線形写像の表現行列と行列表現

線形写像と行列の関係

定義域と終集合がともに実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) ,\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{m}\right) \)であるような線形写像\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}に対しては、その定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} =\left\{
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を用いることにより、線形写像\(\boldsymbol{f}\)の標準行列が、\begin{eqnarray*}M\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left( \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) ,\cdots ,\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \right)
\\
&=&\begin{pmatrix}
f_{1}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) & \cdots & f_{1}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{e}_{1}\right) & \cdots & f_{m}\left( \boldsymbol{e}_{n}\right)
\end{pmatrix}
\\
&\in &M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}と定義されるとともに、任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =M\left( \boldsymbol{f}\right)
\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つため、線形写像\(\boldsymbol{f}\)とその標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)を同一視できます。以上の関係を用いることにより、行列に関する概念を用いて線形写像を分析できます。

では、実ベクトル空間であるとは限らない一般のベクトル空間の間に定義された線形写像についても、それを行列を用いて表現できるのでしょうか。順番に考えます。

線形写像と定義域の基底

ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)が有限次元であるものとします。つまり、\begin{equation*}\exists n\in \mathbb{N} :\dim V=n
\end{equation*}が成り立つということです。\(V\)の基底を任意に選んだ上で、それを、\begin{equation*}\left\{ v_{1},\cdots ,v_{n}\right\} \subset V
\end{equation*}で表記します。基底の定義より、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ V=\mathrm{span}\left( \left\{ v_{1},\cdots
,v_{n}\right\} \right) \\
&&\left( b\right) \ \left\{ v_{1},\cdots ,v_{n}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。もう一つのベクトル空間\(\left( K,W\right) \)から同じく有限\(n\)個のベクトルを任意に選び、それらを、\begin{equation*}\left\{ w_{1},\cdots ,w_{n}\right\} \subset W
\end{equation*}で表記します。これらのベクトルは\(W\)の基底である必要はありません。このとき、以下の条件\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
f\left( v_{1}\right) =w_{1} \\
\vdots \\
f\left( v_{n}\right) =w_{n}\end{array}\right.
\end{equation*}を満たす線形写像\begin{equation*}
f:V\rightarrow W
\end{equation*}が存在するとともに、一意的に定まることが保証されます。さらに、この線形写像\(f\)は以下の条件\begin{equation*}\forall a_{1},\cdots ,a_{n}\in K:f\left( a_{1}v_{1}+\cdots
+a_{n}v_{n}\right) =a_{1}w_{1}+\cdots +a_{n}w_{n}
\end{equation*}を満たします。

つまり、有限なベクトル空間\(\left( K,V\right) \)からベクトル空間\(\left( K,W\right) \)への線形写像\(f\)が必ず存在します。加えて、\(V\)の基底\(\left\{ v_{1},\cdots ,v_{n}\right\} \)と、基底ベクトルの像\(\left\{w_{1},\cdots ,w_{n}\right\} \)をそれぞれ指定すれば、\(V\)から\(W\)への線形写像\(f\)が一意的に定まります。通常、写像\(f:V\rightarrow W\)の形状を完全に特定するためには、定義域\(V\)に属するすべてのベクトル\(x\in V\)に関して、その像\(f\left( x\right) \in W\)を特定する必要があります。一方、\(f\)が線形写像である場合には、\(V\)の基底\(v_{1},\cdots ,v_{n}\in V\)の像\(f\left( v_{1}\right) ,\cdots,f\left( v_{n}\right) \in W\)さえ明らかになれば、\(f\)の形状を完全に特定できます。

線形写像の表現行列

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)がともに有限次元であるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}\exists n &\in &\mathbb{N} :\dim V=n \\
\exists m &\in &\mathbb{N} :\dim W=m
\end{eqnarray*}が成り立つということです。\(V\)および\(W\)の基底をそれぞれ任意に選んだ上で、それらを、\begin{eqnarray*}\alpha &=&\left\{ v_{1},\cdots ,v_{n}\right\} \subset V \\
\beta &=&\left\{ w_{1},\cdots ,w_{m}\right\} \subset W
\end{eqnarray*}で表記します。

