同型写像のもとで不変な性質
体\(K\)を共有する2つのベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)に対して、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は線形写像である} \\
&&\left( b\right) \ f\text{は全単射である}
\end{eqnarray*}を満たす写像\(f:V\rightarrow W\)が存在する場合、このような写像\(f\)を同型写像と呼びます。また、ベクトル空間\(V,W\)に対して同型写像\(f:V\rightarrow W\)が存在する場合、\(V\)と\(W\)は同型であると言い、そのことを、\begin{equation*}V\cong W
\end{equation*}で表記します。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の部分集合であるベクトル集合\begin{equation*}X\subset V
\end{equation*}が満たすべき何らかの性質に注目した上で、その性質を、\begin{equation*}
P
\end{equation*}で表記します。\(\left( K,V\right) \)と同型なベクトル空間\(\left( K,W\right) \)を任意に選びます。同型の定義より、この場合には同型写像\(f:V\rightarrow W\)が存在するため、\(f\)による\(X\)の像\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in W\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}をとることができます。\(f\left( X\right) \subset W\)であるため、\(f\left( X\right) \)もまた先の性質\(P\)を満たすか検討できます。その上で、\(\left( K,V\right) \)と同型なベクトル空間\(\left( K,W\right) \)と同型写像\(f:V\rightarrow W\)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}X\text{が}P\text{を満たす}\Leftrightarrow
f\left( X\right) \text{が}P\text{を満たす}
\end{equation*}が成り立つ場合には、ベクトル集合\(X\subset V\)の性質\(P\)は同型写像のもとで不変である（property \(P\) is invariant under isomorphism）と言います。
同型写像のもとで不変な性質の具体例：ベクトル空間の線型スパン
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の部分集合であるベクトル集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset V
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)が\(V\)を張ること、すなわち、\begin{equation*}V=\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つという性質は、同型写像のもとで不変な性質です。つまり、ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)と同型なベクトル空間\(\left( K,W\right) \)と同型写像\(f:V\rightarrow W\)をそれぞれ任意に選べば、\(f\)による\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)の像\begin{eqnarray*}f\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right) &=&\left\{ f\left(
x\right) \in W\ |\ x\in \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right\} \\
&=&\left\{ f\left( x_{1}\right) ,\cdots ,f\left( x_{m}\right) \right\}
\end{eqnarray*}が得られますが、この場合、以下の関係\begin{equation*}
V=\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\Leftrightarrow W=\mathrm{span}\left( \left\{ f\left( x_{1}\right) ,\cdots
,f\left( x_{m}\right) \right\} \right)
\end{equation*}が必ず成り立つということです。
\end{equation*}が成り立つことは、同型写像のもとで不変な\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)の性質である。
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{12} \\
a_{13} \\
a_{14}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{4}
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(f\)は同型写像であるため、\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)と\(\mathbb{R} ^{4}\)は同型です。\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の標準基底\begin{equation*}\varepsilon =\left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right\} \subset M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}は\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)を張るため、\(f\)による\(\varepsilon \)の像は\(\mathbb{R} ^{4}\)を張るはずです。実際、\begin{eqnarray*}f\left( \varepsilon \right) &=&f\left( \left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right\} \right) \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} ^{4}\)の標準基底であるため、\(f\left( \varepsilon \right) \)は\(\mathbb{R} ^{4}\)を張ります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
同型写像のもとで不変な性質の具体例：線型独立
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の部分集合であるベクトル集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset V
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)が線型独立であるという性質は、同型写像のもとで不変な性質です。つまり、ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)と同型なベクトル空間\(\left( K,W\right) \)と同型写像\(f:V\rightarrow W\)をそれぞれ任意に選べば、\(f\)による\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)の像\begin{eqnarray*}f\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right) &=&\left\{ f\left(
x\right) \in W\ |\ x\in \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right\} \\
&=&\left\{ f\left( x_{1}\right) ,\cdots ,f\left( x_{m}\right) \right\}
\end{eqnarray*}が得られますが、この場合、以下の関係\begin{equation*}
\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \text{は線型独立}\Leftrightarrow \left\{ f\left( x_{1}\right) ,\cdots ,f\left(
x_{m}\right) \right\} \text{は線型独立}
\end{equation*}が必ず成り立つということです。
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{12} \\
a_{13} \\
a_{14}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{4}
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(f\)は同型写像であるため、\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)と\(\mathbb{R} ^{4}\)は同型です。\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の標準基底\begin{equation*}\varepsilon =\left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right\} \subset M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}は線型独立であるため、\(f\)による\(\varepsilon \)の像は線型独立であるはずです。実際、\begin{eqnarray*}f\left( \varepsilon \right) &=&f\left( \left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right\} \right) \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} ^{4}\)の標準基底であるため線型独立です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
