連続型同時確率変数の周辺化（周辺確率密度関数）

同時確率分布から導かれる周辺確率分布

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられている場合、一方の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値がある集合\(A\subset \mathbb{R} \)に属する確率\begin{equation*}P\left( X\in A\right)
\end{equation*}をどのように評価すればよいでしょうか。

同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)はそれぞれの標本点\(\omega \in\Omega \)に対してベクトル\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を1つずつ定めるため、「確率変数\(X\)の値が集合\(A\)に属する」という事象は、\(X\left( \omega \right) \in A\)を満たす標本点\(\omega \)からなる集合\begin{eqnarray*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\right\}
&=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\wedge Y\left(
\omega \right) \in Y\left( \Omega \right) \right\} \quad \because Y\left(
\omega \right) \in Y\left( \Omega \right) \text{は恒真式} \\
&=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \in A\times Y\left(
\Omega \right) \right\}
\end{eqnarray*}として表現されます。したがって、「確率変数\(X\)の値が集合\(A\)に属する」という事象が起こる確率は、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left(
X,Y\right) \in A\times Y\left( \Omega \right) \right\} \right)
\end{equation*}となります。

同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)が与えられている状況において、確率変数\(X\)の値がそれぞれの集合\(A\subset \mathbb{R} \)に属する確率\(P\left( X\in A\right) \)が明らかになっている場合、そのような情報の集まりを確率変数\(X\)の周辺確率分布（marginal probability distribution）と呼びます。もう一方の確率変数\(Y\)についても同様の議論が成立します。同時確率変数の同時確率分布が分かっている場合には、個々の変数の周辺確率分布を特定できるということです。

離散型確率変数の周辺確率密度関数

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられており、その同時確率分布は同時確率密度関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されているものとします。つまり、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値が区間の直積\(I\times J\subset \mathbb{R} ^{2}\)に属する確率が、\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in I\times J\right) =\int \int_{\left( x,y\right)
\in I\times J}f_{XY}\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}であるということです。

同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率分布に関する以上の情報から、確率変数\(X\)の周辺確率分布を特定するためにはどうすればよいでしょうか。\(X\)は連続型の確率変数であるため、その確率分布を描写するためには確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を特定すれば十分です。確率密度関数の定義より、確率変数\(X\)の値が区間\(I\subset \mathbb{R} \)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( X\in I\right) =\int_{x\in I}f_{X}\left( x\right) dx
\end{equation*}となりますが、この関数\(f_{X}\)は同時確率密度関数\(f_{XY}\)から以下のようにして導くことができます。

つまり、確率変数\(X\)の確率密度関数\(f_{X}\left( x\right) \)を得るためには、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数\(f_{XY}\left(x,y\right) \)を変数\(y\)に関して全区間\(\left( -\infty ,+\infty \right) \)上で積分すればよいということです。

もう一方の確率変数\(Y\)についても同様の議論が成立します。証明は先の命題と同様です。

つまり、確率変数\(Y\)の確率密度関数\(f_{Y}\left( y\right) \)を得るためには、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数\(f_{XY}\left(x,y\right) \)を変数\(x\)に関して全区間\(\left( -\infty ,+\infty \right) \)上で積分すればよいということです。

以上の諸命題より、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率密度関数\(f_{XY}\)が与えられれば、そこから個々の確率変数\(X,Y\)の確率密度関数\(f_{X},f_{Y}\)をそれぞれ導けることが明らかになりました。確率密度関数\(f_{X},f_{Y}\)が同時確率密度関数\(f_{XY}\)から導かれたものである場合には、\(f_{X},f_{Y}\)のことを確率変数\(X,Y\)に関する周辺確率密度関数（marginal probability density function）と呼びます。また、同時確率密度関数\(f_{XY}\)から周辺確率密度関数\(f_{X},f_{Y}\)を導くプロセスを周辺化（marginalizing）と呼びます。

周辺確率密度関数の非負性

周辺確率密度関数は非負の実数を値としてとります。

もう一方の確率変数\(Y\)についても同様の議論が成立します。証明は先の命題と同様です。

周辺確率密度関数の積分

周辺確率密度関数を全区間上で積分すると\(1\)になります。

もう一方の確率変数\(Y\)についても同様の議論が成立します。証明は先の命題と同様です。

演習問題