写像の右逆写像
前節では、写像\(f:A\rightarrow B\)が全射であることは、終集合\(B\)の任意の要素\(b\)に対して\(f\left( a\right) =b\)を満たす\(a\in A\)が少なくとも1つ存在することを意味することを学びました。しかし、全射であるというだけでは、目標とする\(b\in B\)が与えられたとき、それを実現する\(a\in A\)を具体的にどのように選べばよいかまでは定まりません。特に、同じ\(b\)を実現する\(a\)が複数存在する場合には、その中から1つを選ぶ必要があります。そこで本節では、それぞれの\(b\in B\)に対して\(f\left( a\right) =b\)を満たす\(a\in A\)を1つずつ指定する写像について考えます。このような写像を\(f\)の右逆写像と呼びます。以下では右逆写像の定義を与えた上で、右逆写像を持つことと全射であることの関係を明らかにします。さらに、この関係が選択公理と密接に結び付いていることを示します。
集合\(B\)に関する恒等写像\(I_{B}:B\rightarrow B\)とは、以下の条件\begin{equation*}\forall b\in B:I_{B}\left( b\right) =b
\end{equation*}を満たす写像として定義されます。つまり、恒等写像は入力した値をそのまま返します。
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、その始集合と終集合の立場を逆にした写像\(g:B\rightarrow A\)を任意に選べば、\(g\)の終集合と\(f\)の始集合はともに\(A\)で一致するため合成写像\begin{equation*}f\circ g:B\rightarrow B
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(b\in B\)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ g\right) \left( b\right) =f\left( g\left( b\right) \right) \in
B
\end{equation*}を定めます。
写像\(f:A\rightarrow B\)に対して、以下の条件\begin{equation*}f\circ g=I_{B}
\end{equation*}を満たす写像\(g:B\rightarrow A\)が存在する場合には、すなわち、\(f\)と合成することにより恒等写像\(I_{B}\)を生成するような写像\(g\)が存在する場合には、このような写像\(g\)を写像\(f\)の右逆写像（right inverse mapping of \(f\)）と呼びます。この場合、任意の\(b\in B\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f\circ g\right) \left( b\right) &=&I_{B}\left( b\right) \quad
\because \text{右逆写像の定義} \\
&=&b\quad \because \text{恒等写像の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}は写像になります。\(f\)の右逆写像\(g:B\rightarrow A\)が存在する状況を想定します。写像の定義より、\(g\)はそれぞれの出口\(b\in B\)に対して、そこに繋がっている入り口\(g\left( b\right) \in A\)を1つずつ特定します。さらに右逆写像の定義より、\begin{equation*}f\circ g=I_{B}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall b\in B:f\left( g\left( b\right) \right) =b
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実は、どの出口\(b\in B\)を選んだ場合でも、右逆写像\(g\)というガイドにしたがって入り口\(g\left( b\right) \)へ戻り、そこから再入場して\(f\)にしたがって進めば当初の出口\(b\)に必ず戻れることを意味します。つまり、右逆写像が存在することとは、どの出口からスタートしても、迷うことなく特定の入り口まで逆走でき、そこからもう一度進めば、間違いなく元の出口に戻れるような逆引きのカタログが与えられていることを意味します。
\end{equation*}を満たす角度の組合せ\(a\in A\)を計算する必要があります。ここで問題になるのは、特定の座標\(b\in B\)に対して、それを実現する関節の角度の組合せ\(a\in A\)は一意的であるとは限らないということです。特に、自由度に余裕のある冗長なロボットアームでは、同じ座標を実現する角度の組み合わせが無数に存在することがあります。ここで、右逆写像\(g:B\rightarrow A\)をあらかじめ設定すれば、目標座標\(b\in B\)を入力するだけで、「この角度\(a\in A\)にセットすれば確実にそこへ行ける」という1つの正解を即座に導出できます。目標を決めれば、それに対応する入り口を必ず逆算できるということです。
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。
図から読み取れるように、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&c \\
f\left( 2\right) &=&a \\
f\left( 3\right) &=&b
