連続型確率ベクトルの同時確率分布
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとします。\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)の同時確率分布を記述するためには、任意の集合\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)の値が\(A_{1}\times \cdots \times A_{n}\)に属する確率\begin{equation*}P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in A_{1}\times \cdots \times
A_{n}\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{1}\left( \omega
\right) \in A_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\left( \omega \right) \in
A_{n}\right\} \right)
\end{equation*}を特定する必要があります。ただ、\(X_{i}\left( \Omega\right) \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)は区間もしくは互いに素な区間の和集合であるため、\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時確率分布を記述するためには、区間の直積\(I_{1}\times \cdots \times I_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)の値が\(I_{1}\times \cdots \times I_{n}\)に属する確率\begin{eqnarray*}P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in I_{1}\times \cdots \times
I_{n}\right) &=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X_{1},\cdots
,X_{n}\right) \left( \omega \right) \in I_{1}\times \cdots \times
I_{n}\right\} \right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{1}\left( \omega \right) \in
I_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\left( \omega \right) \in I_{n}\right\}
\right)
\end{eqnarray*}を記述すれば十分です。以上を踏まえた上で、有界区間と無限区間のどちらであるかを問わず、任意の区間の直積\(I_{1}\times \cdots \times I_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\left( a\right) \ P\left( \left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \in I_{1}\times
\cdots \times I_{n}\right) =\int \cdots \int_{\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) \in I_{1}\times \cdots \times I_{n}}f_{X_{1}\cdots
X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}
\end{equation*}を満たすとともに、\begin{eqnarray*}
&&\left( b\right) \ \forall \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}:f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \geq 0 \\
&&\left( c\right) \ \int_{-\infty }^{+\infty }\cdots \int_{-\infty
}^{+\infty }f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{1}\cdots dx_{n}=1
\end{eqnarray*}をともに満たす同時確率密度関数\begin{equation*}
f_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義しました。つまり、同時確率質量関数は連続型の確率ベクトルの同時確率分布を表現する手段の1つです。ただ、連続型の確率ベクトルの同時確率分布は同時確率密度関数とは異なる概念を用いて表現することもできます。順番に解説します。
連続型確率ベクトルの同時分布関数
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて連続型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているものとします。確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)が特定の点\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)以下の値をとる確率、すなわち任意の\(i\ \left(=1,\cdots ,n\right) \)について\(X_{i}\)の値が\(x_{i}\)以下である確率を、\begin{equation*}P\left( X_{1}\leq x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\leq x_{n}\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、ここでの「以下」とはユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における標準的順序を踏まえた表現です。上の確率をどのように評価すればよいでしょうか。
確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)はそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対してベクトル\(\left( X_{1}\left( \omega \right) ,\cdots,X_{n}\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{n}\)を1つずつ定めるため、「確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値が\(\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)以下である」という事象は、任意の\(i\)について\(X_{i}\leq x_{i}\)を満たす標本点\(\omega \)からなる集合\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{1}\left( \omega \right) \leq x_{1}\wedge
\cdots \wedge X_{n}\left( \omega \right) \leq x_{n}\right\}
\end{equation*}として表現されます。したがって、「確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値が\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)以下である」という事象が起こる確率は、\begin{equation*}P\left( X_{1}\leq x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\leq x_{n}\right) =P\left(
\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{1}\left( \omega \right) \leq x_{1}\wedge
\cdots \wedge X_{n}\left( \omega \right) \leq x_{n}\right\} \right)
\end{equation*}となります。以上を踏まえた上で、それぞれの点\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、連続型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)が\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)以下の値をとる確率\begin{equation*}F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =P\left( X_{1}\leq
x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\leq x_{n}\right)