線形写像\(f:V\rightarrow W\)に定義域\(V\)上のベクトル\(x\in V\)を入力すれば、終集合\(W\)上に存在するベクトル\(f\left( x\right) \in W\)が出力されます。以上の関係を行列を用いて表現するためにはどうすればよいでしょうか。つまり、線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられたとき、これを行列\(A\in M_{m,n}\left(K\right) \)から定義される線形写像\begin{equation*}A\boldsymbol{x}:K^{n}\rightarrow K^{m}
\end{equation*}として表現するためにはどうすればよいでしょうか。

線形写像\(A\boldsymbol{x}:K^{n}\rightarrow K^{m}\)に入力するベクトルは\(n\)次元ベクトルであるため、まずは、線形写像\(f\)へ入力するベクトル\(x\in V\)を\(n\)次元ベクトルへ変換します。具体的には、基底\(\alpha\subset V\)のもとでのベクトル\(x\in V\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ x\right] _{\alpha }\in K^{n}
\end{equation*}であるため、これを線形写像\(A\boldsymbol{x}\)へ入力します。その結果、\(m\)次元ベクトル\begin{equation*}A\left[ x\right] _{a}\in K^{m}
\end{equation*}が出力されます。一方、線形写像\(f\)から出力されるベクトル\(f\left(x\right) \in W\)の基底\(\beta \subset W\)のもとでの座標ベクトルは、以下の\(m\)次元ベクトル\begin{equation*}\left[ f\left( x\right) \right] _{\beta }\in K^{m}
\end{equation*}です。任意のベクトル\(x\in V\)に対して両者が一致するならば、すなわち、以下の関係\begin{equation*}\forall x\in X:\left[ f\left( x\right) \right] _{\beta }=A\left[ x\right] _{\alpha }
\end{equation*}を満たす行列\(A\in M_{m,n}\left( K\right) \)が存在するならば、この行列\(A\)を線形写像\(f\)と同一視できます。

改めて整理すると、ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)が有限次元\(n\in \mathbb{N} \)であり、ベクトル空間\(\left( K,W\right) \)が有限次元\(m\in \mathbb{N} \)である状況において、それぞれのベクトル空間の基底\begin{eqnarray*}\alpha &=&\left\{ v_{1},\cdots ,v_{n}\right\} \subset V \\
\beta &=&\left\{ w_{1},\cdots ,w_{m}\right\} \subset W
\end{eqnarray*}および線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられたとき、これらに対して以下の関係\begin{equation*}\forall x\in X:\left[ f\left( x\right) \right] _{\beta }=A\left[ x\right] _{\alpha }
\end{equation*}を満たす行列\(A\in M_{m,n}\left( K\right) \)が存在する場合、これを基底\(\alpha ,\beta \)のもとでの線形写像\(f\)の表現行列（matrix of \(f\) with respectto bases \(\alpha \) and \(\beta \)）と呼び、\begin{equation*}M\left( f,\alpha ,\beta \right) ,\quad A_{\beta }^{\alpha }
\end{equation*}などで表記します。その上で、表現行列\(M\left( f,\alpha ,\beta \right) \)から定義される線形写像\begin{equation*}M\left( f,\alpha ,\beta \right) \boldsymbol{x}:K^{n}\rightarrow K^{m}
\end{equation*}を、基底\(\alpha ,\beta \)のもとでの線形写像\(f\)の行列表現（matrix representation of \(f\)with respect to bases \(\alpha \) and \(\beta \)）と呼びます。

有限次元のベクトル空間の間に定義された線形写像に関しては、その表現行列は必ず存在するとともに、一意的に定まります。しかも、それを以下のように具体的に特定できます。

