第一価格封印オークション
分割不可能な1つの商品が売りに出される単一財オークションが環境\begin{equation*}
\left( I,\left\{ \theta _{i}\right\} _{i\in I},A\times \mathbb{R} ^{n},\left\{ u_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) \right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\(I\)は入札者集合、\(\theta _{i}\)は入札者\(i\)にとっての商品の評価額、\(A\times \mathbb{R} ^{n}\)は結果集合、\(u_{i}\left( \cdot,\theta _{I}\right) \)は入札者\(i\)が結果どうしを比較する利得関数です。特に、入札者の利得関数に関して準線型性、リスク中立性、私的価値を仮定する場合には、入札者\(i\)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得を、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =v_{i}\left( a_{I},\theta
_{i}\right) -t_{i}
\end{equation*}と表現できます。ただし、\(v_{i}\left( \cdot ,\theta _{I}\right) :A\rightarrow \mathbb{R} \)は配分の金銭価値を特定する評価関数です。また、準線型性、リスク中立性、私的価値の仮定に加えて非外部性を仮定する場合には、入札者\(i\)が結果\(\left( a_{I},t_{I}\right) \in A\times \mathbb{R} ^{n}\)から得る利得を、\begin{equation*}u_{i}\left( a_{I},t_{I},\theta _{I}\right) =a_{i}\cdot \theta _{i}-t_{i}
\end{equation*}と表現できます（準線型環境）。また、必要に応じて、入札者たちのタイプに関して共通事前分布、分布独立性、分布対称性を仮定します。つまり、すべての入札者が同一のタイプ集合\begin{equation*}
\Theta =\left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}を共有するとともに、それぞれの入札者\(i\)のタイプ\(\theta _{i}\in \Theta \)がしたがう確率分布が同一の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)および確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されます。加えて、入札者たちのタイプ\(\theta _{1},\cdots ,\theta_{n}\)は互いに独立です。つまり、同時分布関数\(F_{I}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、任意の状態\(\theta _{I}\in \left( \theta _{1},\cdots ,\theta_{n}\right) \in \Theta ^{n}\)に対して以下の関係\begin{equation*}F_{I}(\theta _{I})=F(\theta _{1})\times \cdots \times F(\theta _{n})
\end{equation*}が成り立つということです（SIPVモデル）。
入札者たちが表明するタイプからなる組\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)が以下の条件\begin{equation*}\forall i,j\in I:\left( i\not=j\Rightarrow \hat{\theta}_{i}\not=\hat{\theta}_{j}\right)
\end{equation*}を満たすものとします。全員の入札額が異なる状況を想定するということです。その上で、メカニズム\(\left( a,t\right) :\Theta _{I}\rightarrow A\times \mathbb{R} ^{n}\)定める結果\(\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right) \right) \)において入札者\(i\in I\)が直面する配分\(a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)および所得移転\(t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \)が、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right) \\
0 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}<\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right)
\end{array}\right. \\
&&\left( b\right) \ t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\hat{\theta}_{i} & \left( if\ \hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right) \\
0 & \left( if\ \hat{\theta}_{i}<\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in
I\backslash \left\{ i\right\} \right\} \right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}である場合、このようなメカニズム\(\left( a,t\right) \)を第一価格封印オークション（first-price sealed-bid auction）やファーストプライス・オークション（first price auction）などと呼びます。
条件\(\left( a\right) \)より、第一価格封印オークションのもとでは、単独で最高額を入札した入札者が商品を確率\(1\)で入手し、それ以外の入札者は商品を入手できません。条件\(\left( b\right) \)より、商品を落札した入札者は自身が提示した入札額に等しい金額を支払う必要がある一方で、それ以外の入札者に所得移転は課されません。
これまでは全員の入札額が異なる状況を想定しましたが、現実には複数の入札者の入札額が一致する状況は起こり得ます。複数の入札者が最高額を入札する状況を許容した場合の第一価格封印オークションについては場を改めて解説します。
真の状態が\(\theta _{I}\in \Theta _{I}\)である一方で入札額が\(\hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I}\)であるものとします。第一価格封印オークションのもとで入札者\(i\in I\)が落札者である場合には、すなわち、\begin{equation}\hat{\theta}_{i}>\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\backslash \left\{
i\right\} \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つ場合には、入札者\(i\)が得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{i}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right)
