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単一財オークション

SIPVモデルにおける第二価格封印オークションの均衡分析

目次

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第二価格封印オークションに関してこれまで明らかになったこと

復習になりますが、単一財オークション環境において入札者たちの利得関数に関して非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値を仮定する場合、第二価格封印オークションはVCGオークションと一致するため、耐戦略性、事後効率性、事後個人合理性を満たします。また、非単一エージェント効果の仮定を加えると、第二価格封印オークションが弱予算均衡を満たすことも保証できます。

以降では、以上の仮定に加えて入札者たちのタイプに関して共通事前分布と分布独立性、および分布対称性が成り立つことを仮定した上で、すなわちSIPVモデルを分析対象とした上で、第二価格封印オークション(VCGオークション)において入札者たちが直面する期待利得や期待支払い、およびオークションの主催者が直面する期待収入などを明らかにします。以下で明らかになる事実は、後に、第二価格オークションと他のオークションメカニズムのパフォーマンスを比較する際に利用することになります。

まずはモデルのおさらいです。SIPVモデルでは入札者たちの利得関数に関して非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値を仮定するため、入札者\(i\in I\)が状態\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)において結果\(\left( a_{I},t_{I}\right)\in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}
\end{equation*}であり、オークションの主催者が得る利得は、\begin{equation*}
\sum_{i\in I}t_{i}
\end{equation*}となります。加えて、SIPVモデルでは入札者たちのタイプに関して共通事前分布、分布独立性、分布対称性を仮定します。つまり、すべての入札者が同一のタイプ集合\begin{equation*}
\Theta =\left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}を共有するとともに、それぞれの入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\)の分布は同一の分布関数\(F:\Theta\rightarrow \left[ 0,1\right] \)によって記述されます。ただし、\(F\)に関する密度関数\(f:\Theta _{i}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)の存在を仮定します。つまり、\(F\)が微分可能であり、\(f\)が連続であるということです。加えて、入札者たちのタイプ\(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\)は互いに独立です。つまり、同時分布関数\(F_{I}:\Theta^{n}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)が存在して、任意の状態\(\theta _{I}\in \left(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n}\right) \in \Theta ^{n}\)に対して、\begin{equation*}F_{I}(\theta _{I})=F(\theta _{1})\cdot \cdots \cdot F(\theta _{n})
\end{equation*}という関係が成り立つということです。

 

第二価格封印オークションにおける期待支払い

第二価格封印オークションの均衡において入札者がそれぞれのタイプのもとで直面する中間期待支払いは以下の通りです。

命題(SIPVモデルにおいて第二価格封印オークションがもたらす中間期待支払い)
単一オークションのSIPVモデルにおいて、入札者\(i\in I\)とそのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \)をそれぞれ任意に選ぶ。ただし、\(\left\vert I\right\vert =n\geq 2\)である。第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡である正直戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)においてタイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)が直面する中間期待支払いは、\begin{equation*}E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \
|\ \theta _{i}\right] =\left( n-1\right) \int_{\underline{\theta }}^{\theta
_{i}}\left\{ x\cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left(
x\right) \right\} dx
\end{equation*}となる。

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第二価格封印オークションの均衡において入札者が直面する事前期待支払いは以下の通りです。

命題(SIPVモデルにおいて第二価格封印オークションがもたらす事前期待支払い)
単一オークションのSIPVモデルにおいて、入札者\(i\in I\)を任意に選ぶ。ただし、\(\left\vert I\right\vert =n\geq 2\)である。第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡である正直戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)において入札者\(i\)が直面する事前期待支払いは、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right] =\int_{\underline{\theta }}^{\overline{\theta }}\left\{ \left(
n-1\right) \int_{\underline{\theta }}^{\theta _{i}}\left\{ x\cdot \left[
F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \right\} dx\right\}
f\left( \theta _{i}\right) d\theta _{i}
\end{equation*}となる。

