実ベクトル空間上の線形写像が全射であることの判定

線形写像が全射であることの判定

定義域が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)であり、終集合が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるような写像\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、写像\(\boldsymbol{f}\)に入出力するベクトルとして列ベクトルを採用します。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の列ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を像として定めるということです。このような写像\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) +\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{y}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( k\boldsymbol{x}\right) =k\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とその定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} =\left\{
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられれば、線形写像\(\boldsymbol{f}\)の標準行列が、\begin{eqnarray*}M\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left( \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \right)
\\
&=&\begin{pmatrix}
f_{1}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right)
\end{pmatrix}
\\
&\in &M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}と定義されるとともに、任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の関係\begin{equation}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =M\left( \boldsymbol{f}\right)
\boldsymbol{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、線形写像\(\boldsymbol{f}\)とその標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)を同一視できます。

写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が全射であることとは、終集合上に存在するベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)を満たす定義域上のベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)が必ず存在すること、すなわち、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m},\ \exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\boldsymbol{f}\)が線形写像である場合、それが全射であることを様々な形で表現できます。順番に解説します。

線形写像の値域を用いた全射判定

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の値域は、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分集合です。明らかに、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) \subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立ちますが、特に、\begin{equation*}
\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立つことは、すなわち、線形写像\(\boldsymbol{f}\)の値域が終集合と一致することは、\(\boldsymbol{f}\)が全射であるための必要十分条件になります。

先の命題は線形写像が全射であるための必要十分条件を与えているため、線形写像が全射ではないことの判定にも利用できます。つまり、線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)について、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) \not=\mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立つ場合、\(\boldsymbol{f}\)は全射ではありません。

線形写像の標準行列の列空間を用いた全射判定

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の標準行列が\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)である場合、\(\boldsymbol{f}\)の値域と\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)の列空間は一致するため、すなわち、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right)
\end{equation*}が成り立つため、先の命題を以下のように言い換えることができます。

先の命題は線形写像が全射であるための必要十分条件を与えているため、線形写像が全射ではないことの判定にも利用できます。つまり、線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)について、\begin{equation*}\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right) \not=\mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立つ場合、\(\boldsymbol{f}\)は全射ではありません。

線形写像の標準行列の行空間の直交補空間を用いた全射判定

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の標準行列が\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)である場合、その列空間\begin{equation*}\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right)= \mathrm{span}\left(
\left\{ \mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) ,n\right) \right\} \right)
\subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}は実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間であるため、その直交補空間\begin{equation*}\left( \mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right) \right)
^{\perp }=\left\{ \boldsymbol{n}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right) :\boldsymbol{n}\cdot \boldsymbol{x}=0\right\}
\end{equation*}をとることができます。以上の事実を踏まえると先の命題を以下のように言い換えることができます。

先の命題は線形写像が全射であるための必要十分条件を与えているため、線形写像が全射ではないことの判定にも利用できます。つまり、線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)について、\begin{equation*}\left( \mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right) \right)
^{\perp }\not=\left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{equation*}が成り立つ場合、\(\boldsymbol{f}\)は全射ではありません。

線形写像の標準行列の階数を用いた全射判定

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)について、\begin{equation*}\mathrm{col}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right) =\mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立つことは、\(\boldsymbol{f}\)が全射であるための必要十分条件であることが明らかになりました。

以上の条件を以下のように表現することもできます。

先の命題は線形写像が全射であるための必要十分条件を与えているため、線形写像が全射ではないことの判定にも利用できます。つまり、線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)に対して、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathrm{rank}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right)
\not=m \\
&&\left( b\right) \ m>n
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つ場合、\(\boldsymbol{f}\)は全射ではありません。

線形写像の標準行列の行標準形を用いた全射判定

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathrm{rank}\left( M\left( \boldsymbol{f}\right) \right)
=m \\
&&\left( b\right) \ m\leq n
\end{eqnarray*}をともに満たすことは、\(\boldsymbol{f}\)が全射であるための必要十分条件であることが明らかになりました。

行列の階数は、その行列の行標準形に含まれる主成分の個数と一致するため、先の事実を以下のように表現できます。

先の命題は線形写像が全射であるための必要十分条件を与えているため、線形写像が全射ではないことの判定にも利用できます。つまり、線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)に対して、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ M\left( \boldsymbol{f}\right) \text{の行標準形に含まれる主成分の個数は}m\text{ではない} \\
&&\left( b\right) \ m>n
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つ場合、\(\boldsymbol{f}\)は全射ではありません。

まとめ：線形写像が全射であることの判定

線形写像が全射であることは様々な形で表現可能であることが明らかになりました。得られた結果をまとめます。

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