基底と行列から定義される線形写像

有限次元のベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left( K,W\right) \)の基底\begin{eqnarray*}\alpha &=&\left\{ v_{1},\cdots ,v_{n}\right\} \subset V \\
\beta &=&\left\{ w_{1},\cdots ,w_{m}\right\} \subset W
\end{eqnarray*}が与えられた状況において線形写像\(f:V\rightarrow W\)を任意に選んだとき、基底\(\alpha ,\beta \)のもとでの線形写像\(f\)の表現行列\(M\left( f,\alpha ,\beta \right) \in M_{m,n}\left( K\right) \)が一意的に定まるとともに、以下の関係\begin{equation*}M\left( f,\alpha ,\beta \right) =\left( \left[ f\left( v_{1}\right) \right] _{\beta },\cdots ,\left[ f\left( v_{n}\right) \right] _{\beta }\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

逆に、基底\(\alpha ,\beta \)と行列\(A\in M_{m,n}\left( K\right) \)が与えられれば、\(A\)が表現行列であるような線形写像、すなわち、以下の条件\begin{equation*}A=M\left( f,\alpha ,\beta \right)
\end{equation*}を満たす線形写像\(f:V\rightarrow W\)が存在することを保証できます。

線形写像空間と行列空間の間の同型写像

有限次元のベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left( K,W\right) \)の基底\begin{eqnarray*}\alpha &=&\left\{ v_{1},\cdots ,v_{n}\right\} \subset V \\
\beta &=&\left\{ w_{1},\cdots ,w_{m}\right\} \subset W
\end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。また、\(V\)を定義域とし、\(W\)を終集合とする線形写像\(f:V\rightarrow W\)をすべて集めることによりできる集合を、\begin{equation*}\hom \left( V\rightarrow W\right) =\left\{ f:V\rightarrow W\ |\ f\text{は線形写像}\right\}
\end{equation*}で表記します。

線形写像\(f\in \hom \left( V\rightarrow W\right) \)を任意に選んだとき、それに対して基底\(\alpha ,\beta \)のもとでの線形写像\(f\)の表現行列\(M\left( f,\alpha,\beta \right) \in M_{m,n}\left( K\right) \)が一意的に定まることが明らかになりました。このような事情を踏まえると、それぞれの\(f\in \hom \left( V\rightarrow W\right) \)に対して、\begin{equation*}M\left( f\right) =M\left( f,\alpha ,\beta \right) \in M_{m,n}\left( K\right)
\end{equation*}を像として定める写像\begin{equation*}
M:\hom \left( V\rightarrow W\right) \rightarrow M_{m,n}\left( K\right)
\end{equation*}が定義可能であるとともに、これは単射になります。逆に、基底\(\alpha ,\beta \)と行列\(A\in M_{m,n}\left(K\right) \)が与えられれば、以下の条件\begin{equation*}A=M\left( f,\alpha ,\beta \right)
\end{equation*}を満たす線形写像\(f:V\rightarrow W\)が存在することが明らかになりました。以上の事実は、先の写像\(M\)が全射であることを意味します。

後ほど示すように、線形写像空間\(\hom \left( V\rightarrow W\right) \)はベクトル空間です。また、行列空間\(M_{m,n}\left( K\right) \)はベクトル空間です。ベクトル空間どうしを結ぶ写像が全単射であるような線形写像である場合、そのような写像を同型写像と呼びます。したがって、先の事実は、写像\(M\)が同型写像であることを意味します。

以上の命題より、線形写像\(f:V\rightarrow W\)と行列\(A\in M_{m,n}\left( K\right) \)の間には1対1の関係が成立することが明らかになりました。つまり、線形写像\(f\)とその表現行列\(M\left(f,\alpha ,\beta \right) \)を同一視できるため、実ベクトル空間であるとは限らない一般のベクトル空間の間に定義された線形写像についても、それを行列に関する概念を用いて分析できます。

線形写像の表現行列は基底の選び方に依存する

線形写像の表現行列は基底の選び方に依存します。以下の例より明らかです。

演習問題