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MULTIVARIABLE VECTOR VALUED FUNCTION

成分関数を用いた多変数ベクトル値関数の収束判定

目次

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多変数ベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係

多変数ベクトル値関数が収束することをイプシロン・デルタ論法を用いて証明するのは面倒です。また、証明を行う際に極限の候補が必要になるという問題もあります。ただ、これらの問題は解決可能です。順を追って説明します。

多変数ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束する場合、もとの多変数ベクトル値関数\(f\)もまた収束することが保証されるとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left( \lim\limits_{x\rightarrow
a}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left(
x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。

命題(多変数ベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係)
多変数ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するならば、\(f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left( \lim\limits_{x\rightarrow
a}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left(
x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、多変数ベクトル値関数\(f\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が収束する場合、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left( \lim\limits_{x\rightarrow
a}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left(
x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。

命題(多変数ベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係)
多変数ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left( \lim\limits_{x\rightarrow
a}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left(
x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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以上の2つの命題により、多変数のベクトル値関数の収束という概念は多変数関数である成分関数の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(多変数ベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係)
多変数ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束することと、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することは必要十分であるとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left( \lim\limits_{x\rightarrow
a}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left(
x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

上の命題より、多変数ベクトル値関数の収束に関する議論を成分関数の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。

例(成分関数を用いたベクトル値関数の収束判定)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\left( x^{2}y+z,\frac{yz}{1+x^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) \)のときに\(f\)が収束するか判定します。成分関数\(f_{1}\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) }f_{1}\left(
x,y,z\right) &=&\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right)
}\left( x^{2}y+z\right) \\
&=&0^{2}\cdot 0+0\quad \because \text{多変数の多項式関数の極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、成分関数\(f_{2}\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) }f_{2}\left(
x,y,z\right) &=&\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) }\frac{yz}{1+x^{2}} \\
&=&\frac{0\cdot 0}{1+0^{2}}\quad \because \text{多変数の有理関数の極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、もとの関数\(f\)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) }f\left(
x,y,z\right) &=&\left( \lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left(
0,0,0\right) }\left( x^{2}y+z\right) ,\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow
\left( 0,0,0\right) }f_{2}\left( x,y,z\right) \right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことが明らかになりました。

 

多変数ベクトル値関数が収束しないことの証明

先の命題は、多変数のベクトル値関数が収束しないことを示す際にも有用です。つまり、少なくとも1つの成分関数が有限な実数へ収束しない場合、もとの多変数ベクトル値関数もまた収束しません。

例(多変数ベクトル値関数が収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( x^{2}y^{3},\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)が収束するか判定します。成分関数\(f_{2}\)に関しては、変数\(\left( x,y\right) \)が以下の集合\begin{equation*}\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=0\wedge y\not=0\right\}
\end{equation*}上の点をとりながら\(\left( 0,0\right) \)に限りなく近づくとき、\begin{eqnarray*}\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) &\Leftrightarrow &\left(
0,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \\
&\Leftrightarrow &y\rightarrow 0
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f_{2}\left(
x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left(
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\right) \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left( \frac{0}{0+y^{2}}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。一方、変数\(\left( x,y\right) \)が以下の集合\begin{equation*}\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=y\not=0\right\}
\end{equation*}上の点をとりながら\(\left( 0,0\right) \)に限りなく近づくとき、\begin{eqnarray*}\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) &\Leftrightarrow &\left(
y,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \\
&\Leftrightarrow &y\rightarrow 0
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f_{2}\left(
x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left(
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\right) \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left( \frac{y^{2}}{y^{2}+y^{2}}\right) \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\frac{1}{2} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。2つの極限の値が異なるため、\(f_{2}\left( x,y\right) \)は\(\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) \)のときに有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。したがって、もとの関数\(f\)もまた\(\left(x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(\mathbb{R} ^{2}\)の点に収束しません。

 

演習問題

問題(多変数ベクトル値関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

証明

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問題(多変数ベクトル値関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域であり、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}>0\right\}
\end{equation*}です。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)は収束するでしょうか。収束する場合には極限を求めてください。
証明

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次回は多変数のベクトル値関数が収束することと点列の極限の間に成立する関係について解説します。

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