\right) &=&a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta
_{i}-t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \quad \because \text{準線型環境} \\
&=&1\cdot \theta _{i}-\hat{\theta}_{I}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\theta _{i}-\hat{\theta}_{I}
\end{eqnarray*}となります。また、入札者\(i\)が落札者ではない場合には、すなわち、\begin{equation}\hat{\theta}_{i}<\max \left\{ \hat{\theta}_{j}\ |\ j\in I\backslash \left\{
i\right\} \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合には、入札者\(i\)が得る利得は、\begin{eqnarray*}u_{i}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right)
\right) &=&a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta
_{i}-t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \quad \because \text{準線型環境} \\
&=&0\cdot \theta _{i}-0\quad \because \left( 2\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}であるということです。入札者集合が、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であり、状態が、\begin{equation*}
\theta _{I}=\left( \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\right)
\end{equation*}であり、入札額が、\begin{equation*}
\hat{\theta}_{I}=\left( \hat{\theta}_{1},\hat{\theta}_{2},\hat{\theta}_{3}\right) =\left( 10,9,8\right)
\end{equation*}であるものとします。入札者\(1\)が最高額を入札しているため、第一価格封印オークションの配分ルール\(a\)が定める配分は、\begin{equation*}a\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left( a_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,a_{2}\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,a_{3}\left( \hat{\theta}_{I}\right)
\right) =\left( 1,0,0\right)
\end{equation*}であり、移転ルール\(t\)が定める所得移転は、\begin{equation*}t\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\left( t_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,t_{2}\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t_{3}\left( \hat{\theta}_{I}\right)
\right) =\left( 10,0,0\right)
\end{equation*}となります。したがって、以上の結果からそれぞれの入札者が得る利得は、\begin{eqnarray*}
u_{1}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,\theta _{I}\right) &=&a_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta
_{1}-t_{1}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =\theta _{1}-10 \\
u_{2}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,\theta _{I}\right) &=&a_{2}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta
_{2}-t_{2}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =0 \\
u_{3}\left( a\left( \hat{\theta}_{I}\right) ,t\left( \hat{\theta}_{I}\right)
,\theta _{I}\right) &=&a_{3}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \theta
_{3}-t_{3}\left( \hat{\theta}_{I}\right) =0
\end{eqnarray*}となります。
第一価格封印オークションは誘因両立的ではない
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値、非外部性の仮定が成り立つ場合には第二価格封印オークションが耐戦略性を満たすのに対し、第一価格封印オークションは耐戦略性を満たさず、誘因両立的でさえもありません。つまり、第一価格封印オークションにおいて、すべての入札者が正直戦略にもとづいて真の評価額を正直に表明することはベイジアンナッシュ均衡になるとは限らないということです。以下の例より明らかです。
I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であるとともに、入札者たちのタイプが区間\(\left[ 0,1\right] \)上の連続一様分布にしたがって分布しているものとします。つまり、確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるということです。第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)のもとで、入札者\(2\)が正直戦略にしたがって入札することを前提とした場合、タイプ\(\theta _{1}\)の入札者\(1\)にとって最適な入札額は、\begin{equation*}\hat{\theta}_{1}=\frac{\theta _{1}}{2}
\end{equation*}となります（演習問題）。つまり、入札者\(2\)が正直戦略にしたがうことを前提とした場合、タイプ\(\theta _{1}\)の入札者にとって正直戦略にしたがって\(\theta _{1}\)を入札することは最適ではなく、\(\theta _{1}\)とは異なる\(\frac{\theta _{1}}{2}\)を入札することが最適です。入札者\(2\)の正直戦略に対して、入札者\(1\)の正直戦略は最適反応ではないということです。以上の事実は、第一価格封印オークションのもとでは正直戦略の組がベイジアンナッシュ均衡になるとは限らないこと、すなわち第一価格封印オークションが誘因両立性を満たさないことを意味します。
