問題1（30点）
問題（全射・単射）
以下に提示する写像の具体例を提示してください。そのような写像が存在しない場合には、理由を述べてください。（各10点）
- 単射\(f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)
- 単射\(f:\mathbb{N} \rightarrow \left[ 0,1\right] \)
- 合成写像\(g\circ f:A\rightarrow C\)が単射ではない単射\(f:A\rightarrow B\)と全射\(g:B\rightarrow C\)
問題2（15点）
問題（全射・単射）
集合\(A,B\)がいずれも非空であるものとします。写像\(f:A\rightarrow B\)は単射であるものとします。このとき、全射\(g:B\rightarrow A\)が存在することを証明してください。
問題3（20点）
問題（全射・単射・全単射）
以下の問いに答えてください。（各10点）
- 写像\(f:\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \)はそれぞれの\(\left( a,b\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}f\left( a,b\right) =a+b\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は単射、全射、全単射でしょうか。それぞれ判定してください。
- 写像\(f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)はそれぞれの\(z\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}f\left( z\right) =\left( z,-z\right) \end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は単射、全射、全単射でしょうか。それぞれ判定してください。
問題4（15点）
問題（全単射）
非空の集合\(U\)が与えられているものとします。そのベキ集合を\(2^{U}\)で表記します。その上で、それぞれの\(A\in 2^{U}\)に対して、\begin{equation*}f\left( A\right) =U\backslash A
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
f:2^{U}\rightarrow 2^{U}
\end{equation*}を定義します。\(f\)は全単射であることを示した上で、逆写像\(f^{-1}\)を具体的に求めてください。
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
f:2^{U}\rightarrow 2^{U}
\end{equation*}を定義します。\(f\)は全単射であることを示した上で、逆写像\(f^{-1}\)を具体的に求めてください。
問題4（20点）
問題（全単射）
以下の2つの集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ z\in \mathbb{Z} \ |\ z\text{は奇数}\wedge z>40\right\} \\
B &=&\left\{ z\in \mathbb{Z} \ |\ z>1\right\}
\end{eqnarray*}に対して全単射\begin{equation*}
f:A\rightarrow B
\end{equation*}が存在することを示してください。
A &=&\left\{ z\in \mathbb{Z} \ |\ z\text{は奇数}\wedge z>40\right\} \\
B &=&\left\{ z\in \mathbb{Z} \ |\ z>1\right\}
\end{eqnarray*}に対して全単射\begin{equation*}
f:A\rightarrow B
\end{equation*}が存在することを示してください。
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