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SINGLE OBJECT AUCTION

共通事前分布とハーサニ変換

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入札者の信念に仮定を設ける動機

単一財オークションにおいてメカニズムを提示された入札者たちが直面する戦略的状況をベイジアンゲームとして記述しました。さらに、メカニズムのもとでのベイジアンゲームにおいて、それぞれの入札者は自身のタイプと信念にもとづいて他の入札者たちのタイプを予想し、その予想から算出される中間期待利得を最大化するような純粋戦略を採用するものと仮定しました。これをベイジアン仮説と呼びます。

入札者の信念とは、他の入札者たちのタイプに関する主観的な予想を確率分布として表現したものです。ここで注意したいのは、入札者たちが信念を形成する際の「主観」が具体的にどのようなものであるかはベイジアンゲームやベイジアン仮説において指定されていないということです。したがって、入札者はいかなる信念をも形成することができます。ただ、入札者は自身が形成し得る様々な信念の中でも中間期待利得を最大化する上で最も有効な信念を探そうとするものと考えるのは自然です。さらに、ゲームにおいて入札者たちは戦略的相互依存関係に直面している以上、入札者たちが自身の信念を形成するプロセスにおいて互いの信念を読み合う状況が発生することが容易に予期されます。しかし、このような読み合いが行われることを許容するとベイジアンゲームの分析が突如として複雑になってしまいます。こうした問題を解消するために、多くの場合、入札者の信念に対して一定の仮定を設けた上で分析を行います。

 

共通事前分布の仮定

復習になりますが、入札者たちのタイプ集合\(\Theta _{1},\cdots ,\Theta _{n}\)が離散型である場合、タイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)の信念は条件付き確率関数\begin{equation*}f_{i}\left( \cdot |\theta _{i}\right) :\Theta _{-i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \end{equation*}として定義されます。つまり、入札者\(i\)は自身のタイプが\(\theta _{i}\)であるとき、他の入札者たちのタイプが\(\theta _{-i}\)である確率を\(f_{i}\left( \theta_{-i}|\theta _{i}\right) \)と予想するということです。入札者\(i\)の信念とは、自身のそれぞれのタイプのもとでの信念からなる体系\begin{equation*}f_{i}=\{f_{i}\left( \cdot |\theta _{i}\right) \}_{\theta _{i}\in \Theta _{i}}
\end{equation*}として定義されます。以上に加えて、それぞれの入札者\(i\)は状態集合\(\Theta _{I}\)上に定義された同時確率関数\begin{equation*}f_{i}^{\ast }:\Theta _{I}\rightarrow \left[ 0,1\right] \end{equation*}を持っているものと仮定することがあります。つまり、入札者は状態が\(\theta _{I}\)である確率を\(f_{i}^{\ast }\left( \theta _{I}\right) \)と予想するということです。さらに、\(f_{i}\)は\(f_{i}^{\ast }\)の周辺確率関数として導けるという意味において整合的(consistent)でなければなりません。つまり、入札者\(i\)のタイプ\(\theta_{i}\in \Theta _{i}\)と他の入札者たちのタイプ\(\theta _{-i}\in \Theta _{-i}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(f_{i}\)と\(f_{i}^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}f_{i}\left( \theta _{-i}|\theta _{i}\right) =\frac{f_{i}^{\ast }\left(
\theta _{i},\theta _{-i}\right) }{\sum\limits_{\theta _{-i}\in \Theta
_{-i}}f_{i}^{\ast }\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つことを要求するということです。\(f_{i}\)に対して以上の関係を満たす\(f_{i}^{\ast }\)は必ず存在します。

入札者たちの信念\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)と整合的な同時確率関数\(f_{1}^{\ast },\cdots ,f_{n}^{\ast }\)がそれぞれ与えられたとき、多くの場合、これらはいずれも等しいものと仮定します。つまり、ある同時確率関数\begin{equation*}f^{\ast }:\Theta _{I}\rightarrow \left[ 0,1\right] \end{equation*}が存在し、\begin{equation*}
\forall i\in I,\ \forall \theta _{I}\in \Theta _{I}:f^{\ast }\left( \theta
_{I}\right) =f_{i}^{\ast }\left( \theta _{I}\right)
\end{equation*}が成り立つことを仮定するということです。加えて、この\(f^{\ast }\)は共有知識とみなされます。このような同時確率関数\(f^{\ast }\)を共通事前分布(common prior)と呼びます。

