連続型確率変数の中央化・標準化・正規化

連続型確率変数の中央化

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(X\)の確率分布が確率密度関数\begin{equation*}f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として記述されている場合、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\int_{-\infty }^{+\infty }xf_{X}\left( x\right) dx
\end{equation*}と定義されます。

確率変数を変換することにより、期待値が\(0\)であるような確率変数を得ることができます。期待値が\(0\)になるように確率変数を変換する操作を中央化（centering）と呼び、中央化することで得られる新たな確率変数を中央化された（centered）確率変数と呼びます。

離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の期待値\(E\left( X\right) \in \mathbb{R} \)が存在する場合、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( \omega \right) =X\left( \omega \right) -E\left( X\right)
\end{equation*}を定める新たな確率変数\begin{equation*}
Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、この確率変数は\(X\)の中央化された確率変数であることが保証されます。つまり、\begin{equation*}E\left( Y\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。

連続型確率変数の標準化

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(X\)の確率分布が確率密度関数\begin{equation*}f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として記述されている場合、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\int_{-\infty }^{+\infty }xf_{X}\left( x\right) dx
\end{equation*}と定義され、\(X\)の分散は、\begin{equation*}\mathrm{Var}\left( X\right) =\int_{-\infty }^{+\infty }\left[ x-E\left(
X\right) \right] ^{2}f_{X}\left( x\right) dx
\end{equation*}と定義され、\(X\)の標準偏差は、\begin{equation*}\mathrm{SD}\left( X\right) =\sqrt{\mathrm{Var}\left( X\right) }
\end{equation*}と定義されます。

確率変数を変換することにより、期待値が\(0\)であるとともに分散が\(1\)であるような確率変数を得ることができます。期待値が\(0\)であるとともに分散が\(1\)であるように確率変数を変換する操作を標準化（standardizing）や基準化、または規格化などと呼び、標準化することで得られる新たな確率変数を標準化された（standardized）確率変数と呼びます。

連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の期待値\(E\left( X\right) \in \mathbb{R} \)と標準偏差\(\mathrm{SD}\left( X\right) \in \mathbb{R} \)が存在する場合、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( \omega \right) =\frac{X\left( \omega \right) -E\left( X\right) }{\mathrm{SD}\left( X\right) }
\end{equation*}を定める新たな確率変数\begin{equation*}
Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、この確率変数は\(X\)の標準化された確率変数であることが保証されます。つまり、\begin{eqnarray*}E\left( Y\right) &=&0 \\
\mathrm{Var}\left( Y\right) &=&1
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。

確率変数の正規化

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(X\)がとり得る値からなる集合です。

確率変数を変換することにより、確率変数がとり得る値の範囲が\(0\)以上\(1\)以下に限定することができます。確率変数がとり得る値の範囲が\(0\)以上\(1 \)以下になるように確率変数を変換する操作を正規化（normalizing）と呼び、正規化することで得られる新たな確率変数を正規化された（normalized）確率変数と呼びます。

連続型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の値域\(X\left( \Omega \right) \)の最大値\(\max X\left( \Omega \right) \)と最小値\(\min X\left( \Omega \right) \)が存在する場合、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( \omega \right) =\frac{X\left( \omega \right) -\min X\left( \Omega
\right) }{\max X\left( \Omega \right) -\min X\left( \Omega \right) }
\end{equation*}を定める新たな確率変数\begin{equation*}
Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、この確率変数は\(X\)の正規化された確率変数であることが保証されます。つまり、\begin{equation*}Y\left( \Omega \right) \subset \left[ 0,1\right] \end{equation*}が成り立つということです。