第二価格封印オークションに関してこれまで明らかになったこと
分割不可能な1つの商品が売りに出される単一財オークションが環境\begin{equation*}
\left( I,\left\{ \theta _{i}\right\} _{i\in I},A\times \mathbb{R} ^{n},\left\{ u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\(I\)は入札者集合、\(\theta _{i}\)は入札者\(i\)にとっての商品の評価額、\(A\times \mathbb{R} ^{n}\)は結果集合、\(u_{i}\left( \cdot,\theta _{I}\right) \)は入札者\(i\)が結果どうしを比較する利得関数です。
以降では、入札者集合について、\begin{equation*}
\left\vert I\right\vert =n\geq 2
\end{equation*}を仮定するとともに、SIPVモデルを議論の対象とします。具体的には、入札者の利得関数に関して準線型性、リスク中立性、私的価値、非外部性を仮定することになるため、入札者\(i\in I\)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得は、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}
\end{equation*}であり、オークションの主催者が得る利得は、\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n}t_{i}
\end{equation*}です。さらに、入札者たちのタイプに関して共通事前分布、分布独立性、分布対称性を仮定することになります。つまり、すべての入札者が同一のタイプ集合\begin{equation*}
\Theta =\left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}を共有するとともに、それぞれの入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\in \Theta \)がしたがう確率分布が同一の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)および確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されます。加えて、入札者たちのタイプ\(\theta _{1},\cdots ,\theta_{n}\)は互いに独立です。つまり、同時分布関数\(F_{I}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意の状態\(\theta _{I}\in \left( \theta _{1},\cdots ,\theta_{n}\right) \in \Theta ^{n}\)に対して以下の関係\begin{equation*}F_{I}(\theta _{I})=F(\theta _{1})\times \cdots \times F(\theta _{n})
\end{equation*}が成り立つということです。
単一財オークション環境において入札者たちの利得関数に関して非外部性、準線型性、リスク中立性、私的価値を仮定する場合、第二価格封印オークションはVCGオークションと一致するため、第二価格封印オークションは耐戦略性、事後効率性、事後個人合理性を満たします。また、非単一エージェント効果の仮定を加えると、第二価格封印オークションが弱予算均衡を満たすことも保証できます。
特に、第二価格封印オークションが耐戦略性を満たすこととは、すべての入札者にとって、自身にとっての商品の評価額を正直に表明することが支配戦略であることを意味します。つまり、第二価格封印オークションでは正直戦略からなる組が支配戦略均衡であるということです。そこで以降では、均衡において入札者たちが直面する期待利得や期待支払い、およびオークションの主催者が直面する期待収入などを明らかにします。
第二価格封印オークションにおける期待支払い
第二価格封印オークションの均衡において入札者がそれぞれのタイプのもとで直面する中間期待支払いは以下の通りです。
命題（SIPVモデルにおいて第二価格封印オークションがもたらす中間期待支払い）
単一財オークションのSIPVモデルが与えられているものとする。ただし、\(\left\vert I\right\vert =n\geq 2\)である。第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡である正直戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)においてタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \)の入札者\(i\in I\)が直面する中間期待支払いは、\begin{equation*}E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \
|\ \theta _{i}\right] =\left( n-1\right) \int_{\underline{\theta }}^{\theta
_{i}}\left\{ x\cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left(
x\right) \right\} dx
\end{equation*}である。
|\ \theta _{i}\right] =\left( n-1\right) \int_{\underline{\theta }}^{\theta
_{i}}\left\{ x\cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left(
x\right) \right\} dx
\end{equation*}である。
第二価格封印オークションの均衡において入札者が直面する事前期待支払いは以下の通りです。
命題（SIPVモデルにおいて第二価格封印オークションがもたらす事前期待支払い）
単一財オークションのSIPVモデルが与えられているものとする。ただし、\(\left\vert I\right\vert =n\geq 2\)である。第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡である正直戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)において入札者\(i\in I\)が直面する事前期待支払いは、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right] =\left( n-1\right) \int_{\underline{\theta }}^{\overline{\theta }}\left\{ \int_{\underline{\theta }}^{\theta _{i}}\left\{ x\cdot \left[
F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \right\} dx\right\}
f\left( \theta _{i}\right) d\theta _{i}
\end{equation*}である。
F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \right\} dx\right\}
f\left( \theta _{i}\right) d\theta _{i}
\end{equation*}である。
例（第二価格封印オークションのもとでの期待支払い）