\end{equation*}を定める多変数関数\begin{equation*}
F_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを\(\left(X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時分布関数（joint distribution function）や同時累積分布関数（joint cumulative distribution function）などと呼びます。
連続型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時確率密度関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられている場合には、点\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =\int_{-\infty
}^{x_{1}}\cdots \int_{-\infty }^{x_{n}}f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left(
y_{1},\cdots ,y_{n}\right) dy_{1}\cdots dy_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。つまり、同時確率密度関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)を集合\((-\infty ,x_{1}]\times \cdots (-\infty ,x_{n}]\)上で積分すれば\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)が得られるということです。言い換えると、連続型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \)に関しては、同時分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)は同時確率密度関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)から導出可能であるということです。
\end{equation*}であるとともに、その同時確率密度関数\(f_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y+z & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in \left(
X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。上の命題より、同時分布関数\(F_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して定める値は、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty
}^{y}\int_{-\infty }^{z}f_{XYZ}\left( s,t,u\right) dsdtdu
\end{equation*}となります。したがって、例えば、\(x<0\)または\(y<0\)または\(z<0\)の中の少なくとも1つが成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty
}^{y}\int_{-\infty }^{z}0dsdtdu \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\(0\leq x\leq 1\)と\(0\leq y\leq 1\)と\(0\leq z\leq 1\)がすべて成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty
}^{y}\int_{-\infty }^{z}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+u\right) dsdtdu \\
&=&\int_{0}^{x}\int_{0}^{y}\int_{0}^{z}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+u\right) dudtds \\
&=&\int_{0}^{x}\int_{0}^{y}\left[ \frac{1}{3}su+\frac{2}{3}tu+\frac{1}{2}u^{2}\right] _{0}^{z}dtds \\
&=&\int_{0}^{x}\int_{0}^{y}\left( \frac{1}{3}sz+\frac{2}{3}tz+\frac{1}{2}z^{2}\right) dtds \\
&=&\int_{0}^{x}\left[ \frac{1}{3}szt+\frac{1}{3}t^{2}z+\frac{1}{2}z^{2}t\right] _{0}^{y}ds \\
&=&\int_{0}^{x}\left( \frac{1}{3}szy+\frac{1}{3}y^{2}z+\frac{1}{2}z^{2}y\right) ds \\
&=&\left[ \frac{1}{6}s^{2}zy+\frac{1}{3}y^{2}zs+\frac{1}{2}z^{2}ys\right] _{0}^{x} \\
&=&\frac{1}{6}x^{2}zy+\frac{1}{3}y^{2}zx+\frac{1}{2}z^{2}yx \\
&=&\frac{1}{6}xyz\left( x+2y+3z\right)
\end{eqnarray*}であり、\(x>1\)と\(0\leq y\leq 1\)と\(0\leq z\leq 1\)がすべて成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty
}^{y}\int_{-\infty }^{z}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+u\right) dsdtdu \\
&=&\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}\int_{0}^{z}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+u\right) dudtds \\
&=&\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}\left[ \frac{1}{3}su+\frac{2}{3}tu+\frac{1}{2}u^{2}\right] _{0}^{z}dtds \\
&=&\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}\left( \frac{1}{3}sz+\frac{2}{3}tz+\frac{1}{2}z^{2}\right) dtds \\
&=&\int_{0}^{1}\left[ \frac{1}{3}szt+\frac{1}{3}t^{2}z+\frac{1}{2}z^{2}t\right] _{0}^{y}ds \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{3}szy+\frac{1}{3}y^{2}z+\frac{1}{2}z^{2}y\right) ds \\
&=&\left[ \frac{1}{6}s^{2}zy+\frac{1}{3}y^{2}zs+\frac{1}{2}z^{2}ys\right] _{0}^{1} \\
&=&\frac{1}{6}zy+\frac{1}{3}y^{2}z+\frac{1}{2}z^{2}y \\
&=&\frac{1}{6}yz\left( 1+2y+3z\right)
\end{eqnarray*}であり、\(0\leq x\leq 1\)と\(y>1\)と\(0\leq z\leq 1\)がすべて成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty
}^{y}\int_{-\infty }^{z}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+u\right) dsdtdu \\
&=&\int_{0}^{x}\int_{0}^{1}\int_{0}^{z}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+u\right) dudtds \\
&=&\int_{0}^{x}\int_{0}^{1}\left[ \frac{1}{3}su+\frac{2}{3}tu+\frac{1}{2}u^{2}\right] _{0}^{z}dtds \\
&=&\int_{0}^{x}\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{3}sz+\frac{2}{3}tz+\frac{1}{2}z^{2}\right) dtds \\
&=&\int_{0}^{x}\left[ \frac{1}{3}szt+\frac{1}{3}t^{2}z+\frac{1}{2}z^{2}t\right] _{0}^{1}ds \\
&=&\int_{0}^{x}\left( \frac{1}{3}sz+\frac{1}{3}z+\frac{1}{2}z^{2}\right) ds
\\
&=&\left[ \frac{1}{6}s^{2}z+\frac{1}{3}zs+\frac{1}{2}z^{2}s\right] _{0}^{x}
\\
