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連続型の確率分布

連続型確率ベクトルの同時確率密度関数

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確率ベクトルの同時確率分布

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられている場合、\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値がある集合\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)に属する確率を、\begin{equation*}P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times
A_{n}\right)
\end{equation*}または、\begin{equation*}
P\left( X_{1}\in A_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\in A_{n}\right)
\end{equation*}で表記するものと定めます。これをどのように評価すればよいでしょうか。

確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)はそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対してベクトル\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \omega \right) =\left( X_{1}\left(
\omega \right) ,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を1つずつ定めるため、「確率ベクトル\(\left(X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値が集合\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\)に属する」という事象が起こる確率は、\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left(\omega \right) \in A_{1}\times \cdots \times A_{n}\)を満たす標本点\(\omega \)からなる集合\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left(
\omega \right) \in A_{1}\times \cdots \times A_{n}\right\}
\end{equation*}として表現されます。したがって、「確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値が集合\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\)に属する」という事象が起こる確率は、\begin{eqnarray*}&&P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times
A_{n}\right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right)
\left( \omega \right) \in A_{1}\times \cdots \times A_{n}\right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X_{1}\left( \omega \right)
,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right) \right) \in A_{1}\times \cdots \times
A_{n}\right\} \right) \quad \because \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \text{の定義} \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{1}\left( \omega \right) \in
A_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\left( \omega \right) \in A_{n}\right\}
\right) \quad \because \text{直積の定義}
\end{eqnarray*}となります。

それぞれの集合\(A_{1}\times \cdots\times A_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)に対して確率\(P\left( \left(X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times A_{n}\right) \)が明らかになっている場合には、そのような情報の集まりを確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)の同時確率分布(joint probability distribution)と呼びます。確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられている場合には、すなわち試行によって起こり得るそれぞれの事象の確率が分かっている場合には、何らかの確率ベクトルを導入したとき、その同時確率分布もまた明らかになるということです。

 

連続型確率ベクトルの同時確率分布を記述する際の問題点

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとします。確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値が集合\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times
A_{n}\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{1}\left( \omega
\right) \in A_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\left( \omega \right) \in
A_{n}\right\} \right)
\end{equation*}と定式化されますが、この値をどのように定義すればよいでしょうか。

確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)が離散型の場合には、それぞれのベクトル\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)の値が\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)と一致する確率\begin{equation*}f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =P\left(
X_{1}=x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}=x_{n}\right)
\end{equation*}を定める同時確率質量関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義し、その上で、\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値が集合\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times
A_{n}\right) =\sum_{\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots
\times A_{n}}f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}として定まることを示しました。つまり、集合\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\)に属するそれぞれの点\(\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)に対する確率\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)をとり、それらの総和をとれば\(P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times A_{n}\right) \)が得られるということです。一方、確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)が連続型である場合には、同時確率質量関数を用いて\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時確率分布を表現できません。以下の例より明らかです。

例(連続型の同時確率変数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)を構成する標本空間が、\begin{equation*}\Omega =[0,+\infty )^{n}
\end{equation*}という無限閉区間の直積であるものとします。この集合は非可算集合であるため、任意の標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、その根元事象の確率は、\begin{equation}P\left( \left\{ \omega \right\} \right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \omega \right) =\omega \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めるのであれば、\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値域は、\begin{equation*}\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \Omega \right) =[0,+\infty )^{n}
\end{equation*}となるため、\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)は連続型の確率ベクトルです。仮に同時確率質量関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義するのであれば、これはそれぞれの\(\omega \in \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \Omega \right) \)に対して、\begin{eqnarray*}f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( \omega \right) &=&P\left( \left\{ \omega
^{\prime }\in \Omega \ |\ \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \omega
^{\prime }\right) =\omega \right\} \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&P\left( \left\{ \omega \right\} \right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&0\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、同時確率質量関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)は\(0\)のみを値としてとるため、同時確率質量関数が満たすべき条件\begin{equation*}\sum_{\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \left( X_{1},\cdots
,X_{n}\right) \left( \Omega \right) }f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =1
\end{equation*}が満たされません。したがって、以上のような連続型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時確率分布を同時確率質量関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)を用いて表現することはできません。

