距離空間における有界集合と非有界集合
距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
距離空間\(X\)の部分集合\(A\subset X\)の直径は、\begin{equation*}d\left( A\right) =\sup \left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\}
\end{equation*}と定義されます。\(A\)が非空集合である場合、その直径\(d\left( A\right) \)は非負の実数または正の無限大になる一方で、空集合の直径\(d\left( \phi\right) \)は負の無限大になります。
距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)の直径が有限な実数である場合には、すなわち、\begin{equation*}0\leq d\left( A\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)は\(X\)上において有界である（bounded in \(X\)）と言います。
空集合\(\phi \subset X\)については、これを有界であるものと定めます。
\end{equation*}と定めます。以下の集合\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}に注目すると、その直径は、\begin{eqnarray*}
d\left( \left( 0,1\right) \right) &=&\sup \left\{ \left\vert x-y\right\vert
\in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&\sup [0,1) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、\(\left( 0,1\right) \)は\(\mathbb{R} \)上において有界です。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。非空の集合\(A\subset X\)を任意に選びます。\(A\)が1点集合である場合、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、\(A\)の直径は、\begin{eqnarray*}d\left( A\right) &=&\sup \left\{ 0\right\} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。\(A\)が複数の要素を持つ場合、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であるため、\(A\)の直径は、\begin{eqnarray*}d\left( A\right) &=&\sup \left\{ 0,1\right\} \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。いずれの場合にも\(A\)の直径は有限な実数であるため、離散距離空間の任意の非空な部分集合は有界であることが明らかになりました。
距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)は有界であるとは限りません。非空な集合\(A\)の直径は非負の実数または正の無限大になるため、\(A\)が有界ではないことは、\begin{equation*}d\left( A\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことを意味します。このとき、\(A\)は\(X\)上において有界ではない（not bounded in \(X\)）とか非有界である（unbounded in \(X\)）などと言います。
\end{equation*}と定めます。以下の集合\begin{equation*}
\left( 0,+\infty \right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}に注目すると、その直径は、\begin{eqnarray*}
d\left( \left( 0,+\infty \right) \right) &=&\sup \left\{ \left\vert
x-y\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \left( 0,+\infty \right) \right\} \\
&=&\sup [0,+\infty ) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、\(\left( 0,+\infty \right) \)は\(\mathbb{R} \)上において非有界です。
有界な距離空間と非有界な距離空間
距離空間\(\left( X,d\right) \)は自身の部分集合であるため、\(X\)が\(X\)上において有界であるか検討できます。
距離空間\(X\)が\(X\)上において有界である場合には、すなわち、\begin{equation*}0\leq d\left( X\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)は有界である（bounded）と言います。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(X\)が1点集合である場合、\(X\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in X\right\} =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、\(X\)の直径は、\begin{eqnarray*}d\left( X\right) &=&\sup \left\{ 0\right\} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。\(X\)が複数の要素を持つ場合、\(X\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in X\right\} =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であるため、\(X\)の直径は、\begin{eqnarray*}d\left( X\right) &=&\sup \left\{ 0,1\right\} \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。いずれの場合にも\(X\)の直径は有限な実数であるため、任意の離散距離空間は有界であることが明らかになりました。
距離空間\(X\)が\(X\)上において有界ではない場合には、すなわち、\begin{equation*}d\left( X\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)は有界ではない（not bounded）とか非有界である（unbounded）などと言います。
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{R} \)の直径は、\begin{eqnarray*}d\left( \mathbb{R} \right) &=&\sup \left\{ \left\vert x-y\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\sup [0,+\infty ) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、\(\mathbb{R} \)は有界ではありません。
有界な距離空間としての有界な部分集合
距離空間\(\left( X,d\right) \)の非空な部分集合\(A\)が与えられれば部分距離空間\(\left( A,d\right) \)が得られますが、\(A\)が\(X\)上において有界であることと、\(\left(A,d\right) \)が有界な距離空間であることは必要十分条件です。
距離を用いた有界性の表現