&=&\frac{1}{6}x^{2}z+\frac{1}{3}zx+\frac{1}{2}z^{2}x \\
&=&\frac{1}{6}xz\left( 2+x+3z\right)
\end{eqnarray*}であり、\(0\leq x\leq 1\)と\(0\leq y\leq 1\)と\(z>1\)がすべて成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty
}^{y}\int_{-\infty }^{z}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+u\right) dsdtdu \\
&=&\int_{0}^{x}\int_{0}^{y}\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+u\right) dudtds \\
&=&\int_{0}^{x}\int_{0}^{y}\left[ \frac{1}{3}su+\frac{2}{3}tu+\frac{1}{2}u^{2}\right] _{0}^{1}dtds \\
&=&\int_{0}^{x}\int_{0}^{y}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+\frac{1}{2}\right) dtds \\
&=&\int_{0}^{x}\left[ \frac{1}{3}st+\frac{1}{3}t^{2}+\frac{1}{2}t\right] _{0}^{y}ds \\
&=&\int_{0}^{x}\left( \frac{1}{3}sy+\frac{1}{3}y^{2}+\frac{1}{2}y\right) ds
\\
&=&\left[ \frac{1}{6}s^{2}y+\frac{1}{3}y^{2}s+\frac{1}{2}ys\right] _{0}^{x}
\\
&=&\frac{1}{6}x^{2}y+\frac{1}{3}y^{2}x+\frac{1}{2}yx \\
&=&\frac{1}{6}xy\left( 3+x+2y\right)
\end{eqnarray*}であり、\(x>1\)と\(y>1\)と\(0\leq z\leq 1\)がすべて成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty
}^{y}\int_{-\infty }^{z}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+u\right) dsdtdu \\
&=&\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{z}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+u\right) dudtds \\
&=&\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left[ \frac{1}{3}su+\frac{2}{3}tu+\frac{1}{2}u^{2}\right] _{0}^{z}dtds \\
&=&\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{3}sz+\frac{2}{3}tz+\frac{1}{2}z^{2}\right) dtds \\
&=&\int_{0}^{1}\left[ \frac{1}{3}szt+\frac{1}{3}t^{2}z+\frac{1}{2}z^{2}t\right] _{0}^{1}ds \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{3}sz+\frac{1}{3}z+\frac{1}{2}z^{2}\right) ds
\\
&=&\left[ \frac{1}{6}s^{2}z+\frac{1}{3}zs+\frac{1}{2}z^{2}s\right] _{0}^{1}
\\
&=&\frac{1}{6}z+\frac{1}{3}z+\frac{1}{2}z^{2} \\
&=&\frac{1}{2}z\left( 1+z\right)
\end{eqnarray*}であり、\(0\leq x\leq 1\)と\(y>1\)と\(z>1\)がすべて成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty
}^{y}\int_{-\infty }^{z}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+u\right) dsdtdu \\
&=&\int_{0}^{x}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+u\right) dudtds \\
&=&\int_{0}^{x}\int_{0}^{1}\left[ \frac{1}{3}su+\frac{2}{3}tu+\frac{1}{2}u^{2}\right] _{0}^{1}dtds \\
&=&\int_{0}^{x}\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+\frac{1}{2}\right) dtds \\
&=&\int_{0}^{x}\left[ \frac{1}{3}st+\frac{1}{3}t^{2}+\frac{1}{2}t\right] _{0}^{1}ds \\
&=&\int_{0}^{x}\left( \frac{1}{3}s+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right) ds \\
&=&\left[ \frac{1}{6}s^{2}+\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}s\right] _{0}^{x} \\
&=&\frac{1}{6}x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}x \\
&=&\frac{1}{6}x\left( x+5\right)
\end{eqnarray*}であり、\(x>1\)と\(0\leq y\leq 1\)と\(z>1\)がすべて成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty
}^{y}\int_{-\infty }^{z}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+u\right) dsdtdu \\
&=&\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+u\right) dudtds \\
&=&\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}\left[ \frac{1}{3}su+\frac{2}{3}tu+\frac{1}{2}u^{2}\right] _{0}^{1}dtds \\
&=&\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+\frac{1}{2}\right) dtds \\
&=&\int_{0}^{1}\left[ \frac{1}{3}st+\frac{1}{3}t^{2}+\frac{1}{2}t\right] _{0}^{y}ds \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{3}sy+\frac{1}{3}y^{2}+\frac{1}{2}y\right) ds
\\
&=&\left[ \frac{1}{6}s^{2}y+\frac{1}{3}y^{2}s+\frac{1}{2}ys\right] _{0}^{1}
\\
&=&\frac{1}{6}y+\frac{1}{3}y^{2}+\frac{1}{2}y \\
&=&\frac{1}{3}y\left( 2+y\right)
\end{eqnarray*}であり、\(x>1\)と\(y>1\)と\(z>1\)がすべて成り立つ場合には、\begin{eqnarray*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty
}^{y}\int_{-\infty }^{z}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+u\right) dsdtdu \\
&=&\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+u\right) dudtds \\
&=&\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left[ \frac{1}{3}su+\frac{2}{3}tu+\frac{1}{2}u^{2}\right] _{0}^{1}dtds \\
&=&\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{3}s+\frac{2}{3}t+\frac{1}{2}\right) dtds \\
&=&\int_{0}^{1}\left[ \frac{1}{3}st+\frac{1}{3}t^{2}+\frac{1}{2}t\right] _{0}^{1}ds \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{3}s+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right) ds \\
