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一般のベクトル空間上の線形写像

線形写像の定義と具体例

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ベクトル空間
ベクトル空間上の線形写像
　
  • 定義域と終集合がともに一般のベクトル空間であり、なおかつ加法性と斉次性を満たす写像を線形写像と呼びます。

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線形写像の表現行列と行列表現

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ベクトル空間上の線形写像

体\(K\)と集合\(V\)からなる組\begin{equation*}\left( K,V\right)
\end{equation*}がベクトル空間であることとは、ベクトル加法とスカラー乗法\begin{eqnarray*}
+ &:&V\times V\rightarrow V \\
\cdot &:&K\times V\rightarrow V
\end{eqnarray*}と呼ばれる2つの演算が定義されているとともに、これらの演算がベクトル空間の公理\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in V:\left( x+y\right) +z=x+\left(
y+z\right) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in V,\ \forall x\in V:x+0=x \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall x\in V,\ \exists -x\in V:x+\left( -x\right)
=0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall x,y\in V:x+y=y+x \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in V:a\left( bx\right)
=\left( ab\right) x \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in K,\ \forall x\in V:1x=x \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall a\in K,\ \forall x,y\in V:a\left( x+y\right)
=ax+ay \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in V:\left( a+b\right)
x=ax+bx
\end{eqnarray*}を満たすことを意味します。

体\(K\)を共有する2つのベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)に加えて、写像\begin{equation*}f:V\rightarrow W
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)は一方のベクトル空間に属するベクトル\(x\in V\)を、もう一方のベクトル空間上のベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) \in W
\end{equation*}へと変換する写像です。このような写像\(f\)が以下の2つの条件を満たす場合には、\(f\)を\(V\)から\(W\)への線形写像（linear mapping）や1次写像などと呼びます。

写像\(f\)の定義域\(V\)から2つのベクトル\(x,y\)を任意に選んだ上で、それらのベクトル和\(x+y\)を写像\(f\)に入力すると終集合\(W\)上のベクトル\(f\left(x+y\right) \)が得られます。このベクトルが、\(f\)が\(x\)と\(y\)に対してそれぞれ定めるベクトル\(f\left( x\right),f\left( y\right) \)のベクトル和と必ず一致する場合には、すなわち、\begin{equation*}\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in V:f\left( x+y\right) =f\left( x\right)
+f\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は加法性（additivity）を満たすと言います。つまり、加法性を満たす写像\(f\)のもとでは、ベクトル和の像はそれぞれのベクトルの像のベクトル和と一致するということです。

体\(K\)からスカラー\(k\)を選び、写像\(f\)の定義域\(V\)からベクトル\(x\)を選んだ上で、スカラー倍に相当するベクトル\(kx\)を写像\(f\)に入力すると終集合\(W\)上のベクトル\(f\left( kx\right) \)が得られます。このベクトルが、\(f\)が\(x\)に対して定めるベクトル\(f\left( x\right) \)のスカラー\(k\)倍と必ず一致する場合には、すなわち、\begin{equation*}\left( L_{2}\right) \ \forall k\in K,\ \forall x\in V:f\left( kx\right)
=kf\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は斉次性（homogeneity）を満たすと言います。つまり、斉次性を満たす写像\(f\)のもとでは、ベクトルのスカラー倍の像はベクトルの像のスカラー倍と一致するということです。

改めて整理すると、ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)に対して定義された写像\(f:V\rightarrow W\)が\(V\)から\(W\)への線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in V:f\left( x+y\right) =f\left(
x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in K,\ \forall x\in V:f\left( kx\right)
=kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。これらの性質を総称して線型性（linearity）と呼ぶこともできます。

2つのベクトル空間\(\left(K,V\right) ,\left( K,W\right) \)が与えられたとき、\(V\)から\(W\)への線形写像は一意的に定まるとは限りません。そこで、\(V\)から\(W\)への線形写像をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}\mathcal{L}\left( V,W\right) =\left\{ f:V\rightarrow W\ |\ f\text{は線形写像}\right\}
\end{equation*}で表記します。

