同型写像
2つのベクトル空間\(\left(K,V\right) ,\left( K,W\right) \)に加えて、写像\begin{equation*}f:V\rightarrow W
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)は一方のベクトル空間に属するベクトル\(x\in V\)を、もう一方のベクトル空間上のベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) \in W
\end{equation*}へと変換する写像です。このような写像\(f\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in V:f\left( x+y\right) =f\left(
x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in K,\ \forall x\in V:f\left( kx\right)
=kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。
線形写像\(f:V\rightarrow W\)が全単射である場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall y\in W,\ \exists x\in V:y=f\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x\not=x^{\prime
}\Rightarrow f\left( x\right) \not=f\left( x^{\prime }\right) \right]
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(f\)を同型写像（isomorphism）と呼びます。特に、定義域と終集合が一致する線形写像\begin{equation*}f:V\rightarrow V
\end{equation*}が同型写像である場合には、\(f\)を自己同型写像（automorphism）と呼びます。
改めて整理すると、体\(K\)を共有する2つのベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)が与えられたとき、写像\(f:V\rightarrow W\)が同型写像であることとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は線形写像である} \\
&&\left( b\right) \ f\text{は全単射である}
\end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。写像\(f:V\rightarrow W\)が同型写像である場合には、そのことを、\begin{equation*}f:V\tilde{\rightarrow}W
\end{equation*}と表記することもできます。
線形写像\(f:V\rightarrow W\)の値域と核は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}\left( f\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in W\ |\ x\in
V\right\} \\
\ker \left( f\right) &=&\left\{ x\in V\ |\ f\left( x\right) =0\right\}
\end{eqnarray*}とそれぞれ定義されますが、\(f\)が全射であることと、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( f\right) =W
\end{equation*}が成り立つことは必要十分であり、\(f\)が単射であることと、\begin{equation*}\ker \left( f\right) =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}が成り立つことは必要十分であるため、線形写像\(f\)が全単射であること、すなわち\(f\)が同型写像であることと、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathrm{Im}\left( f\right) =W \\
&&\left( b\right) \ \ker \left( f\right) =\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことは必要十分です。
&&\left( b\right) \ \mathrm{Im}\left( f\right) =W \\
&&\left( c\right) \ \ker \left( f\right) =\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことと、\(f\)が同型写像であることは必要十分である。
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{12} \\
a_{13} \\
a_{14}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{4}
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(f\)は線形写像です。実際、行列\(A,B\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( A+B\right) &=&f\left(
\begin{pmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}\end{pmatrix}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{11}+b_{11} \\
a_{12}+b_{12} \\
a_{13}+b_{13} \\
a_{14}+b_{14}\end{array}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{12} \\
a_{13} \\
a_{14}\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
b_{11} \\
b_{12} \\
b_{13} \\
b_{14}\end{array}\right) \\
&=&f\left( A\right) +f\left( B\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(f\)は加法性を満たし、スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と行列\(A\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( kA\right) &=&f\left(
\begin{pmatrix}
ka_{11} & ka_{12} \\
ka_{21} & ka_{22}\end{pmatrix}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
ka_{11} \\
ka_{12} \\
ka_{13} \\
ka_{14}\end{array}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&k\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{12} \\
a_{13} \\
a_{14}\end{array}\right) \\
&=&kf\left( A\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(f\)は斉次性を満たします。したがって\(f\)は線形写像です。続いて、\(f\)が同型写像であることを示します。\(f\)の像は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}\left( f\right) &=&\left\{ f\left( A\right) \in \mathbb{R} ^{4}\ |\ A\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{12} \\