SIPVモデルにおいて、入札者たちのタイプが区間\(\left[ 0,1\right] \)上の連続一様分布にしたがって分布しているものとします。つまり、確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めるということです。先の命題より、第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡においてタイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)が直面する中間期待支払いは、 \begin{eqnarray*}
E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \
|\ \theta _{i}\right] &=&\left( n-1\right) \int_{0}^{\theta _{i}}\left\{
x\cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \right\}
dx \\
&=&\left( n-1\right) \int_{0}^{\theta _{i}}\left( x\cdot x^{n-2}\cdot
1\right) dx\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\left( n-1\right) \int_{0}^{\theta _{i}}x^{n-1}dx \\
&=&\left( n-1\right) \left[ \frac{1}{n}\cdot x^{n}\right] _{0}^{\theta _{i}}
\\
&=&\frac{n-1}{n}\cdot \theta _{i}^{n}
\end{eqnarray*}となります。したがって、入札者\(i\)が直面する事前期待支払いは、\begin{eqnarray*}E_{\theta _{I}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right] &=&\int_{0}^{1}E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left(
\theta _{I}\right) \right) \ |\ \theta _{i}\right] \cdot f\left( \theta
_{i}\right) d\theta _{i} \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \frac{n-1}{n}\cdot \theta _{i}^{n}\right) d\theta _{i}
\\
&=&\frac{\left( n-1\right) }{n}\int_{0}^{1}\theta _{i}^{n}d\theta _{i} \\
&=&\frac{\left( n-1\right) }{n}\left[ \frac{1}{n+1}\cdot \theta _{i}^{n+1}\right] _{0}^{1} \\
&=&\frac{\left( n-1\right) }{n}\cdot \frac{1}{n+1}\cdot \left( 1-0\right) \\
&=&\frac{n-1}{n\left( n+1\right) }
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めるということです。先の命題より、第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡においてタイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)が直面する中間期待支払いは、 \begin{eqnarray*}
E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \
|\ \theta _{i}\right] &=&\left( n-1\right) \int_{0}^{\theta _{i}}\left\{
x\cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \right\}
dx \\
&=&\left( n-1\right) \int_{0}^{\theta _{i}}\left( x\cdot x^{n-2}\cdot
1\right) dx\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\left( n-1\right) \int_{0}^{\theta _{i}}x^{n-1}dx \\
&=&\left( n-1\right) \left[ \frac{1}{n}\cdot x^{n}\right] _{0}^{\theta _{i}}
\\
&=&\frac{n-1}{n}\cdot \theta _{i}^{n}
\end{eqnarray*}となります。したがって、入札者\(i\)が直面する事前期待支払いは、\begin{eqnarray*}E_{\theta _{I}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right] &=&\int_{0}^{1}E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left(
\theta _{I}\right) \right) \ |\ \theta _{i}\right] \cdot f\left( \theta
_{i}\right) d\theta _{i} \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \frac{n-1}{n}\cdot \theta _{i}^{n}\right) d\theta _{i}
\\
&=&\frac{\left( n-1\right) }{n}\int_{0}^{1}\theta _{i}^{n}d\theta _{i} \\
&=&\frac{\left( n-1\right) }{n}\left[ \frac{1}{n+1}\cdot \theta _{i}^{n+1}\right] _{0}^{1} \\
&=&\frac{\left( n-1\right) }{n}\cdot \frac{1}{n+1}\cdot \left( 1-0\right) \\
&=&\frac{n-1}{n\left( n+1\right) }
\end{eqnarray*}となります。
第二価格封印オークションにおける期待利得
第二価格封印オークションの均衡において入札者がそれぞれのタイプのもとで直面する中間期待利得は以下の通りです。
命題（SIPVモデルにおいて第二価格封印オークションがもたらす中間期待利得）
単一財オークションのSIPVモデルが与えられているものとする。ただし、\(\left\vert I\right\vert =n\geq 2\)である。第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡である正直戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)においてタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \)の入札者\(i\in I\)が直面する中間期待利得は、\begin{eqnarray*}&&E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right)
\cdot \theta _{i}-t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \ |\
\theta _{i}\right] \\
&=&\left[ F\left( \theta _{i}\right) \right] ^{n-1}\cdot \theta _{i}-\left(
n-1\right) \int_{\underline{\theta }}^{\theta _{i}}\left\{ x\cdot \left[