距離空間\(\left( X,d\right) \)の非空な部分集合\(A\subset X\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall x,y\in A:d\left( x,y\right) <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、つまり、\(A\)の任意の2つの点の間の距離がある有限な実数以下であることは、\(A\)が\(X\)上で有界であるための必要十分条件です。
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(X\)上において有界であるための必要十分条件である。
\end{equation*}と定めます。以下の集合\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}に注目すると、この集合に属する2つの点の間の距離からなる集合は、\begin{eqnarray*}
\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \left( 0,1\right) \right\} &=&\left\{ \left\vert x-y\right\vert
\in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&[0,1)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\exists 1>0,\ \forall x,y\in \left( 0,1\right) :d\left( x,y\right) <1
\end{equation*}が成り立ちます。したがって先の命題より\(\left( 0,1\right) \)は\(\mathbb{R} \)上において有界です。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。非空の集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、\(d\)の定義より、\begin{equation*}\exists 2>0,\ \forall x,y\in A:d\left( x,y\right) <2
\end{equation*}が成り立ちます。したがって先の命題より\(A\)は\(X\)上において有界です。
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)が有界な距離空間であるための必要十分条件です。つまり、\(X\)の任意の2つの点の間の距離がある有限な実数以下であることは、\(X\)が有界な距離空間であるための必要十分条件です。
先の命題の否定より、距離空間\(\left( X,d\right) \)の非空な部分集合\(A\subset X\)に対して、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists x,y\in A:d\left( x,y\right) \geq
\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(X\)上において非有界であるための必要十分条件です。つまり、どのような距離\(\varepsilon \)を選んだ場合でも、\(A\)上の何らかの2つの点の間の距離が\(\varepsilon \)以上になってしまうことは、\(A\)が非有界集合であるための必要十分条件です。
\end{equation*}と定めます。以下の集合\begin{equation*}
\left( 0,+\infty \right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、以下の2つの点\begin{eqnarray*}1 &\in &\left( 0,+\infty \right) \\
2+\varepsilon &\in &\left( 0,+\infty \right)
\end{eqnarray*}に注目すれば、\begin{eqnarray*}
d\left( 1,2+\varepsilon \right) &=&\left\vert \left( 2+\varepsilon \right)
-1\right\vert \\
&=&1+\varepsilon \\
&\geq &\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より\(\left( 0,+\infty \right) \)は\(\mathbb{R} \)上で有界ではありません。
\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)が非有界な距離空間であるための必要十分条件です。つまり、どのような距離\(\varepsilon \)を選んだ場合でも、\(X\)上の何らかの2つの点の間の距離が\(\varepsilon \)以上になってしまうことは、\(X\)が非有界な距離空間であるための必要十分条件です。
距離を用いた有界性の別の表現
距離空間\(\left( X,d\right) \)の非空な部分集合\(A\subset X\)に対して、\begin{equation*}\exists y\in X,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall x\in A:d\left( x,y\right)
<\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、つまり、\(A\)の任意の点からの距離がある有限な実数よりも小さくなるような\(X\)の点が存在することは、\(A\)が\(X \)上で有界であるための必要十分条件です。
<\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(X\)上において有界であるための必要十分条件である。
\end{equation*}と定めます。以下の集合\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。点\(0\in \mathbb{R} \)に注目すると、\begin{equation*}\left\{ d\left( x,0\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} =\left( 0,1\right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\exists 0\in \mathbb{R} ,\ \exists 2>0,\ \forall x\in \left( 0,1\right) :d\left( x,0\right) <2
\end{equation*}が成り立ちます。したがって先の命題より\(\left( 0,1\right) \)は\(\mathbb{R} \)上において有界です。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。非空の集合\(A\subset X\)を任意に選びます。点\(y\in X\)を任意に選んで固定すると、\begin{equation*}\exists 2>0,\ \forall x\in A:d\left( x,y\right) <2
\end{equation*}が成り立ちます。したがって先の命題より\(A\)は\(X\)上において有界です。
<\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)が有界な距離空間であるための必要十分条件です。つまり、\(X\)の任意の点からの距離がある有限な実数よりも小さくなるような\(X\)の点が存在することは、\(X\)が有界な距離空間であるための必要十分条件です。
先の命題の否定より、距離空間\(\left( X,d\right) \)の非空な部分集合\(A\subset X\)に対して、\begin{equation*}\forall y\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists x\in A:d\left( x,y\right)
\geq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(X\)上において非有界であるための必要十分条件です。つまり、\(X\)上の点\(y\)と距離\(\varepsilon \)を任意に選んだとき、\(A\)上に存在する何らかの点と\(y\)の間の距離が\(\varepsilon \)以上になってしまうことは、\(A\)が\(X\)上において非有界であるための必要十分条件です。