a_{13} \\
a_{14}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{4}\ |\ a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ a_{11}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
0\end{array}\right) +a_{12}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) +a_{21}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) +a_{22}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{4}\ |\ a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \right) \\
&=&\mathbb{R} ^{4}
\end{eqnarray*}を満たすため\(f\)は全射であり、\(f\)の核は、\begin{eqnarray*}\ker \left( f\right) &=&\left\{ A\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ f\left( A\right) =\boldsymbol{0}\right\} \\
&=&\left\{
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ \left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{12} \\
a_{13} \\
a_{14}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
0\end{array}\right) \right\} \\
&=&\left\{
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\right\}
\end{eqnarray*}を満たすため\(f\)は単射です。したがって\(f\)は全単射、すなわち同型写像です。
\end{equation*}を定める恒等写像\(f:V\rightarrow V\)を定義します。恒等写像は線形写像であるとともに、その値域は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Im}\left( f\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in V\ |\ x\in
V\right\} \\
&=&\left\{ x\in V\ |\ x\in V\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&V
\end{eqnarray*}を満たすため\(f\)は全射であり、\(f\)の核は、\begin{eqnarray*}\ker \left( f\right) &=&\left\{ x\in V\ |\ f\left( x\right) =0\right\} \\
&=&\left\{ x\in V\ |\ x=0\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}を満たすため\(f\)は単射であり、したがって\(f\)は全単射、すなわち自己同型写像です。
\beta &=&\left\{ w_{1},\cdots ,w_{m}\right\} \subset W
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。\(V\)から\(W\)への線形写像を集めてできる集合を、\begin{equation*}\hom \left( V\rightarrow W\right) =\left\{ f:V\rightarrow W\ |\ f\text{は線形写像}\right\}
\end{equation*}で表記します。後ほど示すように、\(\left( K,\hom\left( V\rightarrow W\right) \right) \)はベクトル空間です。また、行列空間\(\left( K,M_{m,n}\left( K\right) \right) \)もまたベクトル空間です。それぞれの線形写像\(f\in \hom \left( V\rightarrow W\right) \)に対して、基底\(\alpha ,\beta \)のもとでの\(f\)の表現行列\begin{equation*}M\left( f\right) =M\left( f,\alpha ,\beta \right) \in M_{m,n}\left( K\right)
\end{equation*}を像として定める写像\begin{equation*}
M:\hom \left( V\rightarrow W\right) \rightarrow M_{m,n}\left( K\right)
\end{equation*}が定義可能であるとともに、この写像\(M\)は線形写像かつ全単射となります。つまり、\(M\)は同型写像です。
同型写像の逆写像
写像が全単射であることと、その写像の逆写像が存在することは必要十分であるとともに、逆写像もまた全単射になります。したがって、線形写像\(f:V\rightarrow W\)が同型写像である場合には、その逆写像\begin{equation*}f^{-1}:W\rightarrow V
\end{equation*}が存在するとともに、\(f^{-1}\)もまた全単射になります。加えて、線形写像の逆写像もまた線形写像になるため、同型写像の逆写像もまた同型写像になります。
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{12} \\
a_{13} \\
a_{14}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{4}
\end{equation*}を像として定めるものとします。先に示したように\(f\)は同型写像であるため、逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} ^{4}\rightarrow M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在して、それぞれのベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{4}\)に対して、以下の行列\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( x\right) &=&f^{-1}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}\end{array}\right) \\
&=&\begin{pmatrix}
x_{1} & x_{2} \\
x_{3} & x_{4}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を像として定めます。加えて、\(f^{-1}\)もまた同型写像です。実際、\(f^{-1}\)の像は、\begin{eqnarray*}&&\mathrm{Im}\left( f^{-1}\right) \\
&=&\left\{ f^{-1}\left( x\right) \in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ x\in \mathbb{R} ^{4}\right\} \\
&=&\left\{
\begin{pmatrix}
x_{1} & x_{2} \\
