点列を用いた多変数関数の一様連続性の判定

多変数関数の一様連続性と点列の極限の関係

多変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)上で一様連続であることとは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in X:
\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離関数であり、2つの点\(x,a\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離は、\begin{eqnarray*}d\left( x,a\right) &=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}\quad \because \text{ユークリッド距離の定義} \\
&=&\left\Vert x-a\right\Vert \quad \because \text{ノルムの定義}
\end{eqnarray*}と定義されます。多変数関数の一様連続性は点列を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が関数が一様連続であることを容易に示すことができる場合もあります。順番に解説します。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}-y_{v}\right) =0
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)上の2つの点列\(\left\{ x_{v}\right\},\left\{ y_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} \)上の数列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\},\left\{ f\left( y_{v}\right) \right\} \)をつくります。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left[ f\left( x_{v}\right) -f\left( y_{v}\right) \right] =0
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が\(X\)上で一様連続であるための必要十分条件です。

この命題が要求していることは、\(X\)の点を項とするとともに差がゼロベクトル\(0\)へ収束する「任意の」点列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\left\{ f\left( x_{v}\right)\right\} ,\left\{ f\left( y_{v}\right) \right\} \)の差がゼロ\(0\)へ収束しなければならないということです。したがって、このような性質を満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{y_{v}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、関数\(f\)が\(X\)上で一様連続であることを示したことにはなりません。

以上の命題より、多変数関数の一様連続性に関する議論を点列の収束に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。

多変数関数が一様連続でないことの証明

先の命題は、多変数関数が一様連続でないことを示す際にも有用です。具体的には、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、その定義域\(X\)の点を項とするとともに、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}-y_{v}\right) =0
\end{equation*}を満たす何らかの点列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して数列\(\left\{f\left( x_{v}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{v}\right) \right\} \)が、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left[ f\left( x_{v}\right) -f\left( y_{v}\right) \right] =0
\end{equation*}を満たさないことを示せば、関数\(f\)が\(X\)上で一様連続ではないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような点列\(\left\{ x_{v}\right\},\left\{ y_{v}\right\} \)が存在することは、\(f\)が\(X\)上で一様連続であることと矛盾するからです。

演習問題