第一価格封印オークションにおけるベイジアンナッシュ均衡
第一価格封印オークションは誘因両立性を満たさないことが明らかになりました。つまり、オークションルールとして第一価格封印オークションを採用した場合、全員が正直戦略にしたがって入札することはベイジアンナッシュ均衡になるとは限りません。一方、一定の条件のもとでは、正直戦略の組とは異なる戦略の組がベイジアンナッシュ均衡になり得ます。順番に解説します。
単一財オークションSIPVモデルを分析対象とした上で、第一価格封印オークションにおけるベイジアンナッシュ均衡を明らかにします。入札者集合が、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,\cdots ,n\right\}
\end{equation*}であるものとします。
入札者\(i\in I\)とは異なる\(n-1\)人の入札者たちのタイプの実現値の中の最大値を特定する確率変数、すなわち入札者\(i\)以外の入札者たちのタイプ\(\theta _{1},\cdots ,\theta_{i-1},\theta _{i+1},\cdots ,\theta _{n}\)を確率変数とみなした場合の第1順序統計量を、\begin{equation*}\theta _{-i}^{\left( 1\right) }
\end{equation*}で表記します。この場合、分布関数\(F_{\theta_{-i}^{\left( 1\right) }}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \)に対して、\begin{equation}F_{\theta _{-i}^{\left( 1\right) }}\left( x\right) =\left[ F\left( n\right) \right] ^{n-1} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定め、確率密度関数\(f_{\theta _{-i}^{\left( 1\right) }}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \)に対して、\begin{equation}f_{\theta _{-i}^{\left( 1\right) }}\left( x\right) =\left( n-1\right) \cdot
\left[ F\left( n\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。
入札者\(i\in I\)およびそのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \)を任意に選びます。第二価格封印オークション\(\left( a^{II},t^{II}\right) \)の均衡である正直戦略の組\(\theta _{I}\)においてタイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)が商品を落札する確率は、他の入札者たちのタイプがいずれも\(\theta _{i}\)以下である確率、すなわち順序統計量\(\theta _{-i}^{\left( 1\right) }\)の実現値が\(\theta _{i}\)以下である確率であるため、\(\left( 1\right) \)よりそれは、\begin{equation}F_{\theta _{-i}^{\left( 1\right) }}\left( \theta _{i}\right) =\left[ F\left(
\theta _{i}\right) \right] ^{n-1} \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。また、第二価格封印オークションにおいて勝者は自分以外の入札者たちによる入札額の中の最大値に等しい金額を支払うため、タイプ\(\theta _{i}\)の入札者\(i\)が勝者である場合に支払う金額の期待値は、自身のタイプ\(\theta _{i}\)が最大であるという条件のもとでの順序統計量\(\theta _{-i}^{\left( 1\right) }\)の期待値であり、それは、\begin{eqnarray*}E\left[ \theta _{-i}^{\left( 1\right) }\ |\ \theta _{i}>\theta _{-i}^{\left(
1\right) }\right] &=&\frac{\int_{\underline{\theta }}^{\theta _{i}}\left[
x\cdot f_{\theta _{-i}^{\left( 1\right) }}\left( x\right) \right] dx}{F_{\theta _{-i}^{\left( 1\right) }}\left( \theta _{i}\right) }\quad \because
\text{条件付き期待値の定義} \\
&=&\frac{\int_{\underline{\theta }}^{\theta _{i}}\left[ x\cdot \left(
n-1\right) \cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left(
x\right) \right] dx}{\left[ F\left( \theta _{i}\right) \right] ^{n-1}}\quad
\because \left( 2\right) ,\left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。以上を踏まえた上で、入札者\(i\in I\)について、それぞれのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \)に対して、以下の入札額\begin{eqnarray*}s_{i}\left( \theta _{i}\right) &=&E\left[ \theta _{-i}^{\left( 1\right) }\
|\ \theta _{i}>\theta _{-i}^{\left( 1\right) }\right] \\
&=&\frac{\int_{\underline{\theta }}^{\theta _{i}}\left[ x\cdot \left(
n-1\right) \cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left(
x\right) \right] dx}{\left[ F\left( \theta _{i}\right) \right] ^{n-1}}
\end{eqnarray*}を定める純粋戦略\begin{equation*}
s_{i}:\left[ \underline{\theta },\overline{\theta }\right] \rightarrow \left[
\underline{\theta },\overline{\theta }\right]
\end{equation*}を定義します。
以上のように定義された純粋戦略から構成される組\(s_{I}\)は第一価格封印オークションにおけるベイジアンナッシュ均衡になります。
_{i}}\left[ x\cdot \left( n-1\right) \cdot \left[ F\left( x\right) \right] ^{n-2}\cdot f\left( x\right) \right] dx}{\left[ F\left( \theta _{i}\right) \right] ^{n-1}}
\end{equation*}を定めるものとする。以上の純粋戦略からなる組\(s_{I}\in S_{I}\)は、第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left(a,t\right) \)におけるベイジアンナッシュ均衡になる。
先の命題を以下のように表現することもできます。