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例(第二価格封印オークションのもとでの期待支払い)
SIPVモデルにおいて、入札者たちのタイプが集合\(\left[ 0,100\right] \)上の連続一様分布にしたがって分布しているものとします。つまり、確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{100} & \left( if\ 0\leq x\leq 100\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{x}{100} & \left( if\ 0\leq x<100\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 100\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めるということです。第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡においてタイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)が直面する中間期待支払いは、 \begin{eqnarray*}
E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \
|\ \theta _{i}\right] &=&\left( n-1\right) \int_{0}^{\theta _{i}}\left\{
x\cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \right\}
dx \\
&=&\left( n-1\right) \int_{0}^{\theta _{i}}\left[ x\cdot \left( \frac{x}{100}\right) ^{n-2}\cdot \frac{1}{100}\right] dx\quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \\
&=&\left( n-1\right) \int_{0}^{\theta _{i}}\left( \frac{x}{100}\right)
^{n-1}dx \\
&=&\left( n-1\right) \left[ \frac{100}{n}\left( \frac{x}{100}\right) ^{n}\right] _{0}^{\theta _{i}} \\
&=&\frac{100\left( n-1\right) }{n}\left( \frac{\theta _{i}}{100}\right) ^{n}
\end{eqnarray*}となります。したがって、入札者\(i\)が直面する事前期待支払いは、\begin{eqnarray*}E_{\theta _{I}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right] &=&\int_{0}^{100}E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left(
\theta _{I}\right) \right) \ |\ \theta _{i}\right] \cdot f\left( \theta
_{i}\right) d\theta _{i} \\
&=&\int_{0}^{100}\left[ \frac{100\left( n-1\right) }{n}\left( \frac{\theta
_{i}}{100}\right) ^{n}\cdot \frac{1}{100}\right] d\theta _{i} \\
&=&\frac{\left( n-1\right) }{n}\int_{0}^{100}\left( \frac{\theta _{i}}{100}\right) ^{n}d\theta _{i} \\
&=&\frac{\left( n-1\right) }{n}\left[ \frac{100}{n+1}\left( \frac{\theta _{i}}{100}\right) ^{n+1}\right] _{0}^{100} \\
&=&\frac{\left( n-1\right) }{n}\frac{100}{n+1} \\
&=&\frac{100\left( n-1\right) }{n\left( n+1\right) }
\end{eqnarray*}となります。

 

第二価格封印オークションにおける期待利得

第二価格封印オークションの均衡において入札者がそれぞれのタイプのもとで直面する中間期待利得は以下の通りです。

命題(SIPVモデルにおいて第二価格封印オークションがもたらす中間期待利得)
単一オークションのSIPVモデルにおいて、入札者\(i\in I\)とそのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \)をそれぞれ任意に選ぶ。ただし、\(\left\vert I\right\vert =n\geq 2\)である。第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡である正直戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)においてタイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)が直面する中間期待利得は、\begin{equation*}E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right)
\cdot \theta _{i}-t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \ |\
\theta _{i}\right] =\left[ F\left( \theta _{i}\right) \right] ^{n-1}\cdot
\theta _{i}-\left( n-1\right) \int_{\underline{\theta }}^{\theta
_{i}}\left\{ x\cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left(
x\right) \right\} dx
\end{equation*}となる。

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第二価格封印オークションの均衡において入札者が直面する事前期待利得は以下の通りです。

命題(SIPVモデルにおいて第二価格封印オークションがもたらす事前期待利得)
単一オークションのSIPVモデルにおいて、入札者\(i\in I\)を任意に選ぶ。ただし、\(\left\vert I\right\vert =n\geq 2\)である。第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡である正直戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)において入札者\(i\)が直面する事前期待利得は、\begin{eqnarray*}&&E_{\theta _{I}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right)
\cdot \theta _{i}-t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right] \\
&=&\int_{\underline{\theta }}^{\overline{\theta }}\left\{ \left[ F\left(
\theta _{i}\right) \right] ^{n-1}\cdot \theta _{i}-\left( n-1\right) \int_{\underline{\theta }}^{\theta _{i}}\left\{ x\cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \right\} dx\right\} f\left( \theta
_{i}\right) d\theta _{i}
\end{eqnarray*}となる。