\end{equation*}と定めます。以下の集合\begin{equation*}
\left( 0,+\infty \right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。\(y\in \mathbb{R} \)および\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\(y>0\)を満たす\(y+1+\varepsilon \in \left( 0,+\infty \right) \)をとれば、\begin{eqnarray*}d\left( y+1+\varepsilon ,y\right) &=&\left\vert \left( y+1+\varepsilon
\right) -y\right\vert \\
&=&1+\varepsilon \\
&\geq &\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より\(\left( 0,+\infty \right) \)は\(\mathbb{R} \)上において非有界です。
\geq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)が非有界な距離空間であるための必要十分条件です。つまり、\(X\)上の点\(y\)と距離\(\varepsilon \)を任意に選んだとき、\(X\)上に存在する何らかの点と\(y\)の間の距離が\(\varepsilon \)以上になってしまうことは、\(X\)が非有界な距離空間であるための必要十分条件です。
点の近傍を用いた有界性の表現
距離空間\(\left( X,d\right) \)上の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(a\)の近傍（neighborhood of \(a\)）や開近傍（open neighborhoodof \(a\)）などと呼びます。また、\(a\)を近傍の中心（center）と呼び、\(\varepsilon \)を近傍の半径（radius）と呼びます。距離関数\(d\)の対称性より、任意の\(a,x\in X\)について、\begin{equation*}d\left( x,a\right) =d\left( a,x\right)
\end{equation*}が成り立つため、点\(a\in X\)が中心であり半径が\(\varepsilon >0\)であるような近傍を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( a,x\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。
距離空間\(\left( X,d\right) \)の非空な部分集合\(A\subset X\)に対して、\begin{equation*}\exists x\in X,\ \exists \varepsilon >0:A\subset N_{\varepsilon }\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、つまり、\(A\)が\(X\)上の何らかの点を中心とする何らかの近傍によって覆われることは、\(A\)が\(X\)上で有界であるための必要十分条件です。
x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(X\)上において有界であるための必要十分条件である。ただし、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( x\right) =\left\{ y\in X\ |\ d\left( x,y\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}である。
\end{equation*}と定めます。以下の集合\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。点\(0\)を中心とする半径\(1\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{1}\left( 0\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ d\left( 0,y\right) <1\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert y\right\vert <1\right\} \\
&=&\left( -1,1\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\left( 0,1\right) \subset N_{1}\left( 0\right)
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より\(\left( 0,1\right) \)は\(\mathbb{R} \)上において有界です。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。非空の集合\(A\subset X\)を任意に選びます。点\(x\in X\)を任意に選んで固定します。\(\varepsilon >1\)である場合には、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( x\right) &=&\left\{ y\in X\ |\ d\left( x,y\right)
<\varepsilon \right\} \\
&=&X\quad \because \varepsilon >1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
A\subset N_{\varepsilon }\left( x\right)
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より\(A\)は\(X\)上において有界です。
x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)が有界な距離空間であるための必要十分条件です。つまり、\(X\)が\(X\)上の何らかの点を中心とする何らかの近傍によって覆われることは、\(X\)が有界な距離空間であるための必要十分条件です。
先の命題の否定より、距離空間\(\left( X,d\right) \)の非空な部分集合\(A\subset X\)に対して、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0:A\not\subset N_{\varepsilon }\left(
x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0:A\cap \left( N_{\varepsilon }\left(
x\right) \right) ^{c}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(X\)上において非有界であるための必要十分条件です。つまり、\(A\)が\(X\)上のいかなる点を中心とするいかなる近傍によって覆われないことは、\(A\)が\(X\)上で非有界であるための必要十分条件です。
\end{equation*}と定めます。以下の集合\begin{equation*}
\left( 0,+\infty \right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。\(x\in \mathbb{R} \)および\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。このとき、\begin{eqnarray*}\left( N_{\varepsilon }\left( x\right) \right) ^{c} &=&\left( x-\varepsilon
,x+\varepsilon \right) ^{c} \\
&=&\left( -\infty ,x-\varepsilon \right] \cup \left[ x+\varepsilon ,+\infty