例（線形変換）
線形写像の定義域と終集合が一致する場合には、すなわち、ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)に対して定義される写像\begin{equation*}f:V\rightarrow V
\end{equation*}が線形写像である場合には、このような線形写像\(f\)を特に線形変換（linear transformation）や線形作用素（linear operator）または1次変換などと呼びます。
例（実ベクトル空間上の線形写像）
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{2}\right) ,\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)はともにベクトル空間です。写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-x_{2}+x_{3} \\
2x_{1}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ベクトル\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) ,\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2} \\
y_{3}\end{array}\right) \right) &=&\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1}+y_{1} \\
x_{2}+y_{2} \\
x_{3}+y_{3}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left( x_{1}+y_{1}\right) -\left( x_{2}+y_{2}\right) +\left(
x_{3}+y_{3}\right) \\
2\left( x_{1}+y_{1}\right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-x_{2}+x_{3} \\
2x_{1}\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
y_{1}-y_{2}+y_{3} \\
2y_{1}\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) +\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2} \\
y_{3}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\boldsymbol{f}\)は加法性を満たします。また、スカラー\(k\in \mathbb{R} \)とベクトル\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( k\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \right) &=&\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
kx_{1} \\
kx_{2} \\
kx_{3}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
kx_{1}-kx_{2}+kx_{3} \\
2kx_{1}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&k\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-x_{2}+x_{3} \\
2x_{1}\end{array}\right) \\
&=&k\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\boldsymbol{f}\)は斉次性を満たします。以上より、\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることが明らかになりました。
例（多項式関数空間上の線形写像）
係数と変数がともに実数であるような多項式関数からなる集合を、\begin{equation*}
P=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は多項式関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(\left( \mathbb{R} ,P\right) \)はベクトル空間です。任意の多項式関数は微分可能であり、多項式関数の導関数は多項式関数です。したがって、それぞれの多項式関数\(f\in P\)に対して、その導関数に相当する多項式関数\begin{equation*}T\left( f\right) =f^{\prime }
\end{equation*}を像として定める写像\(T:P\rightarrow P\)が定義可能です。多項式関数\(f,g\in P\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}T\left( f+g\right) &=&\left( f+g\right) ^{\prime }\quad \because T\text{の定義} \\
&=&f^{\prime }+g^{\prime }\quad \because \text{微分可能な関数の和} \\
&=&T\left( f\right) +T\left( g\right) \quad \because T\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(T\)は加法性を満たします。また、スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と多項式関数\(f\in P\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}T\left( kf\right) &=&\left( kf\right) ^{\prime }\quad \because T\text{の定義} \\
&=&kf^{\prime }\quad \because \text{微分可能な関数の定数倍} \\
&=&kT\left( f\right) \quad \because T\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(T\)は斉次性を満たします。以上より、\(T\)が線形写像であることが明らかになりました。

 

線形写像によるゼロベクトルの像はゼロベクトル

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)と線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとします。\(f\)の定義域\(V\)の要素であるゼロベクトル\(0\)を\(f\)に入力すると、\(f\)の終集合\(W\)上のゼロベクトル\(0\)が得られます。つまり、\begin{equation*}f\left( 0\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。線形写像はゼロベクトルをゼロベクトルへ写すということです。

命題（線形写像によるゼロベクトルの像はゼロベクトル）
ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)と線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとする。\(f\)によるゼロベクトル\(0\in V\)の像は、\begin{equation*}f\left( 0\right) =0
\end{equation*}となる。ただし、右辺の\(0\)は\(W\)上のゼロベクトルである。
証明

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例（線形写像によるゼロベクトルの像はゼロベクトル）
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{2}\right) ,\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)はともにベクトル空間です。写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-x_{2}+x_{3} \\
2x_{1}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(\boldsymbol{f}\)は線形写像です。したがって先の命題より、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0-0+0 \\
2\cdot 0\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となるため主張が成り立ちます。

