線形写像の値域（像）

線形写像の値域

2つのベクトル空間\(\left(K,V\right) ,\left( K,W\right) \)に加えて、写像\begin{equation*}f:V\rightarrow W
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)は一方のベクトル空間に属するベクトル\(x\in V\)を、もう一方のベクトル空間上のベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) \in W
\end{equation*}へと変換する写像です。このような写像\(f\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in V:f\left( x+y\right) =f\left(
x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in K,\ \forall x\in V:f\left( kx\right)
=kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。

線形写像\(f:V\rightarrow W\)および定義域の部分集合\(X\subset V\)が与えられているものとします。\(f\)は\(X\)の要素であるそれぞれのベクトル\(x\in X\)に対してその像\(f\left( x\right) \in W\)を定めますが、これらの像をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in W\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)による\(X\)の像（image of \(X\)）と呼びます。明らかに、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset W
\end{equation*}が成り立ちます。ベクトル\(y\in W\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}y\in f\left( X\right) \Leftrightarrow \exists x\in X:y=f\left( x\right)
\end{equation*}が成立するため、\(f\)による\(X\)の像を、\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ y\in W\ |\ \exists x\in X:y=f\left( x\right)
\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。

線形写像\(f:V\rightarrow W\)の定義域\(V\)は\(V\)自身の定義域であるため、\(f\)による\(V\)の像\(f\left( V\right) \)を考えることもできます。これを\(f\)の値域（range of \(f\)）と呼び、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( f\right) =\left\{ f\left( x\right) \in W\ |\ x\in V\right\}
\end{equation*}で表記します。明らかに、\begin{equation*}
\mathrm{Im}\left( f\right) \subset W
\end{equation*}が成り立ちます。ベクトル\(y\in W\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}y\in \mathrm{Im}\left( f\right) \Leftrightarrow \exists x\in V:y=f\left(
x\right)
\end{equation*}が成立するため、\(f\)の地域を、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( f\right) =\left\{ y\in W\ |\ \exists x\in V:y=f\left(
x\right) \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。

線形写像の値域は部分空間

線形写像\(f:V\rightarrow W\)の像は終集合であるベクトル空間\(W\)の部分空間です。

線形写像による部分空間の像は部分空間

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)と線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとします。加えて、\(f\)の定義域\(V\)の部分空間\(X\)を任意に選びます。このとき、\(f\)による\(X\)の像\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in W\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}は\(f\)の終集合\(W\)の部分空間になることが保証されます。線形写像は部分空間を部分空間へ写すということです。

線形写像によるアフィン部分空間の像はアフィン部分空間

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)と線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとします。加えて、\(f\)の定義域\(V\)のアフィン部分空間\(X\)を任意に選びます。このとき、\(f\)による\(X\)の像\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in W\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}は\(f\)の終集合\(W\)のアフィン部分空間になることが保証されます。線形写像はアフィン部分空間をアフィン部分空間へ写すということです。

演習問題