共通事前分布の仮定のもとでは、任意の入札者\(i\)の信念\(f_{i}\)は、共有知識である共通事前分布\(f^{\ast }\)と整合的です。つまり、入札者\(i\in I\)を任意に選んだ上で、さらにそのタイプ\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)と他の入札者たちのタイプ\(\theta_{-i}\in \Theta _{-i}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(f_{i}\)と\(f^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}f_{i}\left( \theta _{-i}|\theta _{i}\right) =\frac{f^{\ast }\left( \theta
_{i},\theta _{-i}\right) }{\sum\limits_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}f^{\ast
}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つということです。この意味において、共通事前分布の仮定はすべての入札者が同一の主観的予想を持っていることを要求します。

タイプ集合\(\Theta _{1},\cdots ,\Theta _{n}\)が連続型である場合には、入札者\(i\)の信念は条件付き密度関数の組\begin{equation*}f_{i}=\left\{ f_{i}\left( \cdot |\theta _{i}\right) \right\} _{\theta
_{i}\in \Theta _{i}}
\end{equation*}として表現されますが、共通事前分布の仮定のもとでは、共有知識であるような同時確率密度関数\begin{equation*}
f^{\ast }:\Theta _{I}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在し、入札者\(i\in I\)およびそのタイプ\(\theta_{i}\in \Theta _{i}\)と他の入札者たちのタイプ\(\theta _{-i}\in \Theta _{-i}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}f_{i}\left( \theta _{-i}|\theta _{i}\right) =\frac{f^{\ast }\left( \theta
_{i},\theta _{-i}\right) }{\int\limits_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}f^{\ast
}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) d\theta _{-i}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

 

ハーサニ変換

繰り返しになりますが、共通事前分布\(f^{\ast}:\Theta _{I}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)は入札者たちの共有知識です。また、ベイジアンゲームの定義より、入札者たちのタイプ集合\(\Theta _{1},\cdots ,\Theta _{n}\)もまた共有知識です。したがって、任意の入札者\(i\)は共通事前分布\(f^{\ast }\)から自身の信念\(f_{i}=\left\{f_{i}\left( \cdot |\theta _{i}\right) \right\} _{\theta _{i}\in \Theta _{i}}\)を導出できるだけでなく、他の任意の入札者\(j\ \left( \not=i\right) \)の信念\(f_{j}=\left\{ f_{j}\left( \cdot |\theta _{j}\right) \right\} _{\theta_{j}\in \Theta _{j}}\)を導出することもできます。つまり、共通事前分布の仮定のもとでは、入札者たちの信念からなる組\(\left\{ f_{i}\right\} _{i\in I}\)もまた共有知識になります。共通事前分布を導入することにより、不完備情報ゲームであったメカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)が完備情報ゲームとへ変換されるということです。

では、単一オークション市場における情報の非対称性、すなわち、それぞれの入札者にとって自身の真のタイプ(支払い意思額)が私的情報であるという状況を、この完備情報ゲームの中でどのように表現すればよいでしょうか。共通事前分布\(f^{\ast }\)を仮定する場合には、ベイジアンゲームを\(G\left( a,t\right) \)を以下の手順を通じて不完全かつ完備な動学ゲームへ変換することにより、一般性を失わないまま、入札者にとって自身の真のタイプが私的情報であるという状況を表現できます。このような変換をハーサニ変換(Harsanyi transformation)と呼びます。

  1. 自然(nature)と呼ばれるプレイヤーが、状態集合\(\Theta _{I}\)上の同時確率関数である共通事前分布\begin{equation*}f^{\ast }:\Theta _{I}\rightarrow \left[ 0,1\right] \end{equation*}を定める。\(\Theta _{I}\)および\(f^{\ast }\)は共有知識である。
  2. 自然はそれぞれの入札者\(i\)に対して、その人の真のタイプ\(\theta_{i}\in \Theta _{i}\)を明かすが、他の入札者やオークションの主催者には明かさない。つまり、入札者\(i\)の真のタイプ\(\theta _{i}\)は入札者\(i\)の私的情報になる。
  3. それぞれの入札者\(i\)は自身のタイプ集合\(\Theta _{i}\)の中から特定の支払い意思額\(\hat{\theta}_{i}\)を選択してそれを入札する。その際、他の入札者たちによる入札額を観察できない。入札者\(i\)による入札額\(\hat{\theta}_{i}\)は自身の真のタイプ\(\theta _{i}\)であるとは限らない。
  4. 入札者たちによる入札額の組\(\hat{\theta}_{I}\in \mathcal{\Theta }_{I}\)に対して、メカニズム\(\left( a,t\right) :\Theta _{I}\rightarrow A\times \mathbb{R} ^{n}\)が結果\(\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right),t\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)を定める。
  5. 真の状態\(\theta _{I}\)と入札者たちが選択した行動の組\(\hat{\theta}_{I}\)に応じて、それぞれの入札者\(i\)は利得関数\(u_{i}\left[ \theta _{I}\right] \)のもとで先の結果\(\left(a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right) \)を評価する。

メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)に対して共通事前分布\(f^{\ast }\)を導入し、さらにハサーニ変換を行うことで得られる不完全かつ完備な動学ゲームを、\begin{equation*}\Gamma \left( a,t\right)
\end{equation*}と表記します。この新たなゲーム\(\Gamma \left( a,t\right) \)における入札者\(i\)の純粋戦略とは、もとのゲーム\(G\left( a,t\right) \)と同様に、\begin{equation*}s_{i}:\Theta _{i}\rightarrow \Theta _{i}
\end{equation*}と定式化されます。純粋戦略\(s_{i}\)のもとで、入札者\(i\)は自分のタイプが\(\theta _{i}\in \Theta _{i}\)の場合には入札額を\(s_{i}\left( \theta_{i}\right) \in \Theta _{i}\)と定めます。また、入札者\(i\)の信念\(f_{i}\)は共通事前分布\(f^{\ast }\)と整合的です。具体的には、入札者\(i\in I\)と他の入札者たちのタイプ\(\theta _{-i}\in \Theta _{-i}\)をそれぞれ任意に選んだとき、タイプ集合が離散的である場合には、\begin{equation*}f_{i}\left( \theta _{-i}|\theta _{i}\right) =\frac{f^{\ast }\left( \theta
_{i},\theta _{-i}\right) }{\sum\limits_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}f^{\ast
}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) }
\end{equation*}が成り立ち、タイプ集合が連続的である場合には、\begin{equation*}
f_{i}\left( \theta _{-i}|\theta _{i}\right) =\frac{f^{\ast }\left( \theta
_{i},\theta _{-i}\right) }{\int\limits_{\theta _{-i}\in \Theta _{-i}}f^{\ast
}\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) d\theta _{-i}}
\end{equation*}が成り立ちます。それぞれの入札者\(i\)の真のタイプ\(\theta _{i}\)は入札者\(i\)の私的情報であるため、入札者\(i\)の信念\(f_{i}=\left\{ f_{i}\left( \cdot |\theta _{i}\right) \right\} _{\theta_{i}\in \Theta _{i}}\)の中でも、どの信念\(f_{i}\left( \cdot |\theta _{i}\right) \)が真のタイプ\(\theta _{i}\)にもとづく信念であるかは入札者\(i\)の私的情報です。

 

入札者の事前期待利得

ハーサニ変換後のゲーム\(\Gamma \left( a,t,\right) \)において、任意の入札者\(i\)は共通事前分布\(f^{\ast }\)と整合的な信念\(f_{i}\)を持っているため、変換前のゲーム\(G\left( a,t\right) \)と同様、自身のタイプ\(\theta _{i}\)を知った段階において、純粋戦略の組\(s_{I}\)がもたらす中間期待利得\begin{equation*}E_{\theta _{-i}}\left[ u_{i}\left( a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right)
\right) ,t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,\theta _{I}\right)
\ |\ \theta _{i}\right] \end{equation*}を計算できます。

加えて、ハーサニ変換後のゲーム\(\Gamma \left( a,t,\right) \)では、変換前のゲーム\(G\left( a,t\right) \)とは異なり、任意の入札者は共通事前分布\(f^{\ast }\)を知っているため、自身のタイプ\(\theta _{i}\)を知る前の段階において、純粋戦略の組\(s_{I}\)がもたらす利得の期待値を計算できます。具体的には、タイプ集合が離散型である場合には、\begin{equation*}\sum_{\theta _{I}\in \Theta _{I}}\left[ u_{i}\left( a\left( s_{I}\left(
\theta _{I}\right) \right) ,t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right)
,\theta _{I}\right) \cdot f^{\ast }\left( \theta _{I}\right) \right] \end{equation*}となり、タイプ集合が連続型である場合には、\begin{equation*}
\int_{\theta _{I}\in \Theta _{I}}\left[ u_{i}\left( a\left( s_{I}\left(
\theta _{I}\right) \right) ,t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right)
,\theta _{I}\right) \cdot f^{\ast }\left( \theta _{I}\right) \right] d\theta
_{I}
\end{equation*}となります。そこで、これを純粋戦略の組\(s_{I}\)から入札者\(i\)が得る事前期待利得(ex-ante expected payoff)と呼び、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ u_{i}\left( a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right)
\right) ,t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,\theta _{I}\right)
\ |\ \theta _{I}\right] \end{equation*}で表記します。

