線形写像が全射であることの判定

線形写像が全射であることの判定

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( kx\right) =kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。ただし、写像\(f\)がそれぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定めるベクトルが、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =Ax
\end{equation*}という形で表されることは、\(f\)が線形写像であるための必要十分です。しかも、この行列\(A\)は\(f\)の標準行列と必ず一致します。つまり、\begin{equation*}A=\left( f\left( e_{1}\right) ,\cdots ,f\left( e_{n}\right) \right) =\begin{pmatrix}
f_{1}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( e_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( e_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( e_{n}\right)
\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(\left\{ e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底です。

写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が全射であることとは、終集合上に存在するベクトル\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、それに対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす定義域上のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)が存在すること、すなわち、\begin{equation*}\forall y\in \mathbb{R} ^{m},\ \exists x\in \mathbb{R} ^{n}:y=f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(f\)が線形写像である場合、それが全射であることを様々な形で表現することができます。順番に解説します。

線形写像の像を用いた全射判定

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の像は、\begin{equation*}\mathrm{Im}f=\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \mathbb{R} ^{n}\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分集合です。明らかに、\begin{equation*}\mathrm{Im}f\subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立ちますが、特に、\begin{equation*}
\mathrm{Im}f=\mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立つことは、すなわち、線形写像\(f\)の像が終集合と一致することは、\(f\)が全射であるための必要十分条件になります。

先の命題は線形写像が全射であるための必要十分条件を与えているため、線形写像が全射ではないことの判定にも利用できます。

線形写像の標準行列の列空間を用いた全射判定

線形写像\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の標準行列が\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)である場合、\(f\)の像と\(A\)の列空間は一致するため、すなわち、\begin{equation*}\mathrm{Im}f=\mathrm{col}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つため、先の命題を以下のように言い換えることができます。

先の命題は線形写像が全射であるための必要十分条件を与えているため、線形写像が全射ではないことの判定にも利用できます。

線形写像の標準行列の行空間の直交補空間を用いた全射判定

線形写像\(f\)の標準行列\(A\)の列空間\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right) \subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}は、\(A\)の列の線型結合として表されるベクトルを集めてできる集合ですが、これは\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間であるため、その直交補空間\begin{equation*}\left( \mathrm{col}\left( A\right) \right) ^{\perp }=\left\{ n\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \forall x\in \mathrm{col}\left( A\right) :n\cdot x=0\right\}
\end{equation*}をとることができます。以上の事実を踏まえると先の命題を以下のように言い換えることができます。

先の命題は線形写像が全射であるための必要十分条件を与えているため、線形写像が全射ではないことの判定にも利用できます。

線形写像の標準行列の階数を用いた全射判定

線形写像\(f\)の標準行列\(A\)の列空間は、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right) \subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(A\)の列の線型結合からなる集合です。先の命題より、線形写像\(f\)が全射であることと、\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A\right) =\mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right) =\mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。つまり、線形写像\(f\)が全射であることとは、\(\mathbb{R} ^{m}\)上に存在するすべてのベクトルが\(f\)の標準行列\(A\)の列の何らかの線型結合として表現可能であることを意味します。

以上の事実を踏まえると、先の命題を以下のように表現することもできます。

先の命題は線形写像が全射であるための必要十分条件を与えているため、線形写像が全射ではないことの判定にも利用できます。

線形写像の標準行列の行標準形を用いた全射判定

行列\(A\)の階数は、\(A\)の行標準形\(B\)に含まれる主成分の個数と一致するため、先の命題を以下のように表現することもできます。

先の命題は線形写像が全射であるための必要十分条件を与えているため、線形写像が全射ではないことの判定にも利用できます。

まとめ：線形写像が全射であることの判定

線形写像が全射であることは様々な形で表現可能であることが明らかになりました。得られた結果をまとめます。

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