線形写像のスカラー乗法と表現行列のスカラー乗法

線形写像のスカラー乗法（スカラー倍）

2つのベクトル空間\(\left(K,V\right) ,\left( K,W\right) \)に加えて、写像\begin{equation*}f:V\rightarrow W
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)は一方のベクトル空間に属するベクトル\(x\in V\)を、もう一方のベクトル空間上のベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) \in W
\end{equation*}へと変換する写像です。このような写像\(f\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in V:f\left( x+y\right) =f\left(
x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in K,\ \forall x\in V:f\left( kx\right)
=kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。

スカラーと写像\begin{eqnarray*}
k &\in &K \\
f &:&V\rightarrow W
\end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in V\)に対して、\begin{equation*}\left( kf\right) \left( x\right) =kf\left( x\right)
\end{equation*}を像として定める写像\begin{equation*}
kf:V\rightarrow W
\end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)のスカラー倍（scalar product）と呼びます。

写像\(f\)が線形写像である場合、そのスカラー倍\(kf\)もまた線形写像になることが保証されます。

定義域がベクトル空間\(\left( K,V\right) \)であり、終集合がベクトル空間\(\left(K,W\right) \)であるような線形写像\(f:V\rightarrow W\)をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}\hom \left( V,W\right) =\left\{ f:V\rightarrow W\ |\ f\text{は線形写像}\right\}
\end{equation*}と表記します。

スカラー\(k\in K\)と線形写像\(f\in \hom \left( V,W\right) \)を任意に選んだとき、先の命題より写像\(kf\)もまた\(V\)から\(W\)への線形写像になることが保証されますが、これは\(kf\)が\(\hom\left( V,W\right) \)の要素になることを意味します。つまり、\begin{equation*}\forall k\in K,\ \forall f\in \hom \left( V,W\right) :kf\in \hom \left(
V,W\right)
\end{equation*}が成り立つということです。以上の事実は、\(\hom \left( V,W\right) \)が線形写像どうしのスカラー乗法について閉じていることを意味します。このような事情を踏まえると、スカラーと線形写像を成分とするそれぞれの順序対\(\left( k,f\right) \in K\times \hom \left(V,W\right) \)に対して、それらのスカラー倍に相当する線形写像\(kf\in \hom \left(V,W\right) \)を1つずつ定める二項演算\begin{equation*}\cdot :K\times \hom \left( V,W\right) \rightarrow \hom \left( V,W\right)
\end{equation*}が定義可能です。このような演算を線形写像のスカラー乗法（scalar multiplication of lineaer maps）と呼びます。スカラー乗法\(\cdot \)の記号は省略されるのが慣例です。

線形写像のスカラー乗法と行列のスカラー乗法の関係

有限次元のベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left( K,W\right) \)に加えて、それらの基底\begin{eqnarray*}\alpha &=&\left\{ v_{1},\cdots ,v_{n}\right\} \subset V \\
\beta &=&\left\{ w_{1},\cdots ,w_{m}\right\} \subset W
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。線形写像\(f:V\rightarrow W\)を任意に選んだとき、基底\(\alpha ,\beta \)のもとでの線形写像\(f\)の表現行列\(M\left( f,\alpha ,\beta \right) \in M_{m,n}\left( K\right) \)が一意的に定まるとともに、以下の関係\begin{equation*}M\left( f,\alpha ,\beta \right) =\left( \left[ f\left( v_{1}\right) \right] _{\beta },\cdots ,\left[ f\left( v_{n}\right) \right] _{\beta }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。逆に、基底\(\alpha ,\beta \)と行列\(A\in M_{m,n}\left( K\right) \)が与えられれば、以下の条件\begin{equation*}A=M\left( f,\alpha ,\beta \right)
\end{equation*}を満たす線形写像\(f:V\rightarrow W\)が存在するとともに、以下の関係\begin{equation*}\forall x\in V:f\left( x\right) =\left( \mathrm{row}\left( A,1\right) \left[ x\right] _{\alpha }\right) w_{1}+\cdots +\left( \mathrm{row}\left( A,m\right) \left[ x\right] _{\alpha }\right) w_{m}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、基底\(\alpha ,\beta \)を所与とした場合、線形写像\(f\)と行列\(A\)の間には1対1の関係が成り立ちます。

スカラーと線形写像\begin{eqnarray*}
k &\in &K \\
f &:&V\rightarrow W
\end{eqnarray*}が与えられたとき、先の命題より、これらのスカラー倍\begin{equation*}
kf:V\rightarrow W
\end{equation*}もまた線形写像になります。基底\(\alpha ,\beta \)のもとでの線形写像\(f\)の表現行列は、\begin{equation*}M\left( f,\alpha ,\beta \right) \in M_{m,n}\left( K\right)
\end{equation*}と定まりますが、そのスカラー倍に相当する行列\begin{equation*}
kM\left( f,\alpha ,\beta \right) \in M_{m,n}\left( K\right)
\end{equation*}が定義可能です。一方、基底\(\alpha ,\beta \)のもとでの線形写像\(kf\)の表現行列は、\begin{equation*}M\left( kf,\alpha ,\beta \right) \in M_{m,n}\left( K\right)
\end{equation*}と定まりますが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
M\left( kf,\alpha ,\beta \right) =kM\left( f,\alpha ,\beta \right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、線形写像のスカラー倍の表現行列は、線形写像の表現行列のスカラー倍と一致します。

以上の命題より、線形写像のスカラー乗法は、行列のスカラー乗法と実質的に等しいことが明らかになりました。したがって、行列のスカラー乗法に関して成り立つ性質はそのまま線形写像のスカラー乗法に関する性質として引き継がれます。以下では代表的な性質を提示します。

