線形写像の核
2つのベクトル空間\(\left(K,V\right) ,\left( K,W\right) \)に加えて、写像\begin{equation*}f:V\rightarrow W
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)は一方のベクトル空間に属するベクトル\(x\in V\)を、もう一方のベクトル空間上のベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) \in W
\end{equation*}へと変換する写像です。このような写像\(f\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in V:f\left( x+y\right) =f\left(
x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in K,\ \forall x\in V:f\left( kx\right)
=kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。
線形写像\(f:V\rightarrow W\)および終集合上のベクトル\(y\in W\)が与えられているものとします。それに対して、\(y=f\left( x\right) \)を満たすようなベクトル\(x\in V\)からなる集合を、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in V\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)による\(y\)の逆像(inverse image)や原像(preimage)などと呼びます。
線形写像\(f:V\rightarrow W\)が定義域の要素であるベクトル\(x\in V\)に対して定める像\(f\left( x\right) \)は終集合\(W\)の「要素」であるようなベクトルです。一方、\(f\)が終集合の要素であるベクトル\(y\in W\)に対して定める逆像\(f^{-1}\left( y\right) \)は定義域\(V\)の「部分集合」であることに注意が必要です。つまり、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) \subset V
\end{equation*}が成り立ちます。逆像の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in V\times W\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow y=f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル\(x,y\)について、\(x\)が\(y\)の逆像の要素であることと、\(f\)による\(x\)の像が\(y\)と一致することは必要十分です。
線形写像\(f:V\rightarrow W\)の終集合\(W\)はベクトル空間であるため、ゼロベクトルを要素として持ちます。したがって、\(f\)によるゼロベクトル\(0\in W\)の逆像が常に定義可能です。これを\(f\)の核(kernel)やゼロ空間(null space)などと呼び、\begin{eqnarray*}\ker \left( f\right) &=&f^{-1}\left( 0\right) \quad \because \text{核の定義} \\
&=&\left\{ x\in V\ |\ f\left( x\right) =0\right\} \quad \because \text{逆像の定義}
\end{eqnarray*}で表記します。明らかに、\begin{equation*}
\ker \left( f\right) \subset V
\end{equation*}が成り立ちます。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-x_{2}+x_{3} \\
2x_{1}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は線形写像であるとともに、その核は、\begin{eqnarray*}\ker \left( f\right) &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x_{1}-x_{2}+x_{3} \\
2x_{1}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\} \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}です。これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}-x_{2}+x_{3}=0 \\
2x_{1}=0\end{array}\right.
\end{equation*}の解集合であるため、\begin{equation*}
\ker \left( f\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
t \\
t\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in \boldsymbol{\mathbb{R} }\right\}
\end{equation*}となります。
P=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は多項式関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(\left( \mathbb{R} ,P\right) \)はベクトル空間です。任意の多項式関数は微分可能であり、多項式関数の導関数は多項式関数です。したがって、それぞれの多項式関数\(f\in P\)に対して、その導関数に相当する多項式関数\begin{equation*}T\left( f\right) =f^{\prime }
\end{equation*}を像として定める写像\(T:P\rightarrow P\)が定義可能です。\(T\)は線形写像です。ベクトル空間\(P\)のゼロベクトルはゼロだけを値としてとる定数関数\begin{equation*}0:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるため、\(T\)の核は、\begin{eqnarray*}\ker \left( T\right) &=&\left\{ f\in P\ |\ T\left( f\right) =0\right\} \\
&=&\left\{ f\in P\ |\ f^{\prime }=0\right\} \quad \because T\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。導関数が定数関数\(0\)と一致するような多項式関数は定数関数であるため、\begin{equation*}\left\{ f\in P\ |\ f^{\prime }=0\right\} =\left\{ f\in P\ |\ f\text{は定数関数}\right\}
\end{equation*}であり、したがって、\begin{equation*}
\ker \left( T\right) =\left\{ f\in P\ |\ f\text{は定数関数}\right\}
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を定めるゼロ写像\(f:V\rightarrow W\)を定義します。ゼロ写像は線形写像であるとともに、その核は、\begin{eqnarray*}\ker \left( f\right) &=&\left\{ x\in V\ |\ f\left( x\right) =0\right\} \\
&=&\left\{ x\in V\ |\ 0=0\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&V
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}を定める恒等写像\(f:V\rightarrow V\)を定義します。恒等写像は線形写像であるとともに、その核は、\begin{eqnarray*}\ker \left( f\right) &=&\left\{ x\in V\ |\ f\left( x\right) =0\right\} \\
&=&\left\{ x\in V\ |\ x=0\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}です。
線形写像の核は定義域の部分空間
線形写像\(f:V\rightarrow W\)の核は定義域であるベクトル空間\(V\)の部分空間です。
\end{equation*}は\(V\)の部分空間である。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-x_{2}+x_{3} \\