例（線形写像によるゼロベクトルの像はゼロベクトル）
係数と変数がともに実数であるような多項式関数からなる集合を、\begin{equation*}
P=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は多項式関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(\left( \mathbb{R} ,P\right) \)はベクトル空間です。任意の多項式関数は微分可能であり、多項式関数の導関数は多項式関数です。したがって、それぞれの多項式関数\(f\in P\)に対して、その導関数に相当する多項式関数\begin{equation*}T\left( f\right) =f^{\prime }
\end{equation*}を像として定める写像\(T:P\rightarrow P\)が定義可能です。先に示したように\(T\)は線形写像です。\(P\)におけるゼロベクトルは定数関数\begin{equation*}0:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。したがって先の命題より、\begin{equation*}
T\left( 0\right) =0
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
T\left( 0\right) &=&0^{\prime }\quad \because T\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{定数関数の微分}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

先の命題の対偶より、写像\(f\)によるゼロベクトルの像がゼロベクトルではない場合、\(f\)は線形写像ではありません。

例（線形写像ではない写像）
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{2}\right) \)はベクトル空間です。写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}+1 \\
x_{2}+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この写像\(\boldsymbol{f}\)によるゼロベクトルの像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}ですが、これはゼロベクトルではないため、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)は線形写像ではありません。

 

線形写像によるベクトル逆元の逆像はベクトル逆元

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)と線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとします。\(f\)の定義域\(V\)からベクトル\(x\)を任意に選んだ上で、そのベクトル加法逆元\(-x\)を\(f\)に入力すると終集合\(W\)上のベクトル\(f\left( -x\right) \)が得られますが、これは\(f\)が\(x\)に対して定めるベクトル\(f\left(x\right) \)の加法逆元と一致します。つまり、\begin{equation*}\forall x\in V:f\left( -x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。線形写像はベクトル逆元をベクトル逆元へ写すということです。

命題（線形写像によるベクトル逆元の逆像はベクトル逆元）
ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)と線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとする。このとき、\begin{equation*}\forall x\in V:f\left( -x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例（線形写像によるベクトル逆元の逆像はベクトル逆元）
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{2}\right) ,\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)はともにベクトル空間です。写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-x_{2}+x_{3} \\
2x_{1}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(\boldsymbol{f}\)は線形写像です。したがって先の命題より、ベクトル\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
-x_{1} \\
-x_{2} \\
-x_{3}\end{array}\right) =-\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
-x_{1} \\
-x_{2} \\
-x_{3}\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-x_{1}+x_{2}-x_{3} \\
-2x_{1}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&-\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-x_{2}+x_{3} \\
2x_{1}\end{array}\right) \\
&=&-\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため主張が成り立ちます。

例（線形写像によるベクトル逆元の逆像はベクトル逆元）
係数と変数がともに実数であるような多項式関数からなる集合を、\begin{equation*}
P=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は多項式関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(\left( \mathbb{R} ,P\right) \)はベクトル空間です。任意の多項式関数は微分可能であり、多項式関数の導関数は多項式関数です。したがって、それぞれの多項式関数\(f\in P\)に対して、その導関数に相当する多項式関数\begin{equation*}T\left( f\right) =f^{\prime }
\end{equation*}を像として定める写像\(T:P\rightarrow P\)が定義可能です。先に示したように\(T\)は線形写像です。したがって先の命題より、多項式関数\(f\in P\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}T\left( -f\right) =-T\left( f\right)
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
T\left( -f\right) &=&\left( -f\right) ^{\prime }\quad \because T\text{の定義} \\
&=&-f^{\prime }\quad \because \text{関数の定数倍の微分} \\
&=&-T\left( f\right) \quad \because T\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

先の命題の対偶より、写像\(f\)による何らかのベクトル\(x\)の加法逆元の像\(f\left( -x\right) \)が\(-f\left( x\right) \)と一致しない場合、\(f\)は線形写像ではありません。

例（線形写像ではない写像）
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{2}\right) \)はベクトル空間です。写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left\vert x_{1}\right\vert \\
\left\vert x_{2}\right\vert
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
-1\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\left\vert -1\right\vert \\
\left\vert -1\right\vert
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
-\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) &=&-\left(
\begin{array}{c}
\left\vert 1\right\vert \\
\left\vert 1\right\vert
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
-1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
-1\end{array}\right) \not=-\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より\(\boldsymbol{f}\)は線形写像ではありません。