\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\left( 0,+\infty \right) \cap \left( N_{\varepsilon }\left( x\right) \right)
^{c}\not=\phi
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より\(\left( 0,+\infty\right) \)は\(\mathbb{R} \)上において非有界です。
x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)が非有界な距離空間であるための必要十分条件です。つまり、\(X\)が\(X\)上のいかなる点を中心とするいかなる近傍によって覆われないことは、\(X\)が非有界な距離空間であるための必要十分条件です。
点の近傍を用いた有界性の別の表現
先の命題より、距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\)が有界であることは、\(X\)上の何らかの点を中心とする何らかの近傍によって\(A\)が覆われることと必要十分であることが明らかになりました。ただ、実際には、\(X\)上の点を自由に選んだ上で、その点を中心とする近傍だけを候補とすることができます。つまり以下の命題が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(X\)上において有界であるための必要十分条件である。ただし、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}である。
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)が有界な距離空間であるための必要十分条件です。つまり、\(X\)上の点を自由に選んだ上で、その点を中心とする何らかの近傍によって\(X\)を覆うことができるのであれば、\(X\)は有界な距離空間です。
有界集合と包含関係
有界集合の部分集合もまた有界集合です。
有界な距離空間の部分集合は有界です。
有界集合と共通部分
任意個の有界集合の共通部分もまた有界集合です。
\end{equation*}もまた\(X\)上において有界である。
先の命題において添字集合\(\Lambda \)は任意の集合です。つまり、\(\Lambda \)が有限集合である状況を想定すれば、有限個の有界集合の共通部分は有界であるという主張になり、\(\Lambda \)が可算ないし非可算な無限集合である状況を想定すれば、無限個の有界集合の共通部分は有界であるという主張になります。
有界集合と和集合
有限個の有界集合の和集合もまた有界集合です。
\end{equation*}もまた\(X\)上において有界である。
以上の命題を踏まえると、有限個の点の近傍によって覆われる集合が有界であることが導かれます。
,\varepsilon _{n}>0:A\subset \bigcup_{i=1}^{n}N_{\varepsilon _{i}}\left(
x_{i}\right)
\end{equation*}を満たす場合には、\(A\)は\(X\)上において有界である。
無限個の有界集合の和集合は有界であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定めます。それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{n}=\left[ -n,n\right] \end{equation*}と定義すれば、\(A_{n}\)は\(\mathbb{R} \)上の有界集合になります。その一方で、\begin{eqnarray*}\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n} &=&\bigcup_{n\in \mathbb{N} }\left[ -n,n\right] \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)上の有界集合ではありません。
集合の有界性は距離空間に依存する
2つの異なる距離空間\(\left( X_{1},d_{1}\right) ,\left( X_{2},d_{2}\right) \)に対して\(A\subset X_{1}\)かつ\(A\subset X_{2}\)を満たす非空集合\(A\)が存在する場合、\(X_{1}\)上において\(A\)は有界である一方で\(X_{2}\)上において\(A\)は非有界であるような状況は起こり得ます。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定める関数\(d_{1}:\mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば\(\left( \mathbb{R} _{++},d_{1}\right) \)は距離空間になります。また、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert \frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right\vert
\end{equation*}を定める関数\(d_{2}:\mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば\(\left( \mathbb{R} _{++},d_{2}\right) \)は距離空間になります。以下の集合\begin{equation*}\left\{ \frac{1}{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}は\(\left( \mathbb{R} _{++},d_{1}\right) \)上において有界である一方で\(\left( \mathbb{R} _{++},d_{2}\right) \)上において有界ではありません（演習問題）。
演習問題
\end{equation*}と表される場合には、\(A\)は\(X\)上において有界であることを示してください。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{2}\)上において有界であることを示してください。
\end{equation*}を定める関数\(d:\mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。以下の問いに答えてください。
- \(\left( \mathbb{R} _{++},d\right) \)が距離空間であることを示してください。
- 自然数集合\(\mathbb{N} \)は\(\mathbb{R} _{++}\)上において有界であることを示してください。
- 集合\(\left\{ \frac{1}{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \)は\(\mathbb{R} _{++}\)上において有界ではないことを示してください。
\end{equation*}を定める関数\(d_{1}:\mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば\(\left( \mathbb{R} _{++},d_{1}\right) \)は距離空間になります。また、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert \frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right\vert
\end{equation*}を定める関数\(d_{2}:\mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば\(\left( \mathbb{R} _{++},d_{2}\right) \)は距離空間になります。以下の集合\begin{equation*}\left\{ \frac{1}{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}は\(\left( \mathbb{R} _{++},d_{1}\right) \)上において有界である一方で\(\left( \mathbb{R} _{++},d_{2}\right) \)上において有界ではないことを示してください。
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