線形写像の合成と表現行列の乗法

線形写像の合成写像

2つのベクトル空間\(\left(K,V\right) ,\left( K,W\right) \)に加えて、写像\begin{equation*}f:V\rightarrow W
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)は一方のベクトル空間に属するベクトル\(x\in V\)を、もう一方のベクトル空間上のベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) \in W
\end{equation*}へと変換する写像です。このような写像\(f\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in V:f\left( x+y\right) =f\left(
x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in K,\ \forall x\in V:f\left( kx\right)
=kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。

3つのベクトル空間\(\left(K,U\right) ,\left( K,V\right) ,\left( K,W\right) \)と2つの写像\begin{eqnarray*}f &:&U\rightarrow V \\
g &:&V\rightarrow W
\end{eqnarray*}が与えられたとき、\(f\)の終集合と\(g\)の定義域はともに\(V\)であるため、合成写像\begin{equation*}g\circ f:U\rightarrow W
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in U\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right) \in
W
\end{equation*}を像として定めます。

写像\(f,g\)が線形写像である場合、これらの合成写像\(g\circ f\)もまた線形写像になることが保証されます。

定義域がベクトル空間\(\left( K,V\right) \)であり、終集合がベクトル空間\(\left(K,W\right) \)であるような線形写像\(f:V\rightarrow W\)をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}\hom \left( V,W\right) =\left\{ f:V\rightarrow W\ |\ f\text{は線形写像}\right\}
\end{equation*}で表記します。

線形写像である\(f\in \hom \left(U,V\right) \)および\(g\in \hom \left( V,W\right) \)を任意に選んだとき、先の命題より合成写像\(g\circ f:U\rightarrow W\)は線形写像になることが保証されますが、これは\(g\circ f\in\hom \left( U,W\right) \)が成り立つことを意味します。つまり、\begin{equation*}\forall f\in \hom \left( U,V\right) ,\ \forall g\in \hom \left( V,W\right)
:g\circ f\in \hom \left( U,W\right)
\end{equation*}が成り立つということです。このような事情を踏まえると、線形写像を成分とするそれぞれの順序対\begin{equation*}
\left( f,g\right) \in \hom \left( U,V\right) \times \hom \left( V,W\right)
\end{equation*}に対して、線形写像\begin{equation*}
g\circ f\in \hom \left( U,W\right)
\end{equation*}を像として定める二項演算\begin{equation*}
\circ :\hom \left( U,V\right) \times \hom \left( V,W\right) \rightarrow \hom
\left( U,W\right)
\end{equation*}が定義可能です。このような演算を線形写像の合成（composition of linear maps）と呼びます。

線形写像の合成と行列乗法の関係

有限次元のベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left( K,W\right) \)に加えて、それらの基底\begin{eqnarray*}\alpha &=&\left\{ v_{1},\cdots ,v_{n}\right\} \subset V \\
\beta &=&\left\{ w_{1},\cdots ,w_{m}\right\} \subset W
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。線形写像\(f:V\rightarrow W\)を任意に選んだとき、基底\(\alpha ,\beta \)のもとでの線形写像\(f\)の表現行列\(M\left( f,\alpha ,\beta \right) \in M_{m,n}\left( K\right) \)が一意的に定まるとともに、以下の関係\begin{equation*}M\left( f,\alpha ,\beta \right) =\left( \left[ f\left( v_{1}\right) \right] _{\beta },\cdots ,\left[ f\left( v_{n}\right) \right] _{\beta }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。逆に、基底\(\alpha ,\beta \)と行列\(A\in M_{m,n}\left( K\right) \)が与えられれば、以下の条件\begin{equation*}A=M\left( f,\alpha ,\beta \right)
\end{equation*}を満たす線形写像\(f:V\rightarrow W\)が存在するとともに、以下の関係\begin{equation*}\forall x\in V:f\left( x\right) =\left( \mathrm{row}\left( A,1\right) \left[ x\right] _{\alpha }\right) w_{1}+\cdots +\left( \mathrm{row}\left( A,m\right) \left[ x\right] _{\alpha }\right) w_{m}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、基底\(\alpha ,\beta \)を所与とした場合、線形写像\(f\)と行列\(A\)の間には1対1の関係が成り立ちます。

