線形写像の次元定理（線形写像の基本定理）

線形写像の定義域の次元

ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)を張る線型独立なベクトル集合を\(V\)の基底と呼びます。つまり、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \subset V\)が\(V\)の基底であることとは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ V=\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots
,x_{m}\right\} \right) \\
&&\left( b\right) \ \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。条件\(\left( a\right) \)は、基底\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が\(V\)を張ること、すなわち、\(V\)上に存在するベクトルはいずれも基底ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合としてそれぞれの表現できることを意味し、条件\(\left( b\right) \)は、基底\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)の中のどのベクトルも他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できないことを意味します。

ベクトル空間\(V\)を張るために必要な線型独立なベクトルの個数の最小値を\(V\)の次元と呼び、それを、\begin{equation*}\dim V
\end{equation*}で表記します。ベクトル空間\(V\)の次元が有限である場合、すなわち、何らかの自然数\(m\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\dim V=m
\end{equation*}が成り立つ場合、\(V\)の任意の基底は\(m\)個の線型独立なベクトルを要素として持ちます。逆に、\(m\)個の線型独立なベクトルを要素として持つベクトル集合は必ず\(V\)の基底になります。\(m\)個より少ない線型独立なベクトルを要素として持つベクトル集合は\(V\)を張ることはできず、また、\(m\)個より多いベクトルを要素として持つベクトル集合は線型従属になってしまうため、これらはいずれも\(V\)の基底になり得ません。

2つのベクトル空間\(\left(K,V\right) ,\left( K,W\right) \)に加えて、写像\begin{equation*}f:V\rightarrow W
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)は一方のベクトル空間に属するベクトル\(x\in V\)を、もう一方のベクトル空間上のベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) \in W
\end{equation*}へと変換する写像です。このような写像\(f\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall x,y\in V:f\left( x+y\right) =f\left(
x\right) +f\left( y\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in K,\ \forall x\in V:f\left( kx\right)
=kf\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。

線形写像\(f:V\rightarrow W\)の定義域\(V\)はベクトル空間であるため、\(V\)が有限次元を持つ場合には、その次元\begin{equation*}\dim V
\end{equation*}を具体的に特定できます。

線形写像の値域の次元

ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の部分空間\(X\)を張る線型独立なベクトル集合を\(X\)の基底と呼びます。つまり、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset V\)が\(X\)の基底であることとは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset X \\
&&\left( b\right) \ V=\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots
,x_{m}\right\} \right) \\
&&\left( c\right) \ \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つことを意味します。条件\(\left( a\right) \)は、基底ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)がいずれも部分空間\(X\)の要素であることを意味し、条件\(\left( b\right) \)は、基底\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が部分空間\(X\)を張ること、すなわち、\(X\)上に存在するベクトルはいずれも基底ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合としてそれぞれの表現できることを意味します。条件\(\left( c\right) \)は、基底\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)の中のどのベクトルも他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できないことを意味します。

部分空間\(X\)を張るために必要な線型独立なベクトルの個数の最小値を\(X\)の次元と呼び、それを、\begin{equation*}\dim X
\end{equation*}で表記します。部分空間\(X\)の次元が有限である場合、すなわち、何らかの自然数\(m\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\dim X=m
\end{equation*}が成り立つ場合、\(X\)の基底は\(X\)上に存在する\(m\)個の線型独立なベクトルを要素として持ちます。逆に、\(X\)上に存在する\(m\)個の線型独立なベクトルを要素として持つベクトル集合は必ず\(X\)の基底になります。\(X\)上に存在する\(m\)個より少ない線型独立なベクトルを要素として持つベクトル集合は\(X\)を張ることはできず、また、\(X\)上に存在する\(m\)個より多いベクトルを要素として持つベクトル集合は線型従属になってしまうため、これらはいずれも\(X\)の基底になり得ません。

ベクトル空間\(V\)が有限次元である場合、その任意の部分空間\(X\)もまた有限次元であるとともに、両者の次元の間には以下の関係\begin{equation*}\dim X\leq \dim V
\end{equation*}が成り立ちます。

2つのベクトル空間\(\left(K,V\right) ,\left( K,W\right) \)に加えて、線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとします。\(f\)の値域とは、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( f\right) =\left\{ f\left( x\right) \in W\ |\ x\in V\right\}
\end{equation*}と定義される\(W\)の部分集合ですが、これは\(W\)の部分空間であるため、\(\mathrm{Im}\left( f\right) \)が有限次元を持つ場合には、その次元\begin{equation*}\dim \mathrm{Im}\left( f\right)
\end{equation*}を具体的に特定できます。

線形写像の核の次元

2つのベクトル空間\(\left(K,V\right) ,\left( K,W\right) \)に加えて、線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとします。\(f\)の核とは、\begin{equation*}\ker \left( f\right) =\left\{ x\in V\ |\ f\left( x\right) =0\right\}
\end{equation*}と定義される\(V\)の部分集合ですが、これは\(V\)の部分空間であるため、\(\ker \left( f\right) \)が有限次元を持つ場合には、その次元\begin{equation*}\dim \ker \left( f\right)
\end{equation*}を具体的に特定できます。

次元定理（線形写像の基本定理）

2つのベクトル空間\(\left(K,V\right) ,\left( K,W\right) \)に加えて、線形写像\(f:V\rightarrow W\)が与えられているものとします。\(f\)の定義域\(V\)が有限次元である場合、その次元\begin{equation*}\dim V
\end{equation*}が有限な自然数として定まります。\(f\)の値域\(\mathrm{Im}\left( f\right) \)は\(f\)の終集合\(W\)の部分空間であり、\(f\)の核\(\ker \left( f\right) \)は\(f\)の定義域\(V\)の部分空間ですが、この場合には両者がともに有限次元になることが保証されるため、これらの次元\begin{eqnarray*}&&\dim \mathrm{Im}\left( f\right) \\
&&\dim \ker \left( f\right)
\end{eqnarray*}がいずれも有限な自然数として定まります。さらに、これらの次元の間には以下の関係\begin{equation*}
\dim V=\dim \ker \left( f\right) +\dim \mathrm{Im}\left( f\right)
\end{equation*}が成り立ちます。これを次元定理（dimension theorem）や線形写像の基本定理（fundamental theorem of linear maps）などと呼びます。

演習問題