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例(第二価格封印オークションのもとでの期待利得)
SIPVモデルにおいて、入札者たちのタイプが集合\(\left[ 0,100\right] \)上の連続一様分布にしたがって分布しているものとします。つまり、確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{100} & \left( if\ 0\leq x\leq 100\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{x}{100} & \left( if\ 0\leq x<100\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 100\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるということです。先に示したように、第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡においてタイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)が直面する中間期待配分は、\begin{equation}E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \
|\ \theta _{i}\right] =\left[ F\left( \theta _{i}\right) \right] ^{n-1}=\left( \frac{\theta _{i}}{100}\right) ^{n-1} \quad \cdots (1)
\end{equation}であり、中間期待支払いは、
\begin{equation}
E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \
|\ \theta _{i}\right] =\frac{100\left( n-1\right) }{n}\cdot \left( \frac{\theta _{i}}{100}\right) ^{n} \quad \cdots (2)
\end{equation}であるため、中間期待利得は、\begin{eqnarray*}
E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right)
\cdot \theta _{i}-t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \ |\
\theta _{i}\right] &=&E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \ |\ \theta _{i}\right] \cdot \theta _{i}-E_{\theta
_{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \ |\ \theta
_{i}\right] \\
&=&\left( \frac{\theta _{i}}{100}\right) ^{n-1}\cdot \theta _{i}-\frac{100\left( n-1\right) }{n}\cdot \left( \frac{\theta _{i}}{100}\right)
^{n}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\frac{\theta _{i}^{n}}{100^{n-1}}-\frac{n-1}{n}\cdot \frac{\theta _{i}^{n}}{100^{n-1}} \\
&=&\frac{\theta _{i}^{n}}{100^{n-1}}\left( 1-\frac{n-1}{n}\right) \\
&=&\frac{\theta _{i}^{n}}{100^{n-1}}\cdot \frac{1}{n}
\end{eqnarray*}となります。したがって、入札者\(i\)が直面する事前期待利得は、\begin{eqnarray*}E_{\theta _{I}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right)
\cdot \theta _{i}-t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right] &=&\int_{0}^{100}E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \cdot \theta _{i}-t_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \ |\ \theta _{i}\right] \cdot f\left( \theta _{i}\right)
d\theta _{i} \\
&=&\int_{0}^{100}\left( \frac{\theta _{i}^{n}}{100^{n-1}}\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{100}\right) d\theta _{i} \\
&=&\frac{1}{n\cdot 100^{n}}\int_{0}^{100}\theta _{i}^{n}d\theta _{i} \\
&=&\frac{1}{n\cdot 100^{n}}\left[ \frac{\theta _{i}^{n+1}}{n+1}\right] _{0}^{100} \\
&=&\frac{1}{n\cdot 100^{n}}\cdot \frac{100^{n+1}}{n+1} \\
&=&\frac{100}{n\left( n+1\right) }
\end{eqnarray*}となります。

 

第二価格封印オークションにおける期待収入

第二価格封印オークションの均衡においてオークションの主催者が直面する事前期待収入は以下の通りです。

命題(SIPVモデルにおいて第二価格封印オークションがもたらす事前期待収入)
単一オークションのSIPVモデルにおいて、主催者が直面する事前期待利得は、\begin{equation*}
E_{\theta _{I}}\left[ \sum_{i\in I}t_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \right] =\sum_{i\in I}\left\{ \int_{\underline{\theta }}^{\overline{\theta }}\left[ \left( n-1\right) \int_{\underline{\theta }}^{\theta _{i}}\left\{ x\cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot
f\left( x\right) \right\} dx\right] f\left( \theta _{i}\right) d\theta
_{i}\right\}
\end{equation*}となる。ただし、\(\left\vert I\right\vert =n\geq 2\)である。
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例(第二価格封印オークションのもとでの期待収入)
SIPVモデルにおいて、入札者たちのタイプが集合\(\left[ 0,100\right] \)上の連続一様分布にしたがって分布しているものとします。つまり、確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{100} & \left( if\ 0\leq x\leq 100\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{x}{100} & \left( if\ 0\leq x<100\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 100\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるということです。第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡において入札者\(i\)が直面する事前期待支払いは、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right] =\frac{100\left( n-1\right) }{n\left( n+1\right) }
\end{equation*}であるため、オークションの主催者が直面する事前期待収入は、\begin{eqnarray*}
E_{\theta _{I}}\left[ \sum_{i\in I}t_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \right] &=&\sum_{i\in I}E_{\theta _{I}}\left[
t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right] \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\frac{100\left( n-1\right) }{n\left( n+1\right) } \\
&=&\frac{100\left( n-1\right) }{n+1}
\end{eqnarray*}となります。

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