ハーサニ変換後のゲーム\(\Gamma \left( a,t,\right) \)において、中間期待利得と事前期待利得の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(事前期待利得と中間期待利得の関係)
ハーサニ変換後のゲーム\(\Gamma \left( a,t,\right) \)において、純粋戦略の組\(s_{I}\in S_{i}\)と入札者\(i\in I\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ u_{i}\left( a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right)
\right) ,t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,\theta _{I}\right)
\ |\ \theta _{I}\right] =\int_{\theta _{i}\in \Theta _{i}}\left\{ E_{\theta
_{-i}}\left[ u_{i}\left( a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right)
,t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,\theta _{I}\right) \ |\
\theta _{i}\right] \cdot f^{\ast }\left( \theta _{i}\right) \right\} d\theta
_{i}
\end{equation*}という関係が成り立つ。ただし、\(f^{\ast }\left( \theta_{i}\right) \)は共通事前分布\(f^{\ast }:\Theta _{I}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)から得られる\(\theta _{i}\)に関する周辺確率密度関数\begin{equation*}f^{\ast }\left( \theta _{i}\right) =\int_{\theta _{-i}\in \Theta
_{-i}}f^{\ast }\left( \theta _{i},\theta _{-i}\right) d\theta _{-i}
\end{equation*}である。

証明

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ハーサニ変換後のゲームにおけるナッシュ均衡

ハーサニ変換後のゲーム\(\Gamma \left( a,t\right) \)は完備情報ゲームであるため、そこでの均衡概念はナッシュ均衡です。ただし、入札者たちは市場の真の状態を知らないため、共通事前分布にもとづいて市場の真の状態を予想し、その予想から算出される事前期待利得を最大化するような純粋戦略を選択するものと仮定します。

ハーサニ変換後のゲーム\(\Gamma \left( a,t\right) \)において、入札者\(i\in I\)が他の入札者たちの純粋戦略の組\(s_{-i}\in S_{-i}\)に直面したときに、自分はある純粋戦略\(s_{i}\in S_{i}\)を選べば自身の事前期待利得を最大化できるのであれば、すなわち、入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \Theta _{i}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ u_{i}\left( a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right)
\right) ,t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,\theta _{I}\right)
\ |\ \theta _{I}\right] \geq E_{\theta _{I}}\left[ u_{i}\left( a\left( \hat{\theta}_{i},s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) ,t\left( \hat{\theta}_{i},s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) ,\theta _{I}\right) \ |\
\theta _{I}\right] \end{equation*}が成り立つ場合には、\(s_{i}\)は\(s_{-i}\)に対する最適戦略であると定めます。

最適戦略の概念は、他の入札者たちの純粋戦略からなる特定の組\(s_{-i}\)に対して定義されるものであることに注意する必要があります。つまり、\(s_{i}\)が\(s_{-i}\)に対する最適戦略である場合、この\(s_{i}\)は\(s_{-i}\)とは異なる\(s_{-i}^{\prime }\)に対する最適戦略であるとは限りません。

ハーサニ変換後のゲーム\(\Gamma \left( a,t\right) \)において、純粋戦略の組\(s_{I}=\left(s_{i}\right) _{i\in I}\)がお互いに最適戦略の組になっているのであれば、すなわち、エージェント\(i\in I\)とその入札額\(\hat{\theta}_{i}\in \Theta _{i}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ u_{i}\left( a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right)
\right) ,t\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) ,\theta _{I}\right)
\ |\ \theta _{I}\right] \geq E_{\theta _{I}}\left[ u_{i}\left( a\left( \hat{\theta}_{i},s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) ,t\left( \hat{\theta}_{i},s_{-i}\left( \theta _{-i}\right) \right) ,\theta _{I}\right) \ |\
\theta _{I}\right] \end{equation*}が成り立つのであれば、そのような純粋戦略の組\(s_{I}\)はナッシュ均衡です。

 

ベイズ同値仮説

メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)ではベイジアン仮説を想定しました。つまり、それぞれの入札者は自分のタイプを知っている一方で他の入札者たちのタイプを知りませんが、このような不確実な状況において、任意の入札者\(i\)は自分のタイプ\(\theta _{i}\)と信念\(f_{i}\)にもとづいて他の入札者たちのタイプ\(\theta _{-i}\)を予想し、その予想から算出される中間期待利得を最大化するような純粋戦略を選ぶものと仮定しました。