 

線形写像による線型結合の像は線型結合

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)と線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとします。\(f\)の定義域\(V\)から2つのベクトル\(x_{1},x_{2}\)を任意に選んだ上で、これらの線型結合\(k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}\)を写像\(f\)に入力すると終集合\(W\)上のベクトル\(f\left( k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}\right) \)が得られますが、このベクトルは、\(f\)が\(x_{1}\)と\(x_{2}\)に対してそれぞれ定めるベクトルの線型結合である\(k_{1}f\left(x_{1}\right) +k_{2}f\left( x_{2}\right) \)と一致します。つまり、\begin{equation*}\forall k_{1},k_{2}\in K,\ \forall x_{1},x_{2}\in V:f\left(
k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}\right) =k_{1}f\left( x_{1}\right) +k_{2}f\left(
x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。線形写像はベクトルの線型結合を線型結合へ写すということです。

逆の議論も成立するため、以上の性質によって線形写像の定義とすることもできます。線形写像は任意の2つのベクトルの線型結合を線型結合へ写す写像であるということです。

命題（線形写像による線型結合の像は線型結合）
ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)と線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとする。このとき、\begin{equation*}\forall k_{1},k_{2}\in K,\ \forall x_{1},x_{2}\in V:f\left(
k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}\right) =k_{1}f\left( x_{1}\right) +k_{2}f\left(
x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことと、\(f\)が線形写像であることは必要十分条件である。
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線形写像を以下のように定義することもできます。線形写像は任意の有限個のベクトルの線型結合を線型結合へ写す写像であるということです。

命題（線形写像による線型結合の像は線型結合）
ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)と線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとする。このとき、\begin{equation*}\forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall k_{1},\cdots ,k_{m}\in K,\ \forall x_{1},\cdots ,x_{m}\in
V:f\left( k_{1}x_{1}+\cdots +k_{m}x_{m}\right) =k_{1}f\left( x_{1}\right)
+\cdots +k_{m}f\left( x_{m}\right)
\end{equation*}が成り立つことと、\(f\)が線形写像であることは必要十分条件である。
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線形写像の例：ゼロ写像

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)が与えられているものとします。\(W\)はベクトル空間であるためゼロベクトル\(0\in W\)を要素として持ちます。そこで、任意の\(x\in V\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を像として定める写像\(f:V\rightarrow W\)が定義可能です。これをゼロ写像（zero mapping）と呼びます。

ゼロ写像は線形写像です。

命題（ゼロ写像は線形写像）
ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)が与えられているものとする。写像\(f:V\rightarrow W\)はそれぞれの\(x\in V\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、右辺の\(0\)は\(W\)上のゼロベクトルである。\(f\)は線形写像である。
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線形写像の例：恒等写像

写像の定義域と終集合が同一のベクトル空間\(\left( K,V\right) \)である場合には、入力したベクトル\(x\in V\)に対して、それと同じベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を返す写像\(f:V\rightarrow V\)が定義可能です。これを恒等写像（identity mapping）と呼びます。

恒等写像は線形写像です。

命題（恒等写像は線形写像）
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)が与えられているものとする。写像\(f:V\rightarrow V\)はそれぞれの\(x\in V\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)は線形写像である。
証明