\end{eqnarray*}が成立しています。この写像\(f\)は右逆写像を持つでしょうか。この写像は逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)を持つとともに、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( a\right) &=&2 \\
f^{-1}\left( b\right) &=&3 \\
f^{-1}\left( c\right) &=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。その上で合成写像\(f\circ f^{-1}:B\rightarrow B\)をとれば、任意の\(y\in B\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f\circ f^{-1}\right) \left( y\right) &=&f\left( f^{-1}\left( y\right)
\right) \quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&y\quad \because \text{逆写像の性質}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
f\circ f^{-1}=I_{B}
\end{equation*}を得ます。したがって、\(f^{-1}\)は\(f\)の右逆写像であることが明らかになりました。
写像の逆写像と右逆写像の関係
先の例に限らず、一般に、写像の逆写像が存在する場合、それは右逆写像でもあります。
\end{equation*}が成り立つ。
写像\(f\)の逆写像\(f^{-1}\)が存在する場合、\(f^{-1}\)は\(f\)の右逆写像であることが明らかになりました。その一方で、写像\(f\)の逆写像\(f^{-1}\)が存在しないものの右逆写像が存在するような事態は起こり得ます。以下の例より明らかです。
A &=&\left\{ a,b,c,d\right\} \\
B &=&\left\{ 1,2,3\right\}
\end{eqnarray*}に対して、2つの写像\begin{eqnarray*}
f &:&A\rightarrow B \\
g &:&B\rightarrow A
\end{eqnarray*}を以下の図で定義します。
図から明らかであるように、\begin{eqnarray*}
f\left( a\right) &=&1 \\
f\left( b\right) &=&2 \\
f\left( c\right) &=&3 \\
f\left( d\right) &=&3
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
g\left( 1\right) &=&a \\
g\left( 2\right) &=&b \\
g\left( 3\right) &=&c
\end{eqnarray*}です。写像\(f\)の終集合の要素\(3\in B\)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( 3\right) =\left\{ c,d\right\}
\end{equation*}となるため、\(f\)の逆写像は存在しません。その一方で、合成写像\(f\circ g:B\rightarrow B\)を定義すると、\begin{eqnarray*}\left( f\circ g\right) \left( 1\right) &=&f\left( g\left( 1\right) \right)
=f\left( a\right) =1 \\
\left( f\circ g\right) \left( 2\right) &=&f\left( g\left( 2\right) \right)
=f\left( b\right) =2 \\
\left( f\circ g\right) \left( 3\right) &=&f\left( g\left( 3\right) \right)
=f\left( c\right) =3
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation*}
f\circ g=I_{B}
\end{equation*}を得ます。したがって、\(g\)は\(f\)の右逆写像であることが明らかになりました。
写像の右逆写像は存在するとは限らない
写像は右逆写像を持つとは限りません。以下の例より明らかです。
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。
図から読み取れるように、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&b \\
f\left( 2\right) &=&a \\
f\left( 3\right) &=&b
\end{eqnarray*}が成立しています。この写像\(f\)の右逆写像\(g:B\rightarrow A\)が存在するものと仮定して矛盾を導きます。右逆写像の定義より合成写像\(f\circ g:B\rightarrow B\)は恒等写像であるはずですが、図より、どのような\(g\)のもとでも、\begin{equation*}\left( f\circ g\right) \left( c\right) =f\left( g\left( c\right) \right)
\not=c
\end{equation*}であるため\(f\circ g\)は恒等写像ではありません。したがって背理法より\(f\)の右逆写像\(g\)は存在しません。
全射と右逆写像の関係
どのような写像が右逆写像を持つのでしょうか。先に例を通じて確認したように、与えられた写像\(f\)の逆写像\(f^{-1}\)が存在する場合、それは同時に\(f\)の右逆写像であることが保証されます。写像\(f\)の逆写像\(f^{-1}\)が存在することと\(f\)が全単射であることは必要十分であるため、全単射\(f\)は必ず右逆写像を持つことになります。