繰り返しになりますが、同時確率質量関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は、確率ベクトル\(\left(X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値がベクトル\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)と一致する確率\begin{equation*}f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =P\left(
X_{1}=x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}=x_{n}\right)
\end{equation*}を指定することを通じて\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の確率分布を記述しようとします。ただ、先の例が示唆するように、同時確率質量関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)は連続型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時確率分布を上手く記述できません。そこで、連続型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)の同時確率分布を記述する際には、同時確率分布の考え方の原点に戻り、それぞれの集合\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)の値が\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\)に属する確率\begin{equation*}P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times
A_{n}\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{1}\left( \omega
\right) \in A_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\left( \omega \right) \in
A_{n}\right\} \right)
\end{equation*}を直接記述するアプローチを採用します。では、これをどのように評価すればよいでしょうか。

 

連続型確率ベクトルの同時確率密度関数

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとします。\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)の同時確率分布を記述するためには、任意の集合\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)の値が\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\)に属する確率\begin{equation*}P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times
A_{n}\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{1}\left( \omega
\right) \in A_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\left( \omega \right) \in
A_{n}\right\} \right)
\end{equation*}を特定する必要があります。ただ、\(X_{i}\left( \Omega\right) \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)は区間もしくは互いに素な区間の和集合であるため、\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時確率分布を記述するためには、区間の直積\(I_{1}\times \cdots \times I_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)の値が\(I_{1}\times \cdots \times I_{n}\)に属する確率\begin{eqnarray*}P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in I_{1}\times \cdots \times
I_{n}\right) &=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X_{1},\cdots
,X_{n}\right) \left( \omega \right) \in I_{1}\times \cdots \times
I_{n}\right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{1}\left( \omega \right) \in
I_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\left( \omega \right) \in I_{n}\right\}
\right)
\end{eqnarray*}を記述すれば十分です。

以上を踏まえた上で、有界区間と無限区間のどちらであるかを問わず、任意の区間の直積\(I_{1}\times \cdots \times I_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\left( a\right) \ P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in I_{1}\times
\cdots \times I_{n}\right) =\int \cdots \int_{\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) \in I_{1}\times \cdots \times I_{n}}f_{X_{1}\cdots
X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}
\end{equation*}を満たすとともに、\begin{eqnarray*}
&&\left( b\right) \ \forall \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}:f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \geq 0 \\
&&\left( c\right) \ \int_{-\infty }^{+\infty }\cdots \int_{-\infty
}^{+\infty }f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{1}\cdots dx_{n}=1
\end{eqnarray*}をともに満たす関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、これを\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時確率密度関数(joint probability density function)と呼びます。

条件\(\left( a\right) \)は、連続型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)がある集合\(I_{1}\times \cdots\times I_{n}\)に属する値をとる確率は、同時確率密度関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)をその集合\(I_{1}\times \cdots \times I_{n}\)上で積分すれば得られることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は同時確率密度関数が非負の実数を値としてとり得る関数であることを意味し、条件\(\left( c\right) \)は同時確率密度関数を\(\mathbb{R} ^{n}\)上で積分すると\(1\)になることを意味します。

確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)の同時確率密度関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合、\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)が正の値をとる点からなる集合\begin{equation*}\left\{ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f_{X_{1}\cdots X_{n}}>0\right\}
\end{equation*}を\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時確率分布の(support)と呼びます。