\theta _{i}\right) \right] ^{n-1}}-\frac{\int_{\underline{\theta }}^{\theta
_{i}}\left[ F\left( x\right) \right] ^{n-1}dx}{\left[ F\left( \theta
_{i}\right) \right] ^{n-1}}
\end{equation*}を定めるものとする。特に、\(\underline{\theta }=0\)の場合には、\begin{equation*}s_{i}\left( \theta _{i}\right) =\theta _{i}-\frac{\int_{0}^{\theta _{i}}\left[ F\left( x\right) \right] ^{n-1}dx}{\left[ F\left(
\theta _{i}\right) \right] ^{n-1}}
\end{equation*}である。以上の純粋戦略からなる組\(s_{I}\in S_{I}\)は、第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( a,t\right) \)におけるベイジアンナッシュ均衡になる。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるということです。入札者\(i\in I\)およびそのタイプ\(\theta _{i}\in \left[ 0,1\right] \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}s_{i}\left( \theta _{i}\right) &=&\theta _{i}-\frac{\int_{0}^{\theta _{i}}\left[ F\left( x\right) \right] ^{n-1}dx}{\left[ F\left( \theta _{i}\right) \right] ^{n-1}} \\
&=&\theta _{i}-\frac{\int_{0}^{\theta _{i}}x^{n-1}dx}{\theta _{i}^{n-1}} \\
&=&\theta _{i}-\frac{\left[ \frac{1}{n}x^{n}\right] _{0}^{\theta _{i}}}{\theta _{i}^{n-1}} \\
&=&\theta _{i}-\frac{\frac{1}{n}\theta _{i}^{n}}{\theta _{i}^{n-1}} \\
&=&\theta _{i}-\frac{1}{n}\theta _{i} \\
&=&\left( \frac{n-1}{n}\right) \theta _{i}
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より、第一価格封印オークションにおける入札者\(i\)の均衡戦略\(s_{i}:\left[ 0,1\right] \rightarrow \left[ 0,1\right] \)はそれぞれの\(\theta _{i}\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}s_{i}\left( \theta _{i}\right) =\left( \frac{n-1}{n}\right) \theta _{i}
\end{equation*}を定めます。したがって、第一価格封印オークションにおけるベイジアンナッシュ均衡は、\begin{equation*}
s_{I}\left( \theta _{I}\right) =\left( \frac{n-1}{n}\theta _{1},\cdots ,\frac{n-1}{n}\theta _{n}\right)
\end{equation*}となります。つまり、すべての入札者が自身にとっての評価額の\(\frac{n-1}{n}\)に相当する金額を入札することが均衡になります。特に、入札者が2人の場合の均衡入札額は、\begin{equation*}\left( s_{1}\left( \theta _{1},\theta _{2}\right) ,s_{2}\left( \theta
_{1},\theta _{2}\right) \right) =\left( \frac{\theta _{1}}{2},\frac{\theta
_{2}}{2}\right)
\end{equation*}となります。つまり、両者がともに自身にとっての評価額の半分の金額を入札することが均衡になります。したがって、彼らにとっての評価額\(\left( \theta _{1},\theta _{2}\right) \)が、\begin{equation*}\theta _{1}>\theta _{2}
\end{equation*}を満たす場合、両者の均衡入札額の間には以下の関係\begin{equation*}
s_{1}\left( \theta _{1},\theta _{2}\right) =\frac{\theta _{1}}{2}>\frac{\theta _{2}}{2}=s_{2}\left( \theta _{1},\theta _{2}\right)
\end{equation*}が成立するため、第一価格封印オークションの定義より、均衡結果は「入札者\(1\)が商品を落札して\(\frac{\theta _{1}}{2}\)だけ支払う一方で、入札者\(2\)は商品を落札できず所得移転も課されない」というものになります。したがって、入札者\(1\)の均衡利得は、\begin{equation*}\theta _{1}\cdot 1-\frac{\theta _{1}}{2}=\theta _{1}-\frac{\theta _{1}}{2}=\frac{\theta _{1}}{2}
\end{equation*}である一方で、入札者\(2\)の均衡利得は、\begin{equation*}\theta _{2}\cdot 0-0=0
\end{equation*}となります。
第一価格封印オークションの効率性
単一財オークションのSIPVモデルを想定した場合、第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)のもとでのベイジアンゲームにはベイジアンナッシュ均衡\(s_{I}\)が存在することが明らかになりましたが、この均衡のもとで実現する結果は常に配分効率的です。つまり、\begin{equation*}\forall \theta _{I}\in \Theta _{I}:\sum_{i\in I}a_{i}\left( s_{I}\left(
\theta _{I}\right) \right) \cdot \theta _{i}=\max_{a_{I}\in A}\sum_{i\in
I}a_{i}\cdot \theta _{i}
\end{equation*}が成り立ちます。どのような状態\(\theta _{I}\)が実現した場合においても、第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)における均衡結果\(s_{I}\left( \theta_{I}\right) \)のもとでの配分\(a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \)において社会的余剰は最大化されるということです。以上の事実は、第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)が事後効率的メカニズムであることを意味します。
