多変数のベクトル値関数どうしの合成関数
2つの多変数のベクトル値関数\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f} &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{k} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} ^{k}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。加えて、\(\boldsymbol{f}\)の値域が\(\boldsymbol{g}\)の定義域の部分集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{k}\)は自身の定義域\(X\)の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対してベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{k}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{k}
\end{equation*}を定めますが、仮定\(\left( 1\right) \)より、このベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{k}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域\(Y\)の要素であるため、\(\boldsymbol{g}\)はこのベクトル\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y\)に対してベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right)
=\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots ,f_{k}\left(
\boldsymbol{x}\right) \right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\cdots ,f_{k}\left(
\boldsymbol{x}\right) \right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定めます。
このような事情を踏まえると、先のような2つの関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)が与えられた場合には、関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の要素であるそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\left( \boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right)
\right)
\end{equation*}を定める多変数のベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)の合成関数（composite function）と呼びます。
\begin{array}{c}
x+y \\
x-y\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}y \\
xy^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の値域は明らかに\(\boldsymbol{g}\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合であるため合成関数\(\boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が定義可能であり、これはそれぞれの\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}\right) \left( x,y\right) &=&\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{f}\left( x,y\right) \right) \quad \because
\text{合成関数の定義} \\
&=&\boldsymbol{g}\left( x+y,x-y\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left( x+y\right) ^{2}\left( x-y\right) \\
\left( x+y\right) \left( x-y\right) ^{2}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。
\begin{array}{c}
x-4y \\
xy \\
x+y\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x,y,z\right) =\left(
\begin{array}{c}
2xy \\
y-z\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の値域は明らかに\(\boldsymbol{g}\)の定義域\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合であるため合成関数\(\boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が定義可能であり、これはそれぞれの\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}\right) \left( x,y\right) &=&\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{f}\left( x,y\right) \right) \quad \because
\text{合成関数の定義} \\
&=&\boldsymbol{g}\left( x-4y,xy,x+y\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2\left( x-4y\right) \left( xy\right) \\
xy-\left( x+y\right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2x^{2}y-8xy^{2} \\
xy-x-y\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \theta _{1},\theta _{2}\right) \\
f_{2}\left( \theta _{1},\theta _{2}\right) \\
f_{3}\left( \theta _{1},\theta _{2}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を特定する関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)が与えられているものとします。また、空間上の位置\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、そこに働く外力\begin{equation*}F\left( x,y,z\right) =\left(
\begin{array}{c}
F_{1}\left( x,y,z\right) \\
F_{2}\left( x,y,z\right) \\
F_{3}\left( x,y,z\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を特定する関数\(F:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)が与えられているものとします。この場合には合成関数\(F\circ \boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)が定義可能であり、これは間接の角度が\(\left( \theta _{1},\theta _{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)である場合に、ロボットアームの先端に働く外力\begin{eqnarray*}\left( F\circ \boldsymbol{f}\right) \left( \theta _{1},\theta _{2}\right)
&=&F\left( \boldsymbol{f}\left( \theta _{1},\theta _{2}\right) \right) \\
&=&F\left( f_{1}\left( \theta _{1},\theta _{2}\right) ,f_{2}\left( \theta
_{1},\theta _{2}\right) ,f_{3}\left( \theta _{1},\theta _{2}\right) \right)
\\
&=&\left(
\begin{array}{c}
F_{1}\left( f_{1}\left( \theta _{1},\theta _{2}\right) ,f_{2}\left( \theta
_{1},\theta _{2}\right) ,f_{3}\left( \theta _{1},\theta _{2}\right) \right)
\\
F_{2}\left( f_{1}\left( \theta _{1},\theta _{2}\right) ,f_{2}\left( \theta
_{1},\theta _{2}\right) ,f_{3}\left( \theta _{1},\theta _{2}\right) \right)
\\
F_{3}\left( f_{1}\left( \theta _{1},\theta _{2}\right) ,f_{2}\left( \theta
_{1},\theta _{2}\right) ,f_{3}\left( \theta _{1},\theta _{2}\right) \right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を特定します。
合成関数の定義域
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{k}\)の値域が多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{k}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つ場合には合成関数\(\boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。
一方、上の条件が成り立たない場合には、すなわち、\(\left( 1\right) \)の否定である、\begin{equation}\exists \boldsymbol{x}_{0}\in X:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{0}\right) \not\in Y \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合には、点\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{0}\right) \)においてそもそも関数\(\boldsymbol{g}\)は定義されていないため\(\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{0}\right) \right) \)は定義不可能であり、したがって点\(\boldsymbol{x}_{0}\)において合成関数\(\boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}\)は定義不可能です。ゆえに、\(\left( 2\right) \)が成り立つ場合には合成関数\(\boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}\)の定義域として\(X\)を採用できません。
\(\left( 2\right) \)が成り立つ状況において合成関数\(\boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}\)を定義するためには\(\left( 2\right) \)を満たす点\(\boldsymbol{x}_{0}\)を定義域\(X\)から除外する必要があります。つまり、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}\)の定義として、\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y\)を満たすような点\(\boldsymbol{x}\in X\)からなる集合\begin{equation*}D\left( \boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in
X\ |\ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y\right\}
\end{equation*}を採用する必要があります。
\begin{array}{c}
x+y \\
x-y\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{x}+\sqrt{y} \\
\sqrt{x}-\sqrt{y}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{g}\)の定義域が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\wedge y\geq 0\right\}
\end{equation*}であることを踏まえると、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( \boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \left(
x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \boldsymbol{f}\left( x,y\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x+y \\
x-y\end{array}\right) \in X\right\} \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y\geq 0\wedge x-y\geq 0\right\}
\end{eqnarray*}となります。さらに、この合成関数\(\boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}:D\left( \boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}\right) \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in D\left( \boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}\right) \left( x,y\right) &=&\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{f}\left( x,y\right) \right) \quad \because
\text{合成関数の定義} \\
&=&\boldsymbol{g}\left( x+y,x-y\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} \\
\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。
演習問題
\begin{array}{c}
xy \\
x+2y \\
x-y\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{4}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x,y,z\right) =\left(
\begin{array}{c}
5x+y \\
3z \\
2xz \\
y-z\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(\boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{4}\)を求めてください。
\begin{array}{c}
xy \\
x+2y \\
x-y\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x,y,z\right) =\left(
\begin{array}{c}
\ln \left( x+y\right) \\
\ln \left( y+z\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(\boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}\)の定義域を明らかにするとともに、この合成関数を具体的に求めてください。
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