線形写像の定義と具体例

ベクトル空間上の線形写像

体\(K\)と集合\(V\)からなる組\begin{equation*}\left( K,V\right)
\end{equation*}がベクトル空間であることとは、ベクトル加法とスカラー乗法\begin{eqnarray*}
+ &:&V\times V\rightarrow V \\
\cdot &:&K\times V\rightarrow V
\end{eqnarray*}と呼ばれる2つの演算が定義されているとともに、これらの演算がベクトル空間の公理\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in V:\left( x+y\right) +z=x+\left(
y+z\right) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in V,\ \forall x\in V:x+0=x \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall x\in V,\ \exists -x\in V:x+\left( -x\right)
=0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall x,y\in V:x+y=y+x \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in V:a\left( bx\right)
=\left( ab\right) x \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in K,\ \forall x\in V:1x=x \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall a\in K,\ \forall x,y\in V:a\left( x+y\right)
=ax+ay \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in V:\left( a+b\right)
x=ax+bx
\end{eqnarray*}を満たすことを意味します。

体\(K\)を共有する2つのベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)に加えて、写像\begin{equation*}f:V\rightarrow W
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)は一方のベクトル空間に属するベクトル\(x\in V\)を、もう一方のベクトル空間上のベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) \in W
\end{equation*}へと変換する写像です。このような写像\(f\)が以下の2つの条件を満たす場合には、\(f\)を\(V\)から\(W\)への線形写像（linear mapping）や1次写像などと呼びます。

写像\(f\)の定義域\(V\)から2つのベクトル\(x,y\)を任意に選んだ上で、それらのベクトル和\(x+y\)を写像\(f\)に入力すると終集合\(W\)上のベクトル\(f\left(x+y\right) \)が得られます。このベクトルが、\(f\)が\(x\)と\(y\)に対してそれぞれ定めるベクトル\(f\left( x\right),f\left( y\right) \)のベクトル和と必ず一致する場合には、すなわち、\begin{equation*}\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in V:f\left( x+y\right) =f\left( x\right)
+f\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は加法性（additivity）を満たすと言います。つまり、加法性を満たす写像\(f\)のもとでは、ベクトル和の像はそれぞれのベクトルの像のベクトル和と一致するということです。

体\(K\)からスカラー\(k\)を選び、写像\(f\)の定義域\(V\)からベクトル\(x\)を選んだ上で、スカラー倍に相当するベクトル\(kx\)を写像\(f\)に入力すると終集合\(W\)上のベクトル\(f\left( kx\right) \)が得られます。このベクトルが、\(f\)が\(x\)に対して定めるベクトル\(f\left( x\right) \)のスカラー\(k\)倍と必ず一致する場合には、すなわち、\begin{equation*}\left( L_{2}\right) \ \forall k\in K,\ \forall x\in V:f\left( kx\right)
=kf\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は斉次性（homogeneity）を満たすと言います。つまり、斉次性を満たす写像\(f\)のもとでは、ベクトルのスカラー倍の像はベクトルの像のスカラー倍と一致するということです。

改めて整理すると、ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)に対して定義された写像\(f:V\rightarrow W\)が\(V\)から\(W\)への線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in V:f\left( x+y\right) =f\left(
x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in K,\ \forall x\in V:f\left( kx\right)
=kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。これらの性質を総称して線型性（linearity）と呼ぶこともできます。

2つのベクトル空間\(\left(K,V\right) ,\left( K,W\right) \)が与えられたとき、\(V\)から\(W\)への線形写像は一意的に定まるとは限りません。そこで、\(V\)から\(W\)への線形写像をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}\mathcal{L}\left( V,W\right) =\left\{ f:V\rightarrow W\ |\ f\text{は線形写像}\right\}
\end{equation*}で表記します。

線形写像によるゼロベクトルの像はゼロベクトル

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)と線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとします。\(f\)の定義域\(V\)の要素であるゼロベクトル\(0\)を\(f\)に入力すると、\(f\)の終集合\(W\)上のゼロベクトル\(0\)が得られます。つまり、\begin{equation*}f\left( 0\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。線形写像はゼロベクトルをゼロベクトルへ写すということです。

先の命題の対偶より、写像\(f\)によるゼロベクトルの像がゼロベクトルではない場合、\(f\)は線形写像ではありません。

線形写像によるベクトル逆元の逆像はベクトル逆元

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)と線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとします。\(f\)の定義域\(V\)からベクトル\(x\)を任意に選んだ上で、そのベクトル加法逆元\(-x\)を\(f\)に入力すると終集合\(W\)上のベクトル\(f\left( -x\right) \)が得られますが、これは\(f\)が\(x\)に対して定めるベクトル\(f\left(x\right) \)の加法逆元と一致します。つまり、\begin{equation*}\forall x\in V:f\left( -x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。線形写像はベクトル逆元をベクトル逆元へ写すということです。

先の命題の対偶より、写像\(f\)による何らかのベクトル\(x\)の加法逆元の像\(f\left( -x\right) \)が\(-f\left( x\right) \)と一致しない場合、\(f\)は線形写像ではありません。

線形写像による線型結合の像は線型結合

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)と線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとします。\(f\)の定義域\(V\)から2つのベクトル\(x_{1},x_{2}\)を任意に選んだ上で、これらの線型結合\(k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}\)を写像\(f\)に入力すると終集合\(W\)上のベクトル\(f\left( k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}\right) \)が得られますが、このベクトルは、\(f\)が\(x_{1}\)と\(x_{2}\)に対してそれぞれ定めるベクトルの線型結合である\(k_{1}f\left(x_{1}\right) +k_{2}f\left( x_{2}\right) \)と一致します。つまり、\begin{equation*}\forall k_{1},k_{2}\in K,\ \forall x_{1},x_{2}\in V:f\left(
k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}\right) =k_{1}f\left( x_{1}\right) +k_{2}f\left(
x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。線形写像はベクトルの線型結合を線型結合へ写すということです。

逆の議論も成立するため、以上の性質によって線形写像の定義とすることもできます。線形写像は任意の2つのベクトルの線型結合を線型結合へ写す写像であるということです。

線形写像を以下のように定義することもできます。線形写像は任意の有限個のベクトルの線型結合を線型結合へ写す写像であるということです。

線形写像の例：ゼロ写像

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)が与えられているものとします。\(W\)はベクトル空間であるためゼロベクトル\(0\in W\)を要素として持ちます。そこで、任意の\(x\in V\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を像として定める写像\(f:V\rightarrow W\)が定義可能です。これをゼロ写像（zero mapping）と呼びます。

ゼロ写像は線形写像です。

線形写像の例：恒等写像

写像の定義域と終集合が同一のベクトル空間\(\left( K,V\right) \)である場合には、入力したベクトル\(x\in V\)に対して、それと同じベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を返す写像\(f:V\rightarrow V\)が定義可能です。これを恒等写像（identity mapping）と呼びます。

恒等写像は線形写像です。

演習問題