準線型性とリスク中立性を認める場合、メカニズムが配分効率的であることと狭義事後効率的であることは必要十分であるため、先の命題より、SIPVモデルにおいて第一価格封印オークションは狭義事後効率性を満たします。つまり、どのような状態\(\theta _{I}\)が実現した場合においても、第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)における均衡結果\(s_{I}\left( \theta _{I}\right) \)は常に狭義事後パレート効率的です。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるということです。この場合、先に明らかにしたように、第一価格封印オークションにおけるベイジアンナッシュ均衡は、\begin{equation}
s_{I}\left( \theta _{I}\right) =\left( \frac{n-1}{n}\theta _{1},\cdots ,\frac{n-1}{n}\theta _{n}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。状態\(\theta_{I}\in \Theta _{I}\)において入札者\(i\)による評価額\(\theta _{i}\)が最高額であるものとします。つまり、\begin{equation}\theta _{i}>\max \left\{ \theta _{j}\ |\ j\in I\backslash \left\{ i\right\}
\right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ状況を想定するということです。この場合には、\begin{eqnarray*}
s_{i}\left( \theta _{I}\right) &=&\frac{n-1}{n}\theta _{i}\quad \because
\left( 1\right) \\
&>&\max \left\{ \frac{n-1}{n}\theta _{j}\ |\ j\in I\backslash \left\{
i\right\} \right\} \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\max \left\{ s_{j}\left( \theta _{I}\right) \ |\ j\in I\backslash \left\{
i\right\} \right\} \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、第一価格封印オークションの定義より、入札者\(i\)が商品を落札します。この場合の社会的余剰は、\begin{eqnarray*}\sum_{j\in I}a_{j}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \cdot \theta
_{j} &=&a_{i}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \cdot \theta
_{i}+\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }a_{j}\left( s_{I}\left(
\theta _{I}\right) \right) \cdot \theta _{j} \\
&=&1\cdot \theta _{i}+\sum_{j\in I\backslash \left\{ i\right\} }0\cdot
\theta _{j} \\
&=&\theta _{i}
\end{eqnarray*}となりますが、\(\left( 2\right) \)より、この結果は配分効率的です。SIPVモデルを想定しているため、この結果は狭義事後パレート効率的でもあります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
第一価格封印オークションの個人合理性
単一財オークション環境において準線型性、リスク中立性、私的価値、非外部性の仮定が成り立つ場合、第一価格封印オークションは事後個人合理性を満たします。つまり、第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)のもとでは、\begin{equation}\forall \hat{\theta}_{I}\in \Theta _{I},\ \forall i\in I:a_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \cdot \hat{\theta}_{i}-t_{i}\left( \hat{\theta}_{I}\right) \geq 0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。さらに、単一財オークションのSIPVモデルを想定した場合、第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)のもとでのベイジアンゲームにはベイジアンナッシュ均衡\(s_{I}\)が存在することが明らかになりましたが、以上の事実と\(\left( 1\right) \)より、均衡結果においても、\begin{equation*}\forall \theta _{I}\in \Theta _{I},\ \forall i\in I:a_{i}\left( s_{I}\left(
\theta _{I}\right) \right) \cdot \theta _{i}-t_{i}\left( s_{I}\left( \theta
_{I}\right) \right) \geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、どのような状態\(\theta _{I}\)が実現した場合においても、第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)における均衡結果\(s_{I}\left( \theta _{I}\right) \)において任意の入札者は非負の利得を得るということです。以上の事実は、第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)が事後個人合理的メカニズムであることを意味します。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるということです。この場合、先に明らかにしたように、第一価格封印オークションにおけるベイジアンナッシュ均衡は、\begin{equation*}
s_{I}\left( \theta _{I}\right) =\left( \frac{n-1}{n}\theta _{1},\cdots ,\frac{n-1}{n}\theta _{n}\right)
\end{equation*}となります。状態\(\theta_{I}\in \Theta _{I}\)において入札者\(i\)による評価額\(\theta _{i}\)が最高額であるものとします。つまり、\begin{equation*}\theta _{i}>\max \left\{ \theta _{j}\ |\ j\in I\backslash \left\{ i\right\}
\right\}
\end{equation*}が成り立つ状況を想定するということです。第一価格封印オークションの定義より、この場合の均衡配分\(a\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \)において入札者\(j\in I\)が直面する配分は、\begin{equation*}a_{j}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ j=i\right) \\
0 & \left( if\ j\not=i\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であり、所得移転は、\begin{equation*}
t_{j}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{n-1}{n}\theta _{i} & \left( if\ j=i\right) \\