F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \right\} dx
\end{eqnarray*}である。
\cdot \theta _{i}-t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \ |\
\theta _{i}\right] \\
&=&\left[ F\left( \theta _{i}\right) \right] ^{n-1}\cdot \theta _{i}-\left(
n-1\right) \int_{\underline{\theta }}^{\theta _{i}}\left\{ x\cdot \left[
F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \right\} dx
\end{eqnarray*}である。
第二価格封印オークションの均衡において入札者が直面する事前期待利得は以下の通りです。
命題（SIPVモデルにおいて第二価格封印オークションがもたらす事前期待利得）
単一財オークションのSIPVモデルが与えられているものとする。ただし、\(\left\vert I\right\vert =n\geq 2\)である。第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡である正直戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)において入札者\(i\in I\)が直面する事前期待利得は、\begin{eqnarray*}&&E_{\theta _{I}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right)
\cdot \theta _{i}-t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right] \\
&=&\int_{\underline{\theta }}^{\overline{\theta }}\left\{ \left[ F\left(
\theta _{i}\right) \right] ^{n-1}\cdot \theta _{i}-\left( n-1\right) \int_{\underline{\theta }}^{\theta _{i}}\left\{ x\cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \right\} dx\right\} f\left( \theta
_{i}\right) d\theta _{i}
\end{eqnarray*}となる。
\cdot \theta _{i}-t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right] \\
&=&\int_{\underline{\theta }}^{\overline{\theta }}\left\{ \left[ F\left(
\theta _{i}\right) \right] ^{n-1}\cdot \theta _{i}-\left( n-1\right) \int_{\underline{\theta }}^{\theta _{i}}\left\{ x\cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \right\} dx\right\} f\left( \theta
_{i}\right) d\theta _{i}
\end{eqnarray*}となる。
例（第二価格封印オークションのもとでの期待利得）
SIPVモデルにおいて、入札者たちのタイプが区間\(\left[ 0,1\right] \)上の連続一様分布にしたがって分布しているものとします。つまり、確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めるということです。先に示したように、第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡においてタイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)が直面する中間期待配分は、\begin{equation}E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \
|\ \theta _{i}\right] =\left[ F\left( \theta _{i}\right) \right] ^{n-1}=\theta _{i}^{n-1} \quad \cdots (1)
\end{equation}であり、中間期待支払いは、
\begin{equation}
E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \
|\ \theta _{i}\right] =\frac{n-1}{n}\cdot \theta _{i}^{n} \quad \cdots (2)
\end{equation}であるため、中間期待利得は、\begin{eqnarray*}
E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right)
\cdot \theta _{i}-t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \ |\
\theta _{i}\right] &=&E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \ |\ \theta _{i}\right] \cdot \theta _{i}-E_{\theta
_{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \ |\ \theta
_{i}\right] \\
&=&\theta _{i}^{n-1}\cdot \theta _{i}-\frac{n-1}{n}\cdot \theta
_{i}^{n}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\theta _{i}^{n}-\frac{n-1}{n}\cdot \theta _{i}^{n} \\
&=&\theta _{i}^{n}\left( 1-\frac{n-1}{n}\right) \\
&=&\theta _{i}^{n}\cdot \frac{1}{n}
\end{eqnarray*}となります。したがって、入札者\(i\)が直面する事前期待利得は、\begin{eqnarray*}E_{\theta _{I}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right)
\cdot \theta _{i}-t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right] &=&\int_{0}^{1}E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \cdot \theta _{i}-t_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \ |\ \theta _{i}\right] \cdot f\left( \theta _{i}\right)
d\theta _{i} \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \theta _{i}^{n}\cdot \frac{1}{n}\right) d\theta _{i} \\
&=&\frac{1}{n}\int_{0}^{1}\theta _{i}^{n}d\theta _{i} \\
&=&\frac{1}{n}\left[ \frac{1}{n+1}\cdot \theta _{i}^{n+1}\right] _{0}^{1} \\