有限次元のベクトル空間\(\left( K,U\right) ,\left( K,V\right) ,\left( K,W\right) \)に加えて、それらの基底\begin{eqnarray*}\alpha &=&\left\{ u_{1},\cdots ,u_{m}\right\} \subset U \\
\beta &=&\left\{ v_{1},\cdots ,v_{n}\right\} \subset V \\
\gamma &=&\left\{ w_{1},\cdots ,w_{p}\right\} \subset W
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。2つの線形写像\begin{eqnarray*}
f &:&U\rightarrow V \\
g &:&V\rightarrow W
\end{eqnarray*}が与えられたとき、先の命題より、これらの合成\begin{equation*}
g\circ f:U\rightarrow W
\end{equation*}もまた線形写像になります。基底\(\alpha ,\beta \)のもとでの線形写像\(f\)の表現行列と、基底\(\beta,\gamma \)のもとでの線形写像\(g\)の表現行列が、\begin{eqnarray*}M\left( f,\alpha ,\beta \right) &\in &M_{n,m}\left( K\right) \\
M\left( g,\beta ,\gamma \right) &\in &M_{p,n}\left( K\right)
\end{eqnarray*}とそれぞれ定まりますが、\(M\left( g,\beta ,\gamma \right) \)の列数と\(M\left( f,\alpha ,\beta \right) \)の行数はともに\(n\)であるため、両者の行列積に相当する行列\begin{equation*}M\left( g,\beta ,\gamma \right) M\left( f,\alpha ,\beta \right) \in
M_{p,m}\left( K\right)
\end{equation*}が定義可能です。一方、基底\(\alpha ,\gamma \)のもとでの線形写像\(g\circ f\)の表現行列は、\begin{equation*}M\left( g\circ f,\alpha ,\gamma \right) \in M_{p,m}\left( K\right)
\end{equation*}と定まりますが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
M\left( g\circ f,\alpha ,\gamma \right) =M\left( g,\beta ,\gamma \right)
M\left( f,\alpha ,\beta \right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、線形写像の合成の表現行列は、個々の線形写像の表現行列の行列積と一致します。

線形写像の合成の結合律

ベクトル空間\(\left( K,T\right) ,\left(K,U\right) ,\left( K,V\right) ,\left( K,W\right) \)が与えられたとき、線形写像の合成は以下の性質\begin{equation*}\forall f\in \hom \left( T,U\right) ,\ \forall g\in \hom \left( U,V\right)
,\ \forall h\in \hom \left( V,W\right) :h\circ \left( g\circ f\right)
=\left( h\circ g\right) \circ f
\end{equation*}を満たします。これを結合律（associative law）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は合成を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺の\(h\circ\left( g\circ f\right) \)は、はじめに\(f\)と\(g\)を合成した上で、得られた結果\(g\circ f\)と\(h\)をさらに合成して得られる線形写像です。右辺の\(\left( h\circ g\right) \circ f\)は、はじめに\(h\)と\(g\)を合成した上で、\(f\)と先の結果\(h\circ g\)を合成して得られる線形写像です。結合律はこれらの線形写像が等しいことを保証します。つまり、3つの合成写像\(f,g,h\)を合成する場合には、隣り合うどの2つを先に合成しても得られる結果は変わらないということです。

線形写像の加法と合成に関する分配律

ベクトル空間\(\left( K,U\right) ,\left(K,V\right) ,\left( K,W\right) \)が与えられたとき、線形写像の合成は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall f,g\in \hom \left( U,V\right) ,\ \forall h\in
\hom \left( V,W\right) :h\circ \left( f+g\right) =\left( h\circ f\right)
+\left( h\circ g\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall f\in \hom \left( U,V\right) ,\ \forall g,h\in
\hom \left( V,W\right) :\left( g+h\right) \circ f=\left( g\circ f\right)
+\left( h\circ f\right)
\end{eqnarray*}を満たします。\(\left( a\right) \)を左分配律（left distributive law）と呼び、\(\left( b\right) \)を右分配律（right distributive law）と呼びます。\(\left( a\right) \)は、線形写像の和と線形写像の合成は、合成の和と一致することを意味します。\(\left(b\right) \)は、線形写像と線形写像の和の合成は、合成の和と一致することを意味します。

ゼロ写像との合成

線形写像とゼロ写像の合成が定義可能である場合、それはゼロ写像になることが保証されます。

線形写像のスカラー乗法と合成の関係

ベクトル空間\(\left( K,U\right) ,\left(K,V\right) ,\left( K,W\right) \)が与えられたとき、線形写像のスカラー倍と合成の間には以下の関係\begin{equation*}\forall k\in K,\ \forall f\in \hom \left( U,V\right) ,\ \forall g\in \hom
\left( V,W\right) :k\left( g\circ f\right) =\left( kg\right) \circ f=g\circ
\left( kf\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、合成写像のスカラー倍は、スカラー倍との合成写像と一致します。