0 & \left( if\ j\not=i\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるため、均衡利得は、\begin{eqnarray*}
a_{j}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) \cdot \theta
_{j}-t_{j}\left( s_{I}\left( \theta _{I}\right) \right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{n}\cdot \theta _{i} & \left( if\ j=i\right) \\
0 & \left( if\ j\not=i\right)
\end{array}\right. \\
&\geq &0
\end{eqnarray*}を満たします。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
演習問題
I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であるとともに、入札者たちのタイプが区間\(\left[ 0,1\right] \)上の連続一様分布にしたがって分布しているものとします。つまり、確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるということです。第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)のもとで、入札者\(2\)が正直戦略にしたがって入札することを前提とした場合、タイプ\(\theta _{1}\)の入札者\(1\)にとって最適な入札額は、\begin{equation*}\hat{\theta}_{1}=\frac{\theta _{1}}{2}
\end{equation*}であることを示してください。
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であり、入札者たちのタイプが区間\(\left[ 0,10\right] \)上の連続一様分布にしたがって分布しているものとします。つまり、確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{10} & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{x}{10} & \left( if\ 0\leq x<10\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 10\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるということです。状態が、\begin{equation*}
\theta _{I}=\left( \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\right) =\left(
10,9,8\right)
\end{equation*}である場合、第一封印価格オークション\(\left( a,t\right) \)のもとでの均衡結果において入札者たちが得る利得と主催者が得る収入を特定してください。
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であるとともに、入札者たちのタイプが集合\(\left[ 0,1\right] \)上の連続一様分布にしたがって分布しているものとします。つまり、確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるということです。入札者たちのタイプ\(\left( \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\right) \)が、\begin{equation*}\theta _{1}>\theta _{2}>\theta _{3}
\end{equation*}を満たすものとします。第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)のもとでの均衡入札額、均衡結果、均衡における社会的余剰をそれぞれ求めてください。
I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であるとともに、入札者たちのタイプが集合\(\left[ 0,1\right] \)上の連続一様分布にしたがって分布しているものとします。つまり、確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるとともに、分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるということです。タイプ\(\theta _{1}\)の入札者\(1\)の信念\(f_{1}\left( \cdot |\theta_{1}\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\theta _{2}\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{1}\left( \theta _{2}|\theta _{1}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq \theta _{2}\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。同様に、タイプ\(\theta _{2}\)の入札者\(2\)の信念\(f_{2}\left( \cdot |\theta _{2}\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\theta _{1}\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{2}\left( \theta _{1}|\theta _{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq \theta _{1}\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。本文中において示したように、第一価格封印オークション\(\left( a,t\right) \)において、以下の条件\begin{eqnarray*}\forall \theta _{1} &\in &\Theta _{1}:s_{1}^{\ast }\left( \theta _{1}\right)
=\frac{\theta _{1}}{2} \\
\forall \theta _{2} &\in &\Theta _{2}:s_{2}^{\ast }\left( \theta _{2}\right)
=\frac{\theta _{2}}{2}
\end{eqnarray*}を満たす純粋戦略からなる組\(\left( s_{1}^{\ast },s_{2}^{\ast }\right) \)はベイジアンナッシュ均衡です。これは正直戦略の組ではないため、\(\left( a,t\right) \)はベイジアンナッシュ均衡誘因両立性を満たしません。ただ、表明原理によると、任意の状態\(\left( \theta _{1},\theta _{2}\right) \in \Theta_{1}\times \Theta _{2}\)において\(\left( a,t\right) \)が均衡において遂行する結果と同じ結果を遂行する誘因両立的メカニズムが存在するはずです。そのような誘因両立的メカニズムを特定してください。
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