例(連続型の同時確率密度関数)
連続型の確率ベクトル\(\left( X,Y,Z\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] ^{3}
\end{equation*}であるとともに、その同時確率密度関数\(f_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y+z & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in \left(
X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\forall \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}:f_{XYZ}\left( x,y,z\right) \geq 0
\end{equation*}が明らかに成り立つとともに、\begin{eqnarray*}
\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty
}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) dxdydz
&=&\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y+z\right) dxdydz \\
&=&\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left[ \frac{1}{6}x^{2}+\frac{2}{3}yx+zx\right] _{0}^{1}dydz \\
&=&\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{6}+\frac{2}{3}y+z\right) dydz \\
&=&\int_{0}^{1}\left[ \frac{1}{6}y+\frac{1}{3}y^{2}+zy\right] _{0}^{1}dz \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+z\right) dz \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{2}+z\right) dz \\
&=&\left[ \frac{1}{2}z+\frac{1}{2}z^{2}\right] _{0}^{1} \\
&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、\(f_{XYZ}\)は同時確率密度関数としての要件を満たしています。このとき、例えば、\begin{eqnarray*}&&P\left( 0\leq X\leq \frac{1}{2}\wedge 0\leq Y\leq \frac{1}{2}\wedge 0\leq
Z\leq \frac{1}{2}\right) \\
&=&\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(
\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y+z\right) dxdydz \\
&=&\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left[ \frac{1}{6}x^{2}+\frac{2}{3}yx+zx\right] _{0}^{\frac{1}{2}}dydz \\
&=&\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left( \frac{1}{24}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}z\right) dydz \\
&=&\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left[ \frac{1}{24}y+\frac{1}{6}y^{2}+\frac{1}{2}yz\right] _{0}^{\frac{1}{2}}dz \\
&=&\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left( \frac{1}{48}+\frac{1}{24}+\frac{1}{4}z\right) dz \\
&=&\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left( \frac{1}{16}+\frac{1}{4}z\right) dz \\
&=&\left[ \frac{1}{16}z+\frac{1}{8}z^{2}\right] _{0}^{\frac{1}{2}} \\
&=&\frac{1}{32}+\frac{1}{32} \\
&=&\frac{1}{16}
\end{eqnarray*}となります。

 

連続型の確率ベクトルが特定の値をとる確率

連続型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時確率分布が同時確率密度関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されているものとします。点\(\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation}\left[ a_{1},a_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},a_{n}\right] =\left\{ a_{1}\right\} \times \cdots \times \left\{ a_{n}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立つため、\begin{eqnarray*}
P\left( X_{1}=a_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}=a_{n}\right) &=&P\left(
\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in \left\{ a_{1}\right\} \times \cdots
\times \left\{ a_{n}\right\} \right) \\
&=&P\left( a_{1}\leq X_{1}\leq a_{1}\wedge \cdots \wedge a_{n}\leq X_{n}\leq
a_{n}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\int_{a_{1}}^{a_{1}}\cdots \int_{a_{n}}^{a_{n}}f_{X_{1}\cdots
X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}\quad \because
f_{X_{1}\cdots X_{n}}\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{点における積分}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( X_{1}=a_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}=a_{n}\right) =0
\end{equation*}となります。つまり、連続型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)に関しては、それがある1つのベクトルを値としてとる確率は必ず\(0\)になるということです。この点において連続型の確率ベクトルは離散型の確率ベクトルとは異なります。ただ、以上の事実は「連続型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値があるベクトル\(\left( a_{1},\cdots,a_{n}\right) \)と一致する」という事象が「空事象」であることを意味するわけではありません。

 

演習問題

問題(同時確率密度関数)
連続型の確率ベクトル\(\left( X,Y,Z\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) =\left( 0,1\right) ^{3}
\end{equation*}であるとともに、その同時確率密度関数\(f_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
8xyz & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in \left( X,Y,Z\right) \left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f_{XYZ}\)が同時確率密度関数としての性質を満たすことを確認してください。
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問題(同時確率密度関数)
連続型の確率ベクトル\(\left( X,Y,Z\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) =\mathbb{R} _{++}^{3}
\end{equation*}であるとともに、その同時確率密度関数\(f_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) =e^{-x-y-z}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f_{XYZ}\)が同時確率密度関数としての性質を満たすことを確認するとともに、以下の確率\begin{equation*}P\left( 0<X_{1}<2\wedge 1<X_{2}<3\wedge 2<X_{3}\right)
\end{equation*}を求めてください。

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