線形写像が全射・単射・全単射であることの判定

線形写像が全射であることの判定

2つのベクトル空間\(\left(K,V\right) ,\left( K,W\right) \)に加えて、写像\begin{equation*}f:V\rightarrow W
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)は一方のベクトル空間に属するベクトル\(x\in V\)を、もう一方のベクトル空間上のベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) \in W
\end{equation*}へと変換する写像です。このような写像\(f\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in V:f\left( x+y\right) =f\left(
x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in K,\ \forall x\in V:f\left( kx\right)
=kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。

線形写像\(f:V\rightarrow W\)が全射であることとは、終集合上に存在するベクトル\(y\in W\)を任意に選んだとき、それに対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす定義域上のベクトル\(x\in V\)が必ず存在すること、すなわち、\begin{equation*}\forall y\in W,\ \exists x\in V:y=f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

線形写像\(f:V\rightarrow W\)の値域は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}\left( f\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in W\ |\ x\in
V\right\} \\
&=&\left\{ y\in W\ |\ \exists x\in V:y=f\left( x\right) \right\}
\end{eqnarray*}と定義される\(W\)の部分集合です。明らかに、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( f\right) \subset W
\end{equation*}が成り立ちますが、特に、\begin{equation*}
\mathrm{Im}\left( f\right) =W
\end{equation*}が成り立つことは、すなわち線形写像\(f\)の値域が終集合と一致することは、\(f\)が全射であるための必要十分条件です。

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)に加えて線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとします。\(V,W\)がともに有限次元である場合、これらの次元\(\dim V\)および\(\dim W\)が有限な自然数として定まります。その上で、以下の条件\begin{equation*}\dim V<\dim W
\end{equation*}が成り立つ場合、すなわち、終集合の次元が始集合の次元を上回る場合、\(f\)が全射になる事態は起こり得ません。証明では線形写像に関する次元定理を利用します。

先の命題の対偶より、ベクトル空間\(\left( K,V\right),\left( K,W\right) \)がともに有限次元であるとともに線形写像\(f:V\rightarrow W\)が全射である場合には、\begin{equation}\dim V\geq \dim W \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、全射であるような線形写像の定義域の次元は終集合の次元を下回りません。ただし、これは線形写像が全射であるための十分条件ではなく必要条件であるため、\(\left( 1\right) \)を満たすにも関わらず全射ではない線形写像\(f:V\rightarrow W\)が存在する事態は起こり得ます。以下の例より明らかです。

線形写像が単射であることの判定

線形写像\(f:V\rightarrow W\)が単射であることとは、定義域上に存在する異なるベクトル\(x,x^{\prime }\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)がそれらに対して定めるベクトル\(f\left( x\right) ,f\left(x^{\prime }\right) \in W\)もまた異なることが保証されること、すなわち、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x\not=x^{\prime }\Rightarrow f\left(
x\right) \not=f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。対偶をとると、上の定義を、\begin{equation*}
\forall x,x^{\prime }\in X:\left[ f\left( x\right) =f\left( x^{\prime
}\right) \Rightarrow x=x^{\prime }\right] \end{equation*}と言い換えることもできます。

線形写像\(f:V\rightarrow W\)の核（ゼロ空間）は、\begin{equation*}\ker \left( f\right) =\left\{ x\in V\ |\ f\left( x\right) =0\right\}
\end{equation*}と定義される\(V\)の部分集合です。明らかに、\begin{equation*}\ker \left( f\right) \subset V
\end{equation*}が成り立ちますが、特に、\begin{equation*}
\ker \left( f\right) =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}が成り立つことは、すなわち、線形写像\(f\)の核がゼロベクトルだけを要素として持つ1点集合（ゼロ部分空間）であることは、\(f\)が単射であるための必要十分条件です。

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)に加えて線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとします。\(V,W\)がともに有限次元である場合、これらの次元\(\dim V\)および\(\dim W\)が有限な自然数として定まります。その上で、以下の条件\begin{equation*}\dim V>\dim W
\end{equation*}が成り立つ場合、すなわち、始集合の次元が終集合の次元を上回る場合、\(f\)が単射になる事態は起こり得ません。証明では線形写像に関する次元定理を利用します。

先の命題の対偶より、ベクトル空間\(\left( K,V\right),\left( K,W\right) \)がともに有限次元であるとともに線形写像\(f:V\rightarrow W\)が単射である場合には、\begin{equation}\dim V\leq \dim W \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、単射であるような線形写像の終集合の次元は定義域の次元を下回りません。ただし、これは線形写像が単射であるための十分条件ではなく必要条件であるため、\(\left( 1\right) \)を満たすにも関わらず単射ではない線形写像\(f:V\rightarrow W\)が存在する事態は起こり得ます。以下の例より明らかです。

線形写像が全単射であることの判定

線形写像\(f:V\rightarrow W\)が全単射であることとは、\(f\)が全射かつ単射であること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall y\in W,\ \exists x\in V:y=f\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x\not=x^{\prime
}\Rightarrow f\left( x\right) \not=f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{eqnarray*}が成り立つことを意味します。

先に示した諸命題を踏まえると以下を得ます。

ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)に加えて線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとします。\(V,W\)がともに有限次元である場合、これらの次元\(\dim V\)および\(\dim W\)が有限な自然数として定まります。先に示した命題より、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \dim V>\dim W \\
&&\left( b\right) \ \dim V<\dim W
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つ場合、\(f\)は単射でないか全射でないか少なくとも一方であるため、\(f\)が全単射になる事態は起こり得ません。対偶より、\(f\)が全単射である場合には、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \dim V\leq \dim W \\
&&\left( b\right) \ \dim V\geq \dim W
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。つまり、\(f\)が全単射である場合には、\begin{equation}\dim V=\dim W \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。

ただし、これは線形写像が全単射であるための十分条件ではなく必要条件であるため、\(\left( 1\right) \)を満たすにも関わらず全単射ではない線形写像\(f:V\rightarrow W\)が存在する事態は起こり得ます。以下の例より明らかです。

演習問題