&=&\left[ \frac{1}{6}s^{2}+\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}s\right] _{0}^{1} \\
&=&\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2} \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。結論をまとめると、\begin{equation*}
F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\vee z<0\right) \\
\frac{1}{6}xyz\left( x+2y+3z\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
\frac{1}{6}yz\left( 1+2y+3z\right) & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq
1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
\frac{1}{6}xz\left( 2+x+3z\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge
y>1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
\frac{1}{6}xy\left( 3+x+2y\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\wedge z>1\right) \\
\frac{1}{2}z\left( 1+z\right) & \left( if\ x>1\wedge y>1\wedge 0\leq z\leq
1\right) \\
\frac{1}{6}x\left( x+5\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\wedge z>1\right) \\
\frac{1}{3}y\left( 2+y\right) & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\wedge
z>1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\wedge z>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
同時分布関数がとり得る値の範囲
同時分布関数は\(0\)以上\(1\)以下の実数を値としてとります。
\end{equation*}を満たす。
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\vee z<0\right) \\
\frac{1}{6}xyz\left( x+2y+3z\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
\frac{1}{6}yz\left( 1+2y+3z\right) & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq
1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
\frac{1}{6}xz\left( 2+x+3z\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge
y>1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
\frac{1}{6}xy\left( 3+x+2y\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\wedge z>1\right) \\
\frac{1}{2}z\left( 1+z\right) & \left( if\ x>1\wedge y>1\wedge 0\leq z\leq
1\right) \\
\frac{1}{6}x\left( x+5\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\wedge z>1\right) \\
\frac{1}{3}y\left( 2+y\right) & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\wedge
z>1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\wedge z>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}0\leq F_{XYZ}\left( x,y,z\right) \leq 1
\end{equation*}が成立しています。
同時分布関数は単調増加
連続型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された\(n\)変数関数ですが、これを特定の変数\(x_{i}\)に関する1変数関数とみなした場合、\(\mathbb{R} \)上で単調増加（単調非減少）になります。
X_{n}}\left( x_{i}^{\prime },x_{-i}\right) \leq F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left(
x_{i}^{\prime \prime },x_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
上の命題を踏まえると以下を得ます。
x_{i}^{\prime \prime }\right) \Rightarrow F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left(
x_{1}^{\prime },\cdots ,x_{n}^{\prime }\right) \leq F_{X_{1}\cdots
X_{n}}\left( x_{1}^{\prime \prime },\cdots ,x_{n}^{\prime \prime }\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\vee z<0\right) \\
\frac{1}{6}xyz\left( x+2y+3z\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
\frac{1}{6}yz\left( 1+2y+3z\right) & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq
1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
\frac{1}{6}xz\left( 2+x+3z\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge
y>1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
\frac{1}{6}xy\left( 3+x+2y\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\wedge z>1\right) \\
\frac{1}{2}z\left( 1+z\right) & \left( if\ x>1\wedge y>1\wedge 0\leq z\leq
1\right) \\
\frac{1}{6}x\left( x+5\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\wedge z>1\right) \\
\frac{1}{3}y\left( 2+y\right) & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\wedge
z>1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\wedge z>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x_{1}\leq x_{2}\)と\(y_{1}\leq y_{2}\)と\(z_{1}\leq z_{2}\)を満たす\(\left( x_{1},y_{1},z_{1}\right),\left( x_{2},y_{2},z_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x_{1},y_{1},z_{1}\right) \leq F_{XYZ}\left(
x_{2},y_{2},z_{2}\right)
\end{equation*}が成立しています。
同時分布関数の右側連続性
連続型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された\(n\)変数関数ですが、これを特定の変数\(x_{i}\)に関する1変数関数とみなした場合、\(\mathbb{R} \)上で右側連続になります。
=F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( a,x_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