&=&\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n+1}\cdot \left( 1-0\right) \\
&=&\frac{1}{n\left( n+1\right) }
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めるということです。先に示したように、第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡においてタイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)が直面する中間期待配分は、\begin{equation}E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \
|\ \theta _{i}\right] =\left[ F\left( \theta _{i}\right) \right] ^{n-1}=\theta _{i}^{n-1} \quad \cdots (1)
\end{equation}であり、中間期待支払いは、
\begin{equation}
E_{\theta _{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \
|\ \theta _{i}\right] =\frac{n-1}{n}\cdot \theta _{i}^{n} \quad \cdots (2)
\end{equation}であるため、中間期待利得は、\begin{eqnarray*}
E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right)
\cdot \theta _{i}-t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \ |\
\theta _{i}\right] &=&E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \ |\ \theta _{i}\right] \cdot \theta _{i}-E_{\theta
_{-i}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \ |\ \theta
_{i}\right] \\
&=&\theta _{i}^{n-1}\cdot \theta _{i}-\frac{n-1}{n}\cdot \theta
_{i}^{n}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\theta _{i}^{n}-\frac{n-1}{n}\cdot \theta _{i}^{n} \\
&=&\theta _{i}^{n}\left( 1-\frac{n-1}{n}\right) \\
&=&\theta _{i}^{n}\cdot \frac{1}{n}
\end{eqnarray*}となります。したがって、入札者\(i\)が直面する事前期待利得は、\begin{eqnarray*}E_{\theta _{I}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right)
\cdot \theta _{i}-t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right] &=&\int_{0}^{1}E_{\theta _{-i}}\left[ a_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \cdot \theta _{i}-t_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \ |\ \theta _{i}\right] \cdot f\left( \theta _{i}\right)
d\theta _{i} \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \theta _{i}^{n}\cdot \frac{1}{n}\right) d\theta _{i} \\
&=&\frac{1}{n}\int_{0}^{1}\theta _{i}^{n}d\theta _{i} \\
&=&\frac{1}{n}\left[ \frac{1}{n+1}\cdot \theta _{i}^{n+1}\right] _{0}^{1} \\
&=&\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n+1}\cdot \left( 1-0\right) \\
&=&\frac{1}{n\left( n+1\right) }
\end{eqnarray*}となります。
第二価格封印オークションにおける期待収入
第二価格封印オークションの均衡においてオークションの主催者が直面する事前期待収入は以下の通りです。
命題（SIPVモデルにおいて第二価格封印オークションがもたらす事前期待収入）
単一財オークションのSIPVモデルが与えられているものとする。ただし、\(\left\vert I\right\vert =n\geq 2\)である。第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡である正直戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)において主催者が直面する事前期待収入は、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ \sum_{i\in I}t_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \right] =n\left( n-1\right) \int_{\underline{\theta }}^{\overline{\theta }}\left[ \int_{\underline{\theta }}^{\theta _{i}}\left\{
x\cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \right\}
dx\right] f\left( \theta _{i}\right) d\theta _{i}
\end{equation*}である。
_{I}\right) \right) \right] =n\left( n-1\right) \int_{\underline{\theta }}^{\overline{\theta }}\left[ \int_{\underline{\theta }}^{\theta _{i}}\left\{
x\cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \right\}
dx\right] f\left( \theta _{i}\right) d\theta _{i}
\end{equation*}である。
例（第二価格封印オークションのもとでの期待収入）
SIPVモデルにおいて、入札者たちのタイプが区間\(\left[ 0,1\right] \)上の連続一様分布にしたがって分布しているものとします。つまり、確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めるということです。先に示したように、第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡において入札者\(i\)が直面する事前期待支払いは、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right] =\frac{n-1}{n\left( n+1\right) }
\end{equation*}であるため、オークションの主催者が直面する事前期待収入は、\begin{eqnarray*}
