写像の右逆写像
集合\(B\)に関する恒等写像\(I_{B}:B\rightarrow B\)とは、以下の条件\begin{equation*}\forall b\in B:I_{B}\left( b\right) =b
\end{equation*}を満たす写像として定義されます。つまり、恒等写像は入力した値をそのまま返します。
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、その始集合と終集合の立場を逆にした写像\(g:B\rightarrow A\)を任意に選べば、\(g\)の終集合と\(f\)の始集合はともに\(A\)で一致するため合成写像\begin{equation*}f\circ g:B\rightarrow B
\end{equation*}が常に定義可能であり、これはそれぞれの\(b\in B\)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ g\right) \left( b\right) =f\left( g\left( b\right) \right) \in
B
\end{equation*}を定めます。
さて、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられた状況を想定します。このとき、この写像\(f\)と何らかの写像\(g:B\rightarrow A\)を合成することにより恒等写像\(I_{B}:B\rightarrow B\)を生成できるのであれば、すなわち、以下の条件\begin{equation}\left( f\circ g\right) \left( b\right) =I_{B}\left( b\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす写像\(g\)が存在する場合には、このような写像\(g\)を写像\(f\)の右逆写像（right inverse mapping of \(f\)）と呼びます。この場合、任意の\(b\in B\)に対して以下の関係\begin{eqnarray*}\left( f\circ g\right) \left( b\right) &=&f\left( g\left( b\right) \right)
\\
&=&I_{B}\left( b\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&b\quad \because \text{恒等写像の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。
図から読み取れるように、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&c \\
f\left( 2\right) &=&a \\
f\left( 3\right) &=&b
\end{eqnarray*}が成立しています。この写像\(f\)は右逆写像を持つでしょうか。この写像は逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)を持つとともに、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( a\right) &=&2 \\
f^{-1}\left( b\right) &=&3 \\
f^{-1}\left( c\right) &=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。その上で合成関数\(f\circ f^{-1}:B\rightarrow B\)をとれば、任意の\(y\in B\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f\circ f^{-1}\right) \left( y\right) &=&f\left( f^{-1}\left(
y\right) \right) \quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&y\quad \because \text{合成写像の性質} \\
&=&I_{B}\left( y\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
f\circ f^{-1}=I_{B}\left( y\right)
\end{equation*}を得ます。したがって、\(f^{-1}\)は\(f\)の右逆写像であることが明らかになりました。
上の例に限らず、一般に、写像\(f\)の逆写像\(f^{-1}\)が存在する場合、\(f^{-1}\)は\(f\)の右逆写像でもあります。
写像\(f\)の逆写像\(f^{-1}\)が存在する場合、\(f^{-1}\)は\(f\)の右逆写像であることが明らかになりました。その一方で、写像\(f\)の逆写像が存在しないものの右逆写像が存在するような状況は起こり得ます。以下の例より明らかです。
A &=&\left\{ a,b,c,d\right\} \\
B &=&\left\{ 1,2,3\right\}
\end{eqnarray*}に対して、2つの写像\begin{eqnarray*}
f &:&A\rightarrow B \\
g &:&B\rightarrow A
\end{eqnarray*}を以下の図で定義します。
図から明らかであるように、\begin{eqnarray*}
f\left( a\right) &=&1 \\
f\left( b\right) &=&2 \\
f\left( c\right) &=&3 \\
f\left( d\right) &=&3
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
g\left( 1\right) &=&a \\
g\left( 2\right) &=&b \\
g\left( 3\right) &=&c
\end{eqnarray*}です。さて、写像\(f\)の終集合の要素\(3\in B\)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( 3\right) =\left\{ c,d\right\}
\end{equation*}となるため、\(f\)の逆写像は存在しません。その一方で、合成関数\(f\circ g:B\rightarrow B\)を定義すると、\begin{eqnarray*}\left( f\circ g\right) \left( 1\right) &=&f\left( g\left( 1\right) \right)