上の命題を踏まえると以下を得ます。
,a_{n}+\right) }F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
=F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\vee z<0\right) \\
\frac{1}{6}xyz\left( x+2y+3z\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
\frac{1}{6}yz\left( 1+2y+3z\right) & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq
1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
\frac{1}{6}xz\left( 2+x+3z\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge
y>1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
\frac{1}{6}xy\left( 3+x+2y\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\wedge z>1\right) \\
\frac{1}{2}z\left( 1+z\right) & \left( if\ x>1\wedge y>1\wedge 0\leq z\leq
1\right) \\
\frac{1}{6}x\left( x+5\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\wedge z>1\right) \\
\frac{1}{3}y\left( 2+y\right) & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\wedge
z>1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\wedge z>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x<0\)または\(y<0\)または\(z<0\)の少なくとも1つを満たす\(\left( x,y,z\right) \)上で\(F_{XYZ}\)は定数関数\(0\)であるため、\(F_{XYZ}\)はそのような点\(\left( x,y,z\right) \)において連続です。点\(\left( 0,0,0\right) \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0+,0+,0+\right) }F_{XYZ}\left(
x,y,z\right) &=&\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left(
0+,0+,0+\right) }\frac{1}{6}xyz\left( x+2y+3z\right) \quad \because F_{XYZ}\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{6}\cdot 0\cdot 0\cdot 0\cdot \left( 0+2\cdot 0+3\cdot 0\right)
\quad \because \text{多項式関数の右側極限} \\
&=&0 \\
&=&F_{XYZ}\left( 0,0,0\right) \quad \because F_{XYZ}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(F_{XYZ}\)は点\(\left( 0,0,0\right) \)において右側連続です。他の点\(\left( x,y,z\right) \)についても同様に考えます。
同時分布関数の無限大における極限
同時分布関数の無限大における極限に関して以下が成り立ちます。
,+\infty \right) }F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。また、変数\(x_{i}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x_{i}\rightarrow -\infty }F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left(
x_{i},x_{-i}\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。ゆえに、\begin{equation*}
\lim_{\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \rightarrow \left( -\infty ,\cdots
,-\infty \right) }F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、同時分布関数\(F_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\vee z<0\right) \\
\frac{1}{6}xyz\left( x+2y+3z\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
\frac{1}{6}yz\left( 1+2y+3z\right) & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq
1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
\frac{1}{6}xz\left( 2+x+3z\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge
y>1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
\frac{1}{6}xy\left( 3+x+2y\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\wedge z>1\right) \\
\frac{1}{2}z\left( 1+z\right) & \left( if\ x>1\wedge y>1\wedge 0\leq z\leq
1\right) \\
\frac{1}{6}x\left( x+5\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\wedge z>1\right) \\
\frac{1}{3}y\left( 2+y\right) & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\wedge
z>1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\wedge z>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( +\infty ,+\infty ,+\infty
\right) }F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\lim_{\left( x,y,z\right)
\rightarrow \left( +\infty ,+\infty ,+\infty \right) }1\quad \because F_{XYZ}\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }F_{XYZ}\left( x,y,z\right)
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }0\quad \because F_{XYZ}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{y\rightarrow -\infty }F_{XYZ}\left( x,y,z\right)
&=&\lim_{y\rightarrow -\infty }0\quad \because F_{XYZ}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{z\rightarrow -\infty }F_{XYZ}\left( x,y,z\right)
&=&\lim_{z\rightarrow -\infty }0\quad \because F_{XYZ}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( -\infty ,-\infty ,-\infty
\right) }F_{XYZ}\left( x,y,z\right) &=&\lim_{\left( x,y,z\right)
\rightarrow \left( -\infty ,-\infty ,-\infty \right) }0\quad \because F_{XYZ}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。
同時分布関数から同時確率密度関数を導く方法