ハーサニ変換後のゲーム\(\Gamma \left( a,t\right) \)において、それぞれの入札者\(i\)は共通事前分布\(f^{\ast }\)と整合的な信念\(f_{i}\)を持っているため、変換前のゲーム\(G\left( a,t\right) \)と同じ要領で、中間期待利得を最大化するような意思決定を行うことが可能かもしれません。ただ、たとえそのような意思決定が可能である場合においても、\(G\left( a,t\right) \)とそれをハーサニ変換して得られる\(\Gamma \left( a,t\right) \)とでは入札者たちが直面する状況は異なり得るため、その結果、入札者による意思決定も変化する可能性があります。具体的には、変換前のゲーム\(G\left( a,t\right) \)において入札者\(i\)の信念\(f_{i}\)は私的情報であり、なおかつ\(f_{i}\)は自身のタイプ\(\theta _{i}\)の分布に関する情報を含んでいません。一方、変換後のゲーム\(\Gamma \left( a,t\right) \)において入札者\(i\)は共有知識である共通事前分布\(f^{\ast }\)と整合的な信念\(f_{i}\)を持っており、なおかつ\(f^{\ast }\)から自身のタイプ\(\theta _{i}\)の分布を導くこともできます。

以上のような論点は存在しますが、そのことを踏まえた上でも、任意の入札者にとって、ハーサニ変換の前後における2つのゲームは戦略上の観点からは同値であり、入札者による意思決定はどちらのゲームにおいても同じ均衡概念にしたがって行われるものと仮定する場合、そのような仮定をベイズ同値仮説と呼びます。具体的には、ハーサニ変換後のゲーム\(\Gamma \left( a,t\right) \)に直面したそれぞれの入札者\(i\)は、自身のタイプ\(\theta _{i}\)および共通事前分布\(f^{\ast }\)と整合的な信念\(f_{i}\)にもとづいて他の入札者たちのタイプ\(\theta _{-i}\)を予想し、その予想から算出される中間期待利得を最大化するような純粋戦略を選択するものと仮定するということです。ベイズ同値仮説より、その場合の均衡概念はベイジアンナッシュ均衡です。加えて、もとのゲーム\(G\left(a,t\right) \)における信念\(f_{i}\)に対して、それと整合的な共通事前分布\(f^{\ast }\)を採用すれば、結局、\(G\left( a,t\right) \)におけるベイジアンナッシュ均衡と\(\Gamma \left( a,t\right) \)におけるベイジアンナッシュ均衡は一致します。加えて、以下の命題が成り立ちます。

命題(ベイズ同値仮説の正当性)
メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)において純粋戦略の組\(s_{I}\in S_{i}\)がベイジアンナッシュ均衡であることと、ハーサニ変換後のゲーム\(\Gamma\left( a,t\right) \)において先の\(s_{I}\)がナッシュ均衡であることは必要十分である。
証明

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以上の考察より、ベイズ同値仮説を採用する場合には以下の3つの均衡が一致することが明らかになりました。

  1. \(G\left( a,t\right) \)におけるベイジアンナッシュ均衡
  2. \(\Gamma \left( a,t\right) \)におけるベイジアンナッシュ均衡
  3. \(\Gamma \left( a,t\right) \)におけるナッシュ均衡

以上の3つの均衡が等しいのであれば、わざわざハーサニ変換を行って\(\Gamma \left( a,t\right) \)を作成するのではなく、変換前のゲーム\(G\left( a,t\right) \)だけを分析対象とすればよいと考えるかもしれません。ただ、ハーサニ変換後のゲーム\(\Gamma \left( a,t\right) \)は完備情報ゲームであるため、ナッシュ均衡の存在を保証できるという大きなメリットが存在します。つまり、もとのゲーム\(G\left(a,t\right) \)に対して共通事前分布を導入した上でハーサニ変換を行って\(\Gamma \left( a,t\right) \)を得た上で、さらに変換後の前後のゲームが同値であることをベイズ同値仮説により保証することにより、もとのゲーム\(G\left( a,t\right) \)に均衡が存在することを保証するという理屈です。しかも、\(\Gamma \left( a,t\right) \)は\(G\left( a,t\right) \)よりも扱いやすい形をしているため分析が容易になります。

次回はIPVモデルと呼ばれるオークション環境について解説します。

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