多変数のベクトル値関数のグラフ

多変数のベクトル値関数のグラフ

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(y=f\left( x\right) \)が真になるような組\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)からなる集合を、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)のグラフ（graph）と呼びます。\(G\left( f\right) \)は\(X\times \mathbb{R} ^{m}\)の部分集合です。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、組\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選ぶと、グラフ\(G\left( f\right) \)の定義より、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \Leftrightarrow y=f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、組\(\left( x,y\right) \)が関数\(f\)のグラフの要素であることと、\(f\)による\(x\)の像が\(y\)であることは必要十分です。

例（多変数のベクトル値関数のグラフ）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( -y,3x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{4}\ |\ z=\left( -y,3x\right) \right\}
\end{equation*}ですが、これは4次元空間の部分集合であるため図示できません。それぞれの\(\left( x,y\right) \)に対して\(f\)が定めるベクトル\(f\left( x,y\right) \)を描くと以下の図が得られます。

例（多変数のベクトル値関数のグラフ）

関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\left( y,x,z^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y,z,t\right) \in \mathbb{R} ^{6}\ |\ t=\left( y,x,z^{2}\right) \right\}
\end{equation*}ですが、これは6次元空間の部分集合であるため図示できません。それぞれの\(\left( x,y,z\right) \)に対して\(f\)が定めるベクトル\(f\left( x,y,z\right) \)を描くと以下の図が得られます。

直積の部分集合としてのベクトル値関数

繰り返しになりますが、多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(X\times \mathbb{R} ^{m}\)の部分集合ですが、これはどのような性質を満たす集合でしょうか。関数\(f\)は始集合のそれぞれの要素\(x\in X\)に対してその像\(f\left(x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を1つずつ定めますが、\(G\left( f\right) \)の定義より、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して\(\left( x,y\right) \in G\left(f\right) \)を満たす\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)が1つずつ存在することを意味します。

逆に、直積\(X\times \mathbb{R} ^{m}\)の部分集合\(G\)が、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} ^{m}:\left( x,y\right) \in G
\end{equation*}という性質を満たすものとします。つまり、集合\(X\)の要素\(x\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \in G\)を満たすような\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)が1つずつ存在するということです。したがってこの場合、それぞれの\(x\in X\)に対して\(\left( x,y\right) \in G\)を満たすような\(y\)を\(f\left( x\right) \)として定める関数\(f:X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能であり、なおかつ\(f\)のグラフは\(G \)と一致します。

上の2つの命題より、以下を得ます。

上の命題より、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} ^{m}:\left( x,y\right) \in G
\end{equation*}という条件を満たす直積\(X\times \mathbb{R} ^{m}\)の部分集合\(G\)と同一視することができます。

演習問題