同型写像のもとで不変な性質の具体例：基底
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の部分集合であるベクトル集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset V
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)が\(V\)の基底であること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ V=\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots
,x_{m}\right\} \right) \\
&&\left( b\right) \ \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}がともに成り立つという性質は、同型写像のもとで不変な性質です。つまり、ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)と同型なベクトル空間\(\left(K,W\right) \)と同型写像\(f:V\rightarrow W\)をそれぞれ任意に選べば、\(f\)による\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)の像\begin{eqnarray*}f\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right) &=&\left\{ f\left(
x\right) \in W\ |\ x\in \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right\} \\
&=&\left\{ f\left( x_{1}\right) ,\cdots ,f\left( x_{m}\right) \right\}
\end{eqnarray*}が得られますが、この場合、以下の関係\begin{equation*}
\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \text{は}V\text{の基底}\Leftrightarrow \left\{ f\left( x_{1}\right) ,\cdots ,f\left(
x_{m}\right) \right\} \text{は}W\text{の基底}
\end{equation*}が必ず成り立つということです。
,x_{m}\right\} \right) \\
&&\left( b\right) \ \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことは、同型写像のもとで不変な\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)の性質である。
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{12} \\
a_{13} \\
a_{14}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{4}
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(f\)は同型写像であるため、\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)と\(\mathbb{R} ^{4}\)は同型です。\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の標準基底\begin{equation*}\varepsilon =\left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right\} \subset M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}は\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底であるため、\(f\)による\(\varepsilon \)の像は\(\mathbb{R} ^{4}\)の基底であるはずです。実際、\begin{eqnarray*}f\left( \varepsilon \right) &=&f\left( \left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right\} \right) \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} ^{4}\)の標準基底であるため、\(f\left( \varepsilon \right) \)は\(\mathbb{R} ^{4}\)の基底です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
同型写像のもとで不変な性質の具体例：部分空間
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の部分集合\begin{equation*}X\subset V
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。\(X\)が\(V\)の部分空間であるという性質は、同型写像のもとで不変な性質です。つまり、ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)と同型なベクトル空間\(\left( K,W\right) \)と同型写像\(f:V\rightarrow W\)をそれぞれ任意に選べば、\(f\)による\(X\)の像\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in W\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が得られますが、この場合、以下の関係\begin{equation*}
X\text{は}V\text{の部分空間}\Leftrightarrow f\left( X\right) \text{は}W\text{の部分空間}
\end{equation*}が必ず成り立つということです。
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{12} \\
a_{13} \\
a_{14}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{4}
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(f\)は同型写像であるため、\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)と\(\mathbb{R} ^{4}\)は同型です。\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)上に存在する対称行列からなる集合\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ A\in M_{2,2}\left( R\right) \ |\ A=A^{t}\right\} \\
&=&\left\{
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & a\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( R\right) \ |\ a,b,c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}は\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間であるため、\(f\)による\(X\)の像は\(\mathbb{R} ^{4}\)の部分空間であるはずです。実際、\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
a \\
b \\
c \\
a\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{4}\ |\ a,b,c\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ a\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) +b\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) +c\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{4}\ |\ a,b,c\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}となりますが、線型スパンは部分空間であるため、\(f\left( X\right) \)は\(\mathbb{R} ^{4}\)の部分空間です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
演習問題
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}に注目したとき、その要素であるベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}\)どうしは直交しますが、以上の性質は同型写像のもとで不変ではないことを示してください。
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