E_{\theta _{I}}\left[ \sum_{i\in I}t_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \right] &=&\sum_{i\in I}E_{\theta _{I}}\left[
t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right] \\
&=&n\cdot \frac{n-1}{n\left( n+1\right) } \\
&=&\frac{n-1}{n+1}
\end{eqnarray*}となります。したがって、入札者が\(2\)人の場合の事前期待収入は、\begin{equation*}\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}
\end{equation*}です。事前期待収入を入札者の人数\(n\)で微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dn}\frac{n-1}{n+1} &=&\frac{2}{\left( n+1\right) ^{2}} \\
&>&0
\end{eqnarray*}となるため、事前期待収入は入札者の人数\(n\)に関する狭義の単調増加関数です。つまり、入札者の人数が増えるほど事前期待収入は大きくなります。さらに、\begin{eqnarray*}\frac{d^{2}}{dn^{2}}\frac{n-1}{n+1} &=&\frac{d}{dn}\frac{2}{\left(
n+1\right) ^{2}} \\
&=&-\frac{4}{\left( n+1\right) ^{3}} \\
&<&0
\end{eqnarray*}であるため、事前期待収入は入札者の人数\(n\)に関する凹関数です。つまり、入札者の人数が増えるほど事前期待収入が増えていく幅は小さくなります。入札者を限りなく増やした場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n-1}{n+1} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}} \\
&=&\frac{1-0}{1+0} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。つまり、入札者の人数\(n\)を限りなく大きくすると事前期待収入は\(1\)へ限りなく近づきます。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めるということです。先に示したように、第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡において入札者\(i\)が直面する事前期待支払いは、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right] =\frac{n-1}{n\left( n+1\right) }
\end{equation*}であるため、オークションの主催者が直面する事前期待収入は、\begin{eqnarray*}
E_{\theta _{I}}\left[ \sum_{i\in I}t_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \right] &=&\sum_{i\in I}E_{\theta _{I}}\left[
t_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \right] \\
&=&n\cdot \frac{n-1}{n\left( n+1\right) } \\
&=&\frac{n-1}{n+1}
\end{eqnarray*}となります。したがって、入札者が\(2\)人の場合の事前期待収入は、\begin{equation*}\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}
\end{equation*}です。事前期待収入を入札者の人数\(n\)で微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dn}\frac{n-1}{n+1} &=&\frac{2}{\left( n+1\right) ^{2}} \\
&>&0
\end{eqnarray*}となるため、事前期待収入は入札者の人数\(n\)に関する狭義の単調増加関数です。つまり、入札者の人数が増えるほど事前期待収入は大きくなります。さらに、\begin{eqnarray*}\frac{d^{2}}{dn^{2}}\frac{n-1}{n+1} &=&\frac{d}{dn}\frac{2}{\left(
n+1\right) ^{2}} \\
&=&-\frac{4}{\left( n+1\right) ^{3}} \\
&<&0
\end{eqnarray*}であるため、事前期待収入は入札者の人数\(n\)に関する凹関数です。つまり、入札者の人数が増えるほど事前期待収入が増えていく幅は小さくなります。入札者を限りなく増やした場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n-1}{n+1} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}} \\
&=&\frac{1-0}{1+0} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。つまり、入札者の人数\(n\)を限りなく大きくすると事前期待収入は\(1\)へ限りなく近づきます。
先の命題を以下のように表現することもできます。
命題（SIPVモデルにおいて第二価格封印オークションがもたらす事前期待収入）
単一財オークションのSIPVモデルが与えられているものとする。ただし、\(\left\vert I\right\vert =n\geq 2\)である。第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡である正直戦略の組\(s_{I}\in S_{I}\)において主催者が直面する事前期待収入は、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ \sum_{i\in I}t_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \right] =n\left( n-1\right) \int_{\underline{\theta }}^{\overline{\theta }}x\cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot \left[
1-F\left( x\right) \right] \cdot f\left( x\right) dx
\end{equation*}である。
_{I}\right) \right) \right] =n\left( n-1\right) \int_{\underline{\theta }}^{\overline{\theta }}x\cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot \left[
1-F\left( x\right) \right] \cdot f\left( x\right) dx
\end{equation*}である。
例（第二価格封印オークションのもとでの期待収入）
SIPVモデルにおいて、入札者たちのタイプが区間\(\left[ 0,1\right] \)上の連続一様分布にしたがって分布しているものとします。つまり、確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めるということです。先に示したように、第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡においてオークションの主催者が直面する事前期待収入は、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ \sum_{i\in I}t_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \right] =\frac{n-1}{n+1}