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演習問題

問題（実ベクトル空間上の線形写像）
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{2}\right) ,\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)はともにベクトル空間です。写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2x_{1}-x_{2}+3x_{3} \\
7x_{1}+5x_{2}-6x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が線形写像であることを示してください。
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問題（多項式関数と線形写像）
係数と変数がともに実数であり、なおかつ次数が\(n\in \mathbb{N} \)以下であるような多項式関数からなる集合を、\begin{equation*}P_{n}=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は}n\text{次以下の多項式関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(\left( \mathbb{R} ,P_{n}\right) \)はベクトル空間です。その上で、\(\left( \mathbb{R} ,P_{n}\right) \)から\(\left( \mathbb{R} ,P_{n+1}\right) \)への写像\(T:P_{n}\rightarrow P_{n+1}\)はそれぞれの多項式関数\(f\in P_{n}\)に対して、以下の多項式関数\begin{equation*}T\left( f\right) =xf
\end{equation*}を値として定めるものとします。\(T\)が線形写像であることを示してください。
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問題（多項式関数の微分と線形写像）
係数と変数がともに実数であるような多項式関数からなる集合を、\begin{equation*}
P=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は多項式関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(\left( \mathbb{R} ,P\right) \)はベクトル空間です。任意の多項式関数は微分可能であり、多項式関数の導関数は多項式関数です。したがって、それぞれの多項式関数\(f\in P\)に対して、その導関数に相当する多項式関数\begin{equation*}T\left( f\right) =f^{\prime }
\end{equation*}を像として定める写像\(T:P\rightarrow P\)が定義可能です。\(T\)が線形写像であることを示してください。
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問題（多項式関数の積分と線形写像）
係数と変数がともに実数であるような多項式関数からなる集合を、\begin{equation*}
P=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は多項式関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(\left( \mathbb{R} ,P\right) \)はベクトル空間です。また、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} \right) \)はベクトル値関数です。\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、任意の多項式関数は有界閉区間\(\left[ a,b\right] \subset \mathbb{R} \)上でリーマン積分可能です。したがって、それぞれの多項式関数\(f\in P\)に対して、以下の実数\begin{equation*}T\left( f\right) =\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を像として定める写像\(T:P\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(T\)が線形写像であることを示してください。
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問題（点列のシフトと線形写像）
体\(K\)を任意に選んだ上で、\(K\)の要素を項として持つ点列からなる集合を、\begin{equation*}K^{\infty }=\left\{ \left\{ x_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\ |\ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in K\right\}
\end{equation*}で表記します。\(\left( K,K^{\infty}\right) \)は線形空間です。その上で、それぞれの点列\(\left\{ x_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\in K^{\infty }\)に対して、以下の点列\begin{equation*}f\left( \left\{ x_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\right) =\left\{ x_{n+1}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}を像として定める写像\(f:K^{\infty }\rightarrow K^{\infty }\)を定義します。\(f\)が線形写像であることを示してください。
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問題（複素ベクトル空間と線形写像）
複素ベクトル空間\(\left( \mathbb{C} ,\mathbb{C} \right) \)はベクトル空間です。写像\(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \)はそれぞれの複素数\(x+yi\in \mathbb{C} \)に対して、以下の複素数\begin{equation*}f\left( x+yi\right) =x-yi
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(f\)は線形写像でしょうか。議論してください。
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問題（実ベクトル空間と線形写像）
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{2}\right) ,\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)はともにベクトル空間です。写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x+y \\
x+1 \\
3y\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は線形写像でしょうか。議論してください。
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問題（関数空間と線形写像）
実数空間\(\mathbb{R} \)上に定義された実数値をとる関数からなる集合を、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{\mathbb{R} }=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は関数}\right\} \end{equation*}で表記します。\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{\mathbb{R} }\right) \)はベクトル空間です。それぞれの関数\(f\in \mathbb{R} ^{\mathbb{R} }\)に対して、以下の関数\begin{equation*}T\left( f\right) =f^{2}
\end{equation*}を値として定める写像\(T:\mathbb{R} ^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} ^{\mathbb{R} }\)を定義します。\(T\)は線形写像でしょうか。議論してください。
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問題（多項式関数との積と線形写像）
係数と変数がともに実数であり、次数が\(n\in \mathbb{N} \)以上の多項式関数からなる集合を、\begin{equation*}P_{n}=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は}n\text{次以下の多項式関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(\left( \mathbb{R} ,P_{n}\right) \)および\(\left( \mathbb{R} ,P_{n+1}\right) \)はベクトル空間です。それぞれの多項式関数\(f\in P_{n}\)に対して、以下の多項式関数\begin{equation*}T\left( f\right) =xf
\end{equation*}を像として定める写像\(T:P_{n}\rightarrow P_{n+1}\)を定義します。\(T\)が線形写像であることを示してください。
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