=f\left( a\right) =1 \\
\left( f\circ g\right) \left( 2\right) &=&f\left( g\left( 2\right) \right)
=f\left( b\right) =2 \\
\left( f\circ g\right) \left( 3\right) &=&f\left( g\left( 3\right) \right)
=f\left( c\right) =3
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation*}
f\circ g=I_{B}
\end{equation*}を得ます。したがって、\(g\)は\(f\)の右逆写像であることが明らかになりました。
写像の右逆写像は存在するとは限らない
写像は右逆写像を持つとは限らない。以下の例より明らかです。
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。
図から読み取れるように、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&b \\
f\left( 2\right) &=&a \\
f\left( 3\right) &=&b
\end{eqnarray*}が成立しています。この写像\(f\)の右逆写像\(g:B\rightarrow A\)が存在しないことを示すために、\(f\)の右逆写像\(g\)が存在するものと仮定して矛盾を導きます。右逆写像の定義より合成写像\(f\circ g:B\rightarrow B\)は恒等写像であるはずですが、図より、\begin{equation*}\left( f\circ g\right) \left( c\right) =f\left( g\left( c\right) \right)
\not=c
\end{equation*}であるため\(f\circ g\)は恒等写像ではありません。したがって背理法より\(f\)の右逆写像\(g\)は存在しません。
全射と右逆写像の関係
では、どのような写像が右逆写像を持つのでしょうか。先ほど例を通じて確認したように、与えられた写像\(f\)の逆写像\(f^{-1}\)が存在する場合、それは同時に\(f\)の右逆写像であることが保証されます。写像\(f\)の逆写像\(f^{-1}\)が存在することと\(f\)が全単射であることは必要十分であるため、全単射\(f\)は必ず右逆写像を持つことになります。
その一方で、先ほど例を通じて確認したように、与えられた写像\(f\)の逆写像\(f^{-1}\)が存在しない場合でも、\(f\)の右逆写像が存在するケースは起こり得ます。つまり、\(f\)が全単射でない場合にも、その右逆写像が存在するケースは起こり得るということです。
実際には、写像\(f\)が全射であれば、その右逆写像が存在することを保証できます。ただし、証明には選択公理が必要です。
実は、上の命題の逆もまた成立します。つまり、写像の右逆写像が存在する場合、その写像が全射であることが保証されます。こちらの命題の証明では選択公理を利用しません。
以上の2つの命題より、写像が右逆写像を持つことと、その写像が全射であることが必要十分であることが明らかになりました。
写像\(f:A\rightarrow B\)が全射であることと、\(f\)の右逆写像\(g:B\rightarrow A\)が存在するための必要十分条件である。ただし、選択公理を認めるものとする。
A &=&\left\{ a,b,c,d\right\} \\
B &=&\left\{ 1,2,3\right\}
\end{eqnarray*}に対して、2つの写像\begin{eqnarray*}
f &:&A\rightarrow B \\
g &:&B\rightarrow A
\end{eqnarray*}を以下の図で定義します。
図から明らかであるように、\begin{eqnarray*}
f\left( a\right) &=&1 \\
f\left( b\right) &=&2 \\
f\left( c\right) &=&3 \\
f\left( d\right) &=&3
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
g\left( 1\right) &=&a \\
g\left( 2\right) &=&b \\
g\left( 3\right) &=&c
\end{eqnarray*}です。先に確認したように、\(f\)の逆写像\(f^{-1}\)は存在しない一方で、\(g\)は\(f\)の右逆写像です。したがって、先の命題より\(f\)は全射であるはずです。実際、\begin{equation*}\forall y\in B,\ \exists x\in A:y=f\left( x\right)
\end{equation*}が成立するため\(f\)は全射です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
先の命題は、写像の右逆写像が存在することと、その写像が全射であることは必要十分であることを主張しています。したがって、写像の右逆写像が存在しないことと、その写像が全射ではないこともまた必要十分です。
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\begin{equation*}
f:A\rightarrow B
\end{equation*}を以下の図で定義します。
図から読み取れるように、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&b \\
f\left( 2\right) &=&a \\
f\left( 3\right) &=&b
\end{eqnarray*}です。先に示したように、この写像\(f\)は右逆写像を持ちません。したがって先の命題より、\(f\)は全射ではないはずです。実際、\(c\in B\)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( c\right) =\phi
\end{equation*}であるため、\(f\)は全射ではありません。この結果は先の命題の主張と整合的です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。この写像\(f\)の右逆写像が存在することを示してください。さらに、\(f\)の右逆写像は一意的ではないことを示してください。
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