}\left( A\right) \)の直交補空間と一致する\(\ker f\)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。

線形写像による部分空間の逆像は部分空間

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとする。加えて、\(f\)の終集合である実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間\(Y\)を任意に選びます。このとき、\(f\)による\(Y\)の逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(f\)の定義域である実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間になることが保証されます。線形写像は部分空間を部分空間に戻すということです。

演習問題