多変数のベクトル値関数のグラフ

多変数のベクトル値関数のグラフ

始集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるような多変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。それに対して、以下の命題\begin{equation*}
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が真になるようなベクトル\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{eqnarray*}G\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\\
&=&\left\{ \left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{m}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( \boldsymbol{x},f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots
,f_{m}\left( \boldsymbol{x}\right) \right) \in \mathbb{R} ^{n+m}\ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを\(\boldsymbol{f}\)のグラフ（graph）と呼びます。明らかに、\begin{equation*}G\left( \boldsymbol{f}\right) \subset X\times \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立ちます。表記の都合上、ここでは行ベクトルと列ベクトルを同一視しています。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されるため、ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\in X\times \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right) \Leftrightarrow \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \)が関数\(\boldsymbol{f}\)のグラフの要素であることと、\(\boldsymbol{f}\)がベクトル\(\boldsymbol{x}\)に対して定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)が\(\boldsymbol{y}\)と一致することは必要十分です。

例（多変数のベクトル値関数のグラフ）

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
-y \\
3x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{eqnarray*}
G\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \left( x,y,z_{1},z_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{4}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
z_{1} \\
z_{2}\end{array}\right) =\boldsymbol{f}\left( x,y\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z_{1},z_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{4}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
z_{1} \\
z_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-y \\
3x\end{array}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,-y,3x\right) \in \mathbb{R} ^{4}\ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは4次元空間\(\mathbb{R} ^{4}\)の部分集合であるため図示できません。それぞれの\(\left( x,y\right) \)に対して\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x,y\right) \)を描くと以下の図が得られます。

例（多変数のベクトル値関数のグラフ）

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x,y,z\right) =\left(
\begin{array}{c}
y \\
x \\
z^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{eqnarray*}
G\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \left(
x,y,z,s_{1},s_{2},s_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{6}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
s_{1} \\
s_{2} \\
s_{3}\end{array}\right) =\boldsymbol{f}\left( x,y,z\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z,s_{1},s_{2},s_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{6}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
s_{1} \\
s_{2} \\
s_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
y \\
x \\
z^{2}\end{array}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y,z,y,x,z^{2}\right) \in \mathbb{R} ^{6}\ |\ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは6次元空間\(\mathbb{R} ^{6}\)の部分集合であるため図示できません。それぞれの\(\left( x,y,z\right) \)に対して\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x,y,z\right) \)を描くと以下の図が得られます。

直積の部分集合としてのベクトル値関数

多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(X\times \mathbb{R} ^{m}\)の部分集合ですが、これはどのような性質を満たす集合でしょうか。関数\(\boldsymbol{f}\)は始集合のそれぞれの要素\(\boldsymbol{x}\in X\)に対してその像\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を1つずつ定めますが、以上の事実は、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right) \)を満たすベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)が1つずつ存在することを意味します。

逆に、直積\(X\times \mathbb{R} ^{m}\)の部分集合\(G\)が以下の性質\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \exists !\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}:\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、集合\(X\)の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだとき、\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G\)を満たすようなベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)が1つずつ存在するということです。したがってこの場合、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G\)を満たすようなベクトル\(\boldsymbol{y}\)を\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)として定める多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能であり、なおかつ、このように定義された\(\boldsymbol{f}\)のグラフは\(G\)と一致します。

以上の2つの命題より、以下の概念の間には1対1の関係が成立することが明らかになりました。したがって、これらの概念は実質的に等しく、互いに交換可能です。

1. 多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)
2. 多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)のグラフ\(G\left( \boldsymbol{f}\right) \)
3. 以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \exists !\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}:\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in G
   \end{equation*}を満たす集合\(G\subset X\times \mathbb{R} ^{m}\)

演習問題