その一方で、先に例を通じて確認したように、与えられた写像\(f\)の逆写像\(f^{-1}\)が存在しない場合でも、\(f\)の右逆写像が存在するケースは起こり得ます。つまり、\(f\)が全単射でない場合にも、その右逆写像が存在するケースは起こり得るということです。
実際には、写像\(f\)が全射であれば、その右逆写像が存在することを保証できます。ただし、証明には選択公理が必要です。
先の命題の逆もまた成立します。つまり、写像の右逆写像が存在する場合、その写像が全射であることが保証されます。こちらの命題の証明では選択公理を利用しません。
以上の2つの命題より、写像が右逆写像を持つことと、その写像が全射であることが必要十分であることが明らかになりました。
写像\(f:A\rightarrow B\)が全射であることは、\(f\)の右逆写像\(g:B\rightarrow A\)が存在するための必要十分条件である。ただし、選択公理を認めるものとする。
A &=&\left\{ a,b,c,d\right\} \\
B &=&\left\{ 1,2,3\right\}
\end{eqnarray*}に対して、2つの写像\begin{eqnarray*}
f &:&A\rightarrow B \\
g &:&B\rightarrow A
\end{eqnarray*}を以下の図で定義します。
図から明らかであるように、\begin{eqnarray*}
f\left( a\right) &=&1 \\
f\left( b\right) &=&2 \\
f\left( c\right) &=&3 \\
f\left( d\right) &=&3
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
g\left( 1\right) &=&a \\
g\left( 2\right) &=&b \\
g\left( 3\right) &=&c
\end{eqnarray*}です。先に確認したように、\(f\)の逆写像\(f^{-1}\)は存在しない一方で、\(g\)は\(f\)の右逆写像です。したがって、先の命題より\(f\)は全射であるはずです。実際、\begin{equation*}\forall y\in B,\ \exists x\in A:y=f\left( x\right)
\end{equation*}が成立するため\(f\)は全射です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
先の命題は、写像の右逆写像が存在することと、その写像が全射であることは必要十分であることを主張しています。したがって、写像の右逆写像が存在しないことと、その写像が全射ではないこともまた必要十分です。
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\begin{equation*}
f:A\rightarrow B
\end{equation*}を以下の図で定義します。
図から読み取れるように、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&b \\
f\left( 2\right) &=&a \\
f\left( 3\right) &=&b
\end{eqnarray*}です。先に示したように、この写像\(f\)は右逆写像を持ちません。したがって先の命題より、\(f\)は全射ではないはずです。実際、\(c\in B\)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( c\right) =\phi
\end{equation*}であるため、\(f\)は全射ではありません。この結果は先の命題の主張と整合的です。
右逆写像を用いた選択公理の特徴づけ
全射には右逆写像が存在することを証明する際に選択公理を利用しましたが、逆もまた成立します。つまり、全射に右逆写像が存在することを前提とすると、そこから選択公理を導くことができます。
以上より、選択公理が成り立つことと、任意の全射が右逆写像を持つことは必要十分であることが明らかになりました。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
- \(f\)の右逆写像が存在することを示してください。
- \(f\)の右逆写像は一意的ではないことを示してください。
- 右逆写像を持つ写像は単射であるとは限らないことを示してください。
f\left( a_{1},a_{2}\right) =a_{1}+a_{2}
\end{equation*}であるものとします。このとき、目標位置\(b\in \mathbb{R} \)に対して、以下の問いに答えてください。
- この写像\(f\)が全射であることを示してください。
- 目標位置\(b\in \mathbb{R} \)に対して、関節の角度\(\left( a_{1},a_{1}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を決定する右逆写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を1つ構成してください。
- エネルギー消費（角度の二乗和\(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\)）を最小にするという追加条件がある場合、どのような右逆写像を定義すべきか答えてください。
- \(f\)の右逆写像\(g:B\rightarrow A\)を作成することは、どのような作業に相当するか、直感的に説明してください。
- \(f\)の右逆写像が一意的に定まらない理由を説明してください。
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