スカラー乗法の互換性

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)が与えられたとき、線形写像に関するスカラー乗法は以下の性質\begin{equation*}\left( V_{5}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in K,\ \forall f\in \hom \left(
V,W\right) :k_{1}\left( k_{2}f\right) =\left( k_{1}k_{2}\right) f
\end{equation*}を満たします。これを乗法とスカラー乗法の間の互換性（compatibility）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は演算を適用する順番を指定しています。つまり、左辺\(k_{1}\left( k_{2}f\right) \)は、はじめに線形写像\(f\)のスカラー倍\(k_{2}\)をとった上で、得られた線形写像をさらにスカラー\(k_{1}\)倍することで得られる線形写像です。右辺\(\left( k_{1}k_{2}\right) f\)は、はじめにスカラーどうしの積\(k_{1}k_{2}\)をとった上で、線形写像\(f\)のスカラー\(k_{1}k_{2}\)倍することで得られる線形写像です。互換性はこれらの線形写像が一致することを保証します。つまり、線形写像が与えられたとき、そのスカラー倍のスカラー倍（左辺）は、スカラーどうしの積とのスカラー倍（右辺）と一致するということです。

恒等写像（線形写像のスカラー乗法に関する単位元）

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)に加えて線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとします。体\(K\)における乗法単位元\(1\in K\)とのスカラー倍\begin{equation*}1f:V\rightarrow W
\end{equation*}は線形写像になりますが、これはもとの線形写像\(f\)と一致します。つまり、\begin{equation*}1f=f
\end{equation*}が成り立つということです。任意の線形写像\(f\)のスカラー\(1\)倍をとってもその結果は\(f\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、\(1\)をスカラー乗法単位元（identity element of scalar multiplication）と呼ぶこともできます。

線形写像の加法に関するスカラー乗法の分配律

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)が与えられているものとします。線形写像に関する加法とスカラー乗法の間には以下の関係\begin{equation*}\left( V_{7}\right) \ \forall k\in K,\ \forall f,g\in \hom \left( V,W\right)
:k\left( f+g\right) =kf+kg
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、線形写像の和のスカラー倍（左辺）は、線形写像のスカラー倍の和（右辺）と一致します。これを線形写像の加法に関するスカラー乗法の分配律（distributivity of scalar multiplication with respect to addition of linear maps）と呼びます。

加法に関する線形写像のスカラー乗法の分配律

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)が与えられているものとします。線形写像に関する加法とスカラー乗法の間には以下の関係\begin{equation*}\left( V_{8}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in K,\ \forall f\in \hom \left(
V,W\right) :\left( k_{1}+k_{2}\right) f=k_{1}f+k_{2}f
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、スカラーどうしの和に関する線形写像のスカラー倍（左辺）は、線形写像のスカラー倍の和（右辺）と一致します。これを加法に関する線形写像のスカラー乗法の分配律（distributivity of scalar multiplication with respect to addition）と呼びます。

ゼロ写像のスカラー倍

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)に加えて線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとします。スカラー\(k\in K\)を任意に選んだとき、ゼロ写像\(0\in \hom \left( V,W\right) \)のスカラー倍\begin{equation*}k0:V\rightarrow W
\end{equation*}は線形写像になりますが、これはゼロ写像\(0\)と一致します。つまり、\begin{equation*}k0=0
\end{equation*}が成り立つということです。ゼロ写像のスカラー倍はゼロ写像であるということです。

線形写像のスカラーゼロ倍

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)に加えて線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとします。加法単位元に相当するスカラー\(0\in K\)とのスカラー乗法\begin{equation*}0f:V\rightarrow W
\end{equation*}は線形写像になりますが、これはゼロ写像\(0:V\rightarrow W\)と一致します。つまり、\begin{equation*}0f=0
\end{equation*}が成り立つということです。任意の線形写像のスカラー\(0\)倍はゼロ写像になるということです。

線形写像のスカラー倍がゼロ写像になるための必要条件

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)が与えられているものとします。線形写像に関するスカラー乗法は以下の性質\begin{equation*}\forall k\in K,\ \forall f\in \hom \left( V,W\right) :\left[ kf=0\Rightarrow
\left( k=0\vee f=0\right) \right] \end{equation*}を満たします。つまり、線形写像\(f\)のスカラー\(k\)倍がゼロ写像と一致する場合には、\(k\)がゼロであるか、または\(f\)がゼロ写像であるかの少なくとも一方が成り立ちます。対偶より、\begin{equation*}\forall k\in K,\ \forall f\in \hom \left( V,W\right) :\left[ \left(
k\not=0\wedge f\not=0\right) \Rightarrow kf\not=0\right] \end{equation*}が成り立ちます。つまり、非ゼロのスカラー\(k\)とゼロ写像ではない線形写像\(f\)を任意に選んだとき、スカラー倍\(kf\)として定義される線形写像は非ゼロ写像になります。

線形写像の加法逆元の生成

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)が与えられているものとします。線形写像に関するスカラー乗法は以下の性質\begin{equation*}\forall k\in K,\ \forall f\in \hom \left( V,W\right) :\left( -k\right)
f=k\left( -f\right) =-\left( kf\right)
\end{equation*}を満たします。つまり、線形写像の負のスカラー倍、線形写像の加法逆元のスカラー倍、線形写像のスカラー倍の加法逆元はいずれも一致します。特に、\(k=1\)の場合には、\begin{equation*}\forall f\in \hom \left( V,W\right) :\left( -1\right) f=1\left( -f\right)
=-\left( 1f\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall f\in \hom \left( V,W\right) :\left( -1\right) f=-f
\end{equation*}となります。つまり、線形写像のスカラー\(-1\)倍は、線形写像の加法逆元と一致します。