x_{3} & x_{4}\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x_{1}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}+x_{2}\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0\end{pmatrix}+x_{3}\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0\end{pmatrix}+x_{4}\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right\} \right) \\
&=&M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}を満たすため\(f^{-1}\)は全射であり、\(f^{-1}\)の核は、\begin{eqnarray*}\ker \left( f^{-1}\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{4}\ |\ f^{-1}\left( x\right) =0_{2,2}\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{4}\ |\
\begin{pmatrix}
x_{1} & x_{2} \\
x_{3} & x_{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
0\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}を満たすため\(f^{-1}\)は単射であり、したがって\(f^{-1}\)は全単射、すなわち同型写像です。
\end{equation*}を定める恒等写像\(f:V\rightarrow V\)を定義します。先に示したように\(f\)は自己同型写像であるため、逆写像\(f^{-1}:V\rightarrow V\)が存在して、それぞれのベクトル\(y\in V\)に対して、以下の行列\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =y
\end{equation*}を像として定めます。つまり、\(f^{-1}\)もまた恒等写像であるため、\(f^{-1}\)もまた自己同型写像です。
同型なベクトル空間
体\(K\)を共有する2つのベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)に対して同型写像\(f:V\rightarrow W\)が存在するならば、すなわち、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は線形写像である} \\
&&\left( b\right) \ f\text{は全単射である}
\end{eqnarray*}を満たす写像\(f:V\rightarrow W\)が存在する場合には、\(\left( K,V\right) \)は\(\left( K,W\right) \)と同型（isomorphic）であると言い、そのことを、\begin{equation*}V\cong W
\end{equation*}で表記します。
\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{12} \\
a_{13} \\
a_{14}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{4}
\end{equation*}を像として定めるものとします。\(f\)が同型写像であることは先に示した通りです。したがって、\begin{equation*}M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \cong \mathbb{R} ^{4}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、実行列空間\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)と実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{4}\)は同型です。
\end{equation*}を定める恒等写像\(f:V\rightarrow V\)を定義します。\(f\)が同型写像であることは先に示した通りです。したがって、\begin{equation*}V\cong V
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル空間\(V\)は自身\(V\)と同型です。
\beta &=&\left\{ w_{1},\cdots ,w_{m}\right\} \subset W
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。この場合、それぞれの線形写像\(f\in \hom \left( V\rightarrow W\right) \)に対して、基底\(\alpha ,\beta \)のもとでの\(f\)の表現行列\begin{equation*}M\left( f\right) =M\left( f,\alpha ,\beta \right) \in M_{m,n}\left( K\right)
\end{equation*}を像として定める写像\begin{equation*}
M:\hom \left( V\rightarrow W\right) \rightarrow M_{m,n}\left( K\right)
\end{equation*}は同型写像であるため、\begin{equation*}
\hom \left( V\rightarrow W\right) \cong M_{m,n}\left( K\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、線形写像空間\(\hom \left( V\rightarrow W\right) \)は行列空間\(M_{m,n}\left( K\right) \)と同型です。
2つのベクトル空間\(V,W\)が同型である場合には、\(V\)から\(W\)への同型写像、すなわち全単射であるような\(V\)から\(W\)への線形写像が必ず存在します。その一方で、\(V,W\)が同型である場合、\(V\)から\(W\)への線形写像は全単射であるとは限りません。以下の例より明らかです。
1 & 1 \\
2 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&A\boldsymbol{x} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 2\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1}+x_{2} \\
2x_{1}+2x_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めますが、\(\boldsymbol{f}_{A}\)は単射ではなく、全射でもありません。したがって\(\boldsymbol{f}_{A}\)は同型写像ではありません。
同型なベクトル空間の次元は等しい
ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)がともに有限次元である場合、それらの次元が一致することは、すなわち、\begin{equation*}\dim V=\dim W
\end{equation*}が成り立つことは、\(V\)と\(W\)が同型であるための必要十分条件です。つまり、以下の関係\begin{equation*}\dim V=\dim W\Leftrightarrow V\cong W
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つことは先に示した通りです。したがって、先の命題より、\begin{equation*}
