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全射と右逆写像

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写像の右逆写像

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、その終集合と始集合を逆にした写像\(g:B\rightarrow A\)を任意に選べば合成写像\(f\circ g:B\rightarrow B\)が常に定義可能です。合成写像の定義より、これはそれぞれの\(b\in B\)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ g\right) \left( b\right) =f\left( g\left( b\right) \right) \in
B
\end{equation*}を像として定める写像です。特に、与えられた写像\(f:A\rightarrow B\)に対して、合成写像\(f\circ g:B\rightarrow B\)が恒等写像になるような写像\(g:B\rightarrow A\)が存在する場合には、すなわち、それぞれの\(b\in B\)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ g\right) \left( b\right) =b
\end{equation*}を定めるような合成写像\(f\circ g\)を写像\(f\)とともに作れる写像\(g\)が存在する場合には、この\(g\)を\(f\)の右逆写像(right inverse mapping of \(f\))と呼びます。

恒等写像は\(I_{B}:B\rightarrow B\)と表記されます。恒等写像の定義より、これはそれぞれの\(b\in B\)に対して、\begin{equation*}I_{B}\left( b\right) =b
\end{equation*}を定めます。この表記を利用すると、写像\(f:A\rightarrow B\)の右逆写像とは、\begin{equation*}f\circ g=I_{B}
\end{equation*}を満たす写像\(g:B\rightarrow A\)として定義されます。

例(逆写像は右逆写像)
写像\(f:A\rightarrow B\)に対して、その逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)が存在するものとします。\(f\)の始集合と\(f^{-1}\)の終集合はともに\(A\)で一致するため合成写像\(f\circ f^{-1}:B\rightarrow B\)が定義可能です。さらに、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選んだとき、逆写像の定義より、\begin{equation}f\left( a\right) =b\Leftrightarrow f^{-1}\left( b\right) =a \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、それぞれの\(b\in B\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f\circ f^{-1}\right) \left( b\right) &=&f\left( f^{-1}\left(
b\right) \right) \quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f^{-1}\left( b\right) =a \\
&=&b\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため\(f\circ f^{-1}\)は恒等写像です。したがって\(f^{-1}\)は\(f\)の右逆写像です。つまり、写像\(f\)の逆写像\(f^{-1}\)が存在する場合、これは同時に\(f\)の右逆写像でもあります。

一般に、写像は右逆写像を持つとは限りません。以下の例から明らかです。

例(右逆写像を持たない写像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。つまり、\(f\left( 1\right) =b\)かつ\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)です。

図:右逆写像を持たない写像
図:右逆写像を持たない写像

この写像\(f\)の右逆写像\(g:B\rightarrow A\)は存在しません。実際、写像\(g:B\rightarrow A\)を任意に選んだとき、合成写像\(f\circ g:B\rightarrow B\)に関して、\begin{equation*}\left( f\circ g\right) \left( c\right) =f\left( g\left( c\right) \right)
\not=c
\end{equation*}となり、\(f\circ g\)は恒等写像ではないからです。任意の\(g\)について同様の議論が成立するため\(f\)の右逆写像が存在しないことが明らかになりました。

 

全射と右逆写像の関係

では、どのような写像が右逆写像を持つのでしょうか。先ほど例を通じて確認したように、与えられた写像の逆写像が存在する場合、それは同時に右逆写像であることが保証されます。ただ、逆写像が存在しない場合でも右逆写像が存在する状況は起こり得ます。以下の例から明らかです。

例(全射は右逆写像を持つ)
集合\(A=\left\{ a,b,c,d\right\} \)と集合\(B=\left\{ 1,2,3\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。つまり、\(f\left( a\right) =1\)かつ\(f\left( b\right) =2\)かつ\(f\left( c\right) =f\left( d\right) =3\)です。\(f\)は明らかに全射です。また、\(f\)が\(3\in B\)に対して定める逆像は\(f^{-1}\left(3\right) =\left\{ c,d\right\} \)であるため逆写像\(f^{-1}\)は点\(3\)において定義不可能です。したがって逆写像\(f^{-1}:B\rightarrow A\)は存在しません。

図:全射
図:全射

写像\(g:B\rightarrow A\)を上の図のように定義します。つまり、\(g\left( 1\right) =a\)かつ\(g\left( 2\right) =b\)かつ\(g\left( 3\right) =c\)です。このとき、合成関数\(f\circ g:B\rightarrow B\)は、\begin{eqnarray*}\left( f\circ g\right) \left( 1\right) &=&f\left( g\left( 1\right) \right)
=f\left( a\right) =1 \\
\left( f\circ g\right) \left( 2\right) &=&f\left( g\left( 2\right) \right)
=f\left( b\right) =2 \\
\left( f\circ g\right) \left( 3\right) &=&f\left( g\left( 3\right) \right)
=f\left( c\right) =3
\end{eqnarray*}を満たすため、これは恒等写像です。したがって\(g\)は\(f\)の右逆写像です。

上の例が示唆するように、与えられた写像の逆写像が存在しない場合でも、その写像が全射であれば、右逆写像が存在することを保証できます。ただし、証明には選択公理が必要です。

命題(全射は右逆写像を持つ)
写像\(f:A\rightarrow B\)が全射であるならば、その右逆写像\(g:B\rightarrow A\)が存在する。ただし、選択公理を認めるものとする。
証明

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実は、上の命題の逆もまた成立します。つまり、ある写像の右逆写像が存在するとき、その写像が全射であることが保証されます。こちらの命題の証明では選択公理を利用しません。

命題(右逆写像を持つ写像は全射)
写像\(f:A\rightarrow B\)に対してその右逆写像\(g:B\rightarrow A\)が存在するならば、\(f\)は全射である。
証明

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以上の2つの命題より、写像が右逆写像を持つことと、その写像が全射であることが必要十分であることが明らかになりました。

命題(全射と右逆写像)

写像\(f:A\rightarrow B\)が全射であることは、\(f\)の右逆写像\(g:B\rightarrow A\)が存在するための必要十分条件である。ただし、選択公理を認めるものとする。

例(全射と右逆写像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。つまり、\(f\left( 1\right) =b\)かつ\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)です。

図:右逆写像を持たない写像
図:右逆写像を持たない写像

先ほど、写像\(f\)の右逆写像\(g:B\rightarrow A\)は存在しないことを示しました。したがって、上の命題より\(f\)は全射ではないはずです。実際、\begin{equation*}f^{-1}\left( c\right) =\phi
\end{equation*}であるため\(f\)は全射ではありません。

 

演習問題

問題(右逆写像)
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この写像\(f\)の右逆写像が存在することを示してください。さらに、\(f\)の右逆写像は一意的ではないことを示してください。
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次回は全単射と呼ばれるクラスの写像について解説します。

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