線形写像の核（ゼロ空間）

線形写像の核

2つのベクトル空間\(\left(K,V\right) ,\left( K,W\right) \)に加えて、写像\begin{equation*}f:V\rightarrow W
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)は一方のベクトル空間に属するベクトル\(x\in V\)を、もう一方のベクトル空間上のベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) \in W
\end{equation*}へと変換する写像です。このような写像\(f\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in V:f\left( x+y\right) =f\left(
x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in K,\ \forall x\in V:f\left( kx\right)
=kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。

線形写像\(f:V\rightarrow W\)および終集合上のベクトル\(y\in W\)が与えられているものとします。それに対して、\(y=f\left( x\right) \)を満たすようなベクトル\(x\in V\)からなる集合を、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in V\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)による\(y\)の逆像（inverse image）や原像（preimage）などと呼びます。

線形写像\(f:V\rightarrow W\)が定義域の要素であるベクトル\(x\in V\)に対して定める像\(f\left( x\right) \)は終集合\(W\)の「要素」であるようなベクトルです。一方、\(f\)が終集合の要素であるベクトル\(y\in W\)に対して定める逆像\(f^{-1}\left( y\right) \)は定義域\(V\)の「部分集合」であることに注意が必要です。つまり、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) \subset V
\end{equation*}が成り立ちます。逆像の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in V\times W\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow y=f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル\(x,y\)について、\(x\)が\(y\)の逆像の要素であることと、\(f\)による\(x\)の像が\(y\)と一致することは必要十分です。

線形写像\(f:V\rightarrow W\)の終集合\(W\)はベクトル空間であるため、ゼロベクトルを要素として持ちます。したがって、\(f\)によるゼロベクトル\(0\in W\)の逆像が常に定義可能です。これを\(f\)の核（kernel）やゼロ空間（null space）などと呼び、\begin{eqnarray*}\ker \left( f\right) &=&f^{-1}\left( 0\right) \quad \because \text{核の定義} \\
&=&\left\{ x\in V\ |\ f\left( x\right) =0\right\} \quad \because \text{逆像の定義}
\end{eqnarray*}で表記します。明らかに、\begin{equation*}
\ker \left( f\right) \subset V
\end{equation*}が成り立ちます。

線形写像の核は定義域の部分空間

線形写像\(f:V\rightarrow W\)の核は定義域であるベクトル空間\(V\)の部分空間です。

線形写像による部分空間の逆像は部分空間

線形写像\(f:V\rightarrow W\)に加えて\(f\)の終集合の部分集合\(Y\subset W\)が与えられたとき、\(f\)による\(Y\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ x\in V\ |\ f\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}と定義される\(V\)の部分集合です。\(Y\)が\(W\)の部分空間である場合、線形写像\(f\)による\(Y\)の逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)は\(V\)の部分空間になることが保証されます。線形写像は部分空間を部分空間に戻すということです。

線形写像によるアフィン部分空間の逆像はアフィン部分空間

線形写像\(f:V\rightarrow W\)に加えて\(f\)の終集合の部分集合\(Y\subset W\)が与えられたとき、\(f\)による\(Y\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ x\in V\ |\ f\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}と定義される\(V\)の部分集合です。\(Y\)が\(W\)のアフィン部分空間である場合、線形写像\(f\)による\(Y\)の逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)は\(V\)のアフィン部分空間になることが保証されます。線形写像はアフィン部分空間をアフィン部分空間に戻すということです。

演習問題