\end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて導きます。実際、先の命題より、\begin{eqnarray*}
E_{\theta _{I}}\left[ \sum_{i\in I}t_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \right] &=&n\left( n-1\right) \int_{0}^{1}x\cdot \left[
F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot \left[ 1-F\left( x\right) \right] \cdot
f\left( x\right) dx \\
&=&n\left( n-1\right) \int_{0}^{1}x\cdot x^{n-2}\cdot \left( 1-x\right)
\cdot 1dx \\
&=&n\left( n-1\right) \int_{0}^{1}\left( x^{n-1}-x^{n}\right) dx \\
&=&n\left( n-1\right) \left[ \frac{1}{n}x^{n}-\frac{1}{n+1}x^{n+1}\right] _{0}^{1} \\
&=&n\left( n-1\right) \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\
&=&\frac{n-1}{n+1}
\end{eqnarray*}となるため、同じ結果が得られました。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めるということです。先に示したように、第二価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)の均衡においてオークションの主催者が直面する事前期待収入は、\begin{equation*}E_{\theta _{I}}\left[ \sum_{i\in I}t_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \right] =\frac{n-1}{n+1}
\end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて導きます。実際、先の命題より、\begin{eqnarray*}
E_{\theta _{I}}\left[ \sum_{i\in I}t_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \right] &=&n\left( n-1\right) \int_{0}^{1}x\cdot \left[
F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot \left[ 1-F\left( x\right) \right] \cdot
f\left( x\right) dx \\
&=&n\left( n-1\right) \int_{0}^{1}x\cdot x^{n-2}\cdot \left( 1-x\right)
\cdot 1dx \\
&=&n\left( n-1\right) \int_{0}^{1}\left( x^{n-1}-x^{n}\right) dx \\
&=&n\left( n-1\right) \left[ \frac{1}{n}x^{n}-\frac{1}{n+1}x^{n+1}\right] _{0}^{1} \\
&=&n\left( n-1\right) \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\
&=&\frac{n-1}{n+1}
\end{eqnarray*}となるため、同じ結果が得られました。
演習問題
問題（第二価格封印オークションのもとでの期待収入）
単一財オークションのSIPVモデルが与えられているものとします。ただし、\(\left\vert I\right\vert =n\geq 2\)です。入札者たちのタイプが区間\(\left[ 0,100\right] \)上の連続一様分布にしたがって分布しているものとします。つまり、確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{100} & \left( if\ 0\leq x\leq 100\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{x}{100} & \left( if\ 0\leq x<100\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 100\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるということです。以下の問いに答えてください。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{100} & \left( if\ 0\leq x\leq 100\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{x}{100} & \left( if\ 0\leq x<100\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 100\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるということです。以下の問いに答えてください。
- 第二価格封印オークションの均衡においてそれぞれの入札者が直面する事前期待支払いを特定してください。
- 第二価格封印オークションの均衡において主催者が直面する事前期待収入を特定してください。
- 入札者の人数が増えるにつれて事前期待収入はどのように変化するでしょうか。議論してください。
問題（第二価格封印オークションのもとでの期待収入）
単一財オークションのSIPVモデルが与えられているものとします。ただし、\(\left\vert I\right\vert =2\)です。入札者たちの評価額がとり得る値の範囲は\(\left[ 0,1\right] \)であるとともに、評価額の確率分布を特定する分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\left( 1+\alpha \right) x-\alpha x^{2} & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha \in \left[ -1,1\right] \)です。以下の問いに答えてください。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\left( 1+\alpha \right) x-\alpha x^{2} & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\alpha \in \left[ -1,1\right] \)です。以下の問いに答えてください。
- 第二価格封印オークションの均衡においてそれぞれの入札者が直面する事前期待支払いを特定してください。
- 第二価格封印オークションの均衡において主催者が直面する事前期待収入を特定してください。
- パラメータ\(\alpha \)の値が変化すると事前期待収入はどのように変化するでしょうか。議論してください。
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