\dim M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) =\dim \mathbb{R} ^{4}
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の典型的な基底は標準基底\begin{equation*}\left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right\} \subset M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\dim M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) =4
\end{equation*}である一方で、\(\mathbb{R} ^{4}\)の典型的な基底は標準基底\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{4}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\dim \mathbb{R} ^{4}=4
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\dim M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) =\dim \mathbb{R} ^{4}
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}が成り立つことは先に示した通りです。したがって、先の命題より、\(V\)が有限次元である場合には、\begin{equation*}\dim V=\dim V
\end{equation*}が成り立ちます。実際、有限次元のベクトル空間の次元は一意的に定まるため、これは明らかに成り立ちます。
同型写像の代替的な定義
ベクトル空間\(\left( K,V\right) ,\left(K,W\right) \)がともに有限次元である場合には、\(V\)と\(W\)が同型であることと、\(V\)の次元と\(W\)の次元が一致することは必要十分であることが明らかになりました。線形写像\(f:V\rightarrow W\)が同型写像であることは\(f\)が全単射であることとして定義されますが、\(V\)と\(W\)が有限次元かつ同型である場合には、\(f\)が全単射であること、単射であること、全射であることが必要十分になります。
\end{equation*}が成り立つものとする。このとき、線形写像\(f:V\rightarrow W\)に対して以下の条件はお互いに必要十分である。
- \(f\)は同型写像、すなわち全単射である。すなわち、\(\mathrm{Im}\left( f\right) =W\)かつ\(\ker \left( f\right) =\left\{ 0\right\} \)が成り立つ。
- \(f\)は全射である。すなわち、\(\mathrm{Im}\left( f\right) =W\)が成り立つ。
- \(f\)は単射である。すなわち、\(\ker \left( f\right) =\left\{ 0\right\} \)が成り立つ。
同型関係は同値関係
体\(K\)を共有するベクトル空間を要素として持つ集合族を、\begin{equation*}\mathcal{V}=\left\{ \left( K,V\right) \ |\ \left( K,V\right) \text{はベクトル空間}\right\}
\end{equation*}で表記します。任意のベクトル空間\(V,W\in \mathcal{V}\)について、以下の関係\begin{equation*}\left( V,W\right) \in R\Leftrightarrow V\cong W
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathcal{V}\)上の二項関係\begin{equation*}R\subset \mathcal{V}\times \mathcal{V}
\end{equation*}を定義します。つまり、2つのベクトル空間\(V,W\)について、\(V\)が\(W\)と同型である場合、そしてその場合にのみ\(\left( V,W\right) \in R\)が成り立つものとして\(\mathcal{V}\)上の二項関係\(R\)を定義するということです。この二項関係\(R\)と同型関係\(\cong \)を同一視することにより、同型関係\(\cong \)を\(\mathcal{V}\)上の二項関係とみなすことができます。では、同型関係\(\cong \)はどのような性質を二項関係でしょうか。
ベクトル空間族\(\mathcal{V}\)上に定義された同型関係\(\cong \)は\(\mathcal{V}\)上の同値関係です。つまり、\(\cong \)は反射律、対称律、推移律に相当する以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( I_{1}\right) \ \forall V\in \mathcal{V}:V\cong V \\
&&\left( I_{2}\right) \ \forall V,W\in \mathcal{V}:\left( V\cong
W\Rightarrow W\cong V\right) \\
&&\left( I_{3}\right) \ \forall V,W,Z\in \mathcal{V}:\left( V\cong W\wedge
W\cong Z\Rightarrow V\cong Z\right)
\end{eqnarray*}を満たします。
反射律\(\left( I_{1}\right) \)は、任意のベクトル空間\(V\)は自身\(V\)と同型であることを意味します。
反対称律\(\left( I_{2}\right) \)は、ベクトル空間\(V,W\)を任意に選んだとき、\(V\)が\(W\)と同型である場合には、\(W\)が\(V\)と同型であることを意味します。
推移律\(\left( I_{3}\right) \)は、ベクトル空間\(V,W,Z\)を任意に選んだとき、\(V\)が\(W\)と同型かつ\(W\)が\(Z\)と同型である場合には、\(V\)と\(Z\)が同型であることを意味します。
&&\left( I_{2}\right) \ \forall V,W\in \mathcal{V}:\left( V\cong
W\Rightarrow W\cong V\right) \\
&&\left( I_{3}\right) \ \forall V,W,Z\in \mathcal{V}:\left( V\cong W\wedge
W\cong Z\Rightarrow V\cong Z\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
同型関係\(\cong \)は同値関係であるため、ベクトル空間\(V\in \mathcal{V}\)を任意に選んだとき、それを代表元とする同値類\begin{equation*}\left[ V\right] =\left\{ W\in \mathcal{V}\ |\ V\cong W\right\}
\end{equation*}が得られます。これはベクトル空間\(V\)と同型であるようなベクトル空間を要素とする集合族です。さらに、\(\mathcal{V}\)の\(\cong \)による商集合が、\begin{equation*}\mathcal{V}\backslash \cong =\left\{ \left[ V\right] \ |\ V\in \mathcal{V}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、商集合の定義より、これは\(\mathcal{V}\)の分割です。つまり、体\(K\)を共有するベクトル空間どうしを「同型である」という基準から複数のグループに分類したとき、それぞれのベクトル空間は何らかのグループに属するとともに、異なる複数のグループに属するベクトル空間は存在しないことが保証されます。
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