連続型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の同時確率密度関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、同時分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x_{1},\cdots,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation}F_{X_{1}\cdots X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =\int_{-\infty
}^{x_{1}}\cdots \int_{-\infty }^{x_{n}}f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left(
y_{1},\cdots ,y_{n}\right) dy_{1}\cdots dy_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。つまり、同時分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)が定義域上の点\(\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)に対して定める値は、同時確率密度関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)を集合\(\left( -\infty ,x_{1}\right] \times \cdots \times \left( -\infty ,x_{n}\right] \)上で積分することにより得られます。同時確率密度関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)が与えられれば、そこから同時分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)を導くことができるということです。
連続型の確率ベクトル\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \)の値域は\(\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right) \left( \Omega \right) \subset \mathbb{R} ^{n}\)ですが、同時確率密度関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)が\(\left( X_{1},\cdots,X_{n}\right) \left( \Omega \right) \)上で連続である場合には、\(\left( 1\right) \)および微分積分学の基本定理などより、\begin{equation*}\frac{\partial ^{n}}{\partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}F_{X_{1}\cdots
X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。つまり、同時確率密度関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)は同時分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)に関する\(n\)階導関数と一致します。先とは逆に、同時分布関数\(F_{X_{1}\cdots X_{n}}\)が与えられれば、そこか同時確率密度関数\(f_{X_{1}\cdots X_{n}}\)を導くことができるということです。
X_{n}}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =f_{X_{1}\cdots X_{n}}\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、その同時確率密度関数\(f_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y+z & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in \left(
X,Y,Z\right) \left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、同時分布関数\(F_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\vee z<0\right) \\
\frac{1}{6}xyz\left( x+2y+3z\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
\frac{1}{6}yz\left( 1+2y+3z\right) & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq
1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
\frac{1}{6}xz\left( 2+x+3z\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge
y>1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
\frac{1}{6}xy\left( 3+x+2y\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq
y\leq 1\wedge z>1\right) \\
\frac{1}{2}z\left( 1+z\right) & \left( if\ x>1\wedge y>1\wedge 0\leq z\leq
1\right) \\
\frac{1}{6}x\left( x+5\right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\wedge z>1\right) \\
\frac{1}{3}y\left( 2+y\right) & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\wedge
z>1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\wedge y>1\wedge z>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。このとき、\begin{equation*}
\frac{\partial ^{3}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) }{\partial x\partial y\partial
z}=\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\vee y<0\vee z<0\right) \\
\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y+z & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq
1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\wedge z>1\right) \\
0 & \left( if\ x>1\wedge y>1\wedge 0\leq z\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\wedge y>1\wedge z>1\right) \\
0 & \left( if\ x>1\wedge 0\leq y\leq 1\wedge z>1\right) \\
0 & \left( if\ x>1\wedge y>1\wedge z>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるため、以下の関係\begin{equation*}
\forall \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}:\frac{\partial ^{3}F_{XYZ}\left( x,y,z\right) }{\partial x\partial
y\partial z}=f_{XYZ}\left( x,y,z\right)
\end{equation*}が成立しています。
演習問題
\end{equation*}であるとともに、その同時確率密度関数\(f_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f_{XYZ}\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
e^{-x-y-z} & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in \left( X,Y,Z\right) \left(
\Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) \not\in \left( X,Y,Z\right) \left( \Omega
\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。同時分布関数\(F_{XYZ}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)を求めてください。
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