多変数のベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \)が\(b\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[ 0<d\left(
x,a\right) <\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right) ,b\right)
<\varepsilon \right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\delta \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left( f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただ、以上の定義にもとづいて多変数のベクトル値関数が収束することを証明するのは面倒です。また、証明を行う際に極限の候補が必要になるという問題もあります。ただ、これらの問題は解決可能です。順を追って説明します。
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束する場合、もとの多変数のベクトル値関数\(f\)もまた\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束することが保証されるとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left( \lim\limits_{x\rightarrow
a}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left(
x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。
a}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left(
x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
上の命題の逆もまた成立します。つまり、多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点に収束する場合、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left( \lim\limits_{x\rightarrow
a}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left(
x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
a}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left(
x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
以上の2つの命題により、多変数のベクトル値関数の収束という概念は多変数の実数値関数である成分関数の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。
a}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left(
x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
上の命題より、多変数ベクトル値関数の収束に関する議論を成分関数の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) \)のときに\(f\)が収束するか判定します。成分関数\begin{equation*}f_{1}\left( x,y,z\right) =x^{2}y+z
\end{equation*}に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) }f_{1}\left(
x,y,z\right) &=&\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right)
}\left( x^{2}y+z\right) \quad \because f_{1}\text{の定義}
\\
&=&0^{2}\cdot 0+0\quad \because \text{多変数の多項式関数の極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、成分関数\begin{equation*}
f_{2}\left( x,y,z\right) =\frac{yz}{1+x^{2}}
\end{equation*}に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) }f_{2}\left(
x,y,z\right) &=&\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) }\frac{yz}{1+x^{2}}\quad \because f_{2}\text{の定義} \\
&=&\frac{0\cdot 0}{1+0^{2}}\quad \because \text{多変数の有理関数の極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、もとの関数\(f\)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) }f\left(
x,y,z\right) &=&\left( \lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left(
0,0,0\right) }\left( x^{2}y+z\right) ,\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow
\left( 0,0,0\right) }f_{2}\left( x,y,z\right) \right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことが明らかになりました。
多変数のベクトル値関数が収束しないことの証明
先の命題は、多変数のベクトル値関数が収束しないことを示す際にも有用です。つまり、少なくとも1つの成分関数が有限な実数へ収束しない場合、もとの多変数ベクトル値関数もまた収束しません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)が収束するか判定します。成分関数\begin{equation*}f_{2}\left( x,y\right) =\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}に関しては、変数\(\left(x,y\right) \)が以下の集合\begin{equation*}\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=0\wedge y\not=0\right\}
\end{equation*}上の点をとりながら\(\left( 0,0\right) \)に限りなく近づくとき、\begin{equation*}\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \Leftrightarrow x=0\wedge
y\rightarrow 0
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f_{2}\left(
x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left(
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\right) \quad \because f_{2}\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left( \frac{0\cdot y}{0^{2}+y^{2}}\right) \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。一方、変数\(\left( x,y\right) \)が以下の集合\begin{equation*}\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=y\not=0\right\}
\end{equation*}上の点をとりながら\(\left( 0,0\right) \)に限りなく近づくとき、\begin{equation*}\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \Leftrightarrow x=y\wedge
y\rightarrow 0
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f_{2}\left(
x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left(
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\right) \quad \because f_{2}\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left( \frac{y^{2}}{y^{2}+y^{2}}\right) \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\frac{1}{2} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。2つの極限の値が異なるため、\(f_{2}\left( x,y\right) \)は\(\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) \)のときに有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。したがって、もとの関数\(f\)もまた\(\left(x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(\mathbb{R} ^{2}\)の点に収束しません。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,0\right) \)のときに\(f\)は収束するでしょうか。収束する場合には極限を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)は収束するでしょうか。収束する場合には極限を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域であり、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}>0\right\}
\end{equation*}です。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)は収束するでしょうか。収束する場合には極限を求めてください。
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