2x_{1}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は線形写像であるとともに、その核が、\begin{eqnarray*}\ker \left( f\right) &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
t \\
t\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in \boldsymbol{\mathbb{R} }\right\} \\
&=&\left\{ t\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in \boldsymbol{\mathbb{R} }\right\}
\end{eqnarray*}であることは先に示した通りです。これは方向ベクトルが\(\left(0,1,1\right) \)であるような原点を通過する直線であるため\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
P=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は多項式関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(\left( \mathbb{R} ,P\right) \)はベクトル空間です。任意の多項式関数は微分可能であり、多項式関数の導関数は多項式関数です。したがって、それぞれの多項式関数\(f\in P\)に対して、その導関数に相当する多項式関数\begin{equation*}T\left( f\right) =f^{\prime }
\end{equation*}を像として定める写像\(T:P\rightarrow P\)が定義可能です。\(T\)は線形写像であるとともに、その核が、\begin{equation*}\ker \left( T\right) =\left\{ f\in P\ |\ f\text{は定数関数}\right\}
\end{equation*}であることは先に示した通りです。ベクトル空間\(P\)におけるゼロベクトルはゼロだけを値としてとる定数関数\begin{equation*}0:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるため、\(\ker \left( T\right) \)の定義より、\begin{equation*}0\in \ker \left( T\right)
\end{equation*}を得ます。また、スカラー\(k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} \)と定数関数\(f,g\in \ker \left( T\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}k_{1}f+k_{2}g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は定数関数であるため、\(\ker \left( T\right) \)の定義より、\begin{equation*}k_{1}f+k_{2}g\in \ker \left( T\right)
\end{equation*}を得ます。したがって\(\ker \left( T\right) \)は\(P\)の部分空間です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるゼロ写像\(f:V\rightarrow W\)を定義します。ゼロ写像は線形写像であるとともに、その核が、\begin{equation*}\ker \left( f\right) =V
\end{equation*}であることは先に示した通りです。\(V\)は\(V\)の部分空間であるため、\(\ker \left( f\right) \)は\(V\)の部分空間です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定める恒等写像\(f:V\rightarrow V\)を定義します。恒等写像は線形写像であるとともに、その核が、\begin{equation*}\ker \left( f\right) =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であることは先に示した通りです。\(\left\{ 0\right\} \)は\(V\)の部分空間であるため、\(\ker \left( f\right) \)は\(V\)の部分空間です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
線形写像による部分空間の逆像は部分空間
線形写像\(f:V\rightarrow W\)に加えて\(f\)の終集合の部分集合\(Y\subset W\)が与えられたとき、\(f\)による\(Y\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ x\in V\ |\ f\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}と定義される\(V\)の部分集合です。\(Y\)が\(W\)の部分空間である場合、線形写像\(f\)による\(Y\)の逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)は\(V\)の部分空間になることが保証されます。線形写像は部分空間を部分空間に戻すということです。
\end{equation*}は\(V\)の部分空間になる。
線形写像によるアフィン部分空間の逆像はアフィン部分空間
線形写像\(f:V\rightarrow W\)に加えて\(f\)の終集合の部分集合\(Y\subset W\)が与えられたとき、\(f\)による\(Y\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ x\in V\ |\ f\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}と定義される\(V\)の部分集合です。\(Y\)が\(W\)のアフィン部分空間である場合、線形写像\(f\)による\(Y\)の逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)は\(V\)のアフィン部分空間になることが保証されます。線形写像はアフィン部分空間をアフィン部分空間に戻すということです。
\end{equation*}が非空ならば、これは\(V\)のアフィン部分空間である。
演習問題
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{11}+a_{12} \\
a_{21}+a_{22}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を像として定めるものとします。\(f\)が線形写像であることを確認した上で、\(f\)の核を求めてください。
\end{equation*}で表記します。\(\left( \mathbb{R} ,P_{1}\right) \)はベクトル空間です。それぞれの多項式関数\(ax+b\in P_{1}\)に対して、以下の多項式関数\begin{equation*}T\left( ax+b\right) =2bx-a
\end{equation*}を像として定める写像\(T:P_{1}\rightarrow P_{1}\)を定義します。\(T\)が線形写像であることを確認した上で、\(T\)の核を求めてください。
\end{equation*}で表記します。\(\left( \mathbb{R} ,P_{n}\right) \)および\(\left( \mathbb{R} ,P_{n+1}\right) \)はベクトル空間です。それぞれの多項式関数\(f\in P_{n}\)に対して、以下の多項式関数\begin{equation*}T\left( f\right) =xf
\end{equation*}を像として定める写像\(T:P_{n}\rightarrow P_{n+1}\)を定義します。\(T\)が線形写像であることを確認した上で、\(T\)の核を求めてください。
\end{equation*}で表記します。\(\left( \mathbb{R} ,P_{3}\right) \)はベクトル空間です。写像\(T:\mathbb{R} ^{\left[ 0,3\right] }\rightarrow P_{3}\)はそれぞれの関数\(f\in \mathbb{R} ^{\left[ 0,3\right] }\)に対して、以下の関数\begin{equation*}T\left( f\right) \left( x\right) =f\left( 0\right) +f\left( 1\right) \cdot
x+f\left( 2\right) \cdot x^{2}+f\left( 3\right) \cdot x^{3}
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(T\)が線形写像であることを確認した上で、\(T\)の核を求めてください。
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