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距離空間

距離空間における有界集合

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距離空間における有界集合

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、その直径を、\begin{equation*}d\left( A\right) =\sup \left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\}
\end{equation*}と定義します。その上で、距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)が有限な実数として定まる場合、すなわち、\begin{equation*}d\left( A\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合、\(A\)は\(X\)において有界である(bounded)と言います。一方、直径\(d\left( A\right) \)が有限な実数として定まらない場合には、\begin{equation*}d\left( A\right) =+\infty
\end{equation*}と定め、この場合には\(A\)は\(X\)において有界ではない(unbounded)と言います。

空集合\(\phi \)の直径に関しては、便宜上、\begin{equation*}d\left( \phi \right) =-\infty
\end{equation*}と定めますが、空集合\(\phi \)は有界であるものと定めます。

例(有界な集合)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である以下の集合\begin{equation*}A=\left( 0,3\right)
\end{equation*}に注目すると、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{eqnarray*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} &=&\left\{ \left\vert x-y\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \left( 0,3\right) \right\} \\
&=&[0,3)
\end{eqnarray*}であるため、\(A\)の直径は、\begin{eqnarray*}d\left( A\right) &=&\sup [0,3) \\
&=&3
\end{eqnarray*}となります。これが有限な実数であるため\(A\)は有界です。
例(有界な集合)
離散距離空間\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、\(A\)が1点集合である場合、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、\(A\)の直径は、\begin{eqnarray*}d\left( A\right) &=&\sup \left\{ 0\right\} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。\(A\)が複数の要素を持つ場合、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{equation*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であるため、\(A\)の直径は、\begin{eqnarray*}d\left( A\right) &=&\sup \left\{ 0,1\right\} \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。結果をまとめると、\begin{equation*}
d\left( A\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ \left\vert A\right\vert =1\right) \\
1 & \left( if\ \left\vert A\right\vert >1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。ただし、\(\left\vert A\right\vert \)は集合\(A\)の要素の個数を表します。いずれにせよ、\(d\left(A\right) \)は有限な実数であるため\(A\)は有界です。離散距離空間の任意の非空な部分集合は有界であることが明らかになりました。
例(有界ではない集合)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である以下の集合\begin{equation*}A=[0,+\infty )
\end{equation*}に注目すると、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{eqnarray*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} &=&\left\{ \left\vert x-y\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \lbrack 0,+\infty )\right\} \\
&=&[0,+\infty )
\end{eqnarray*}となります。この集合の上限\begin{equation*}
\sup [0,+\infty )
\end{equation*}は存在しないため、\begin{equation*}
d\left( A\right) =+\infty
\end{equation*}です。したがって\(A\)は有界ではありません。

 

距離を用いた有界性の表現

距離空間の非空な部分集合が有界であることを距離関数を用いて以下のように表現することもできます。

命題(距離を用いた有界性の表現)
距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall x,y\in A:d\left( x,y\right) <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。
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上の命題より、距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\)が有界であることは、\(A\)の任意の2つの点の間の距離がある有限な実数以下であることと必要十分です。この条件を以下のように言い換えることもできます。

命題(距離を用いた有界性の表現)
距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)に対して、\begin{equation*}\exists y\in X,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall x\in A:d\left( x,y\right)
<\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。
証明

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上の命題より、距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\)が有界であることは、\(A\)の任意の点からの距離が有限な実数よりも小さくなるような\(X\)の点が存在することと必要十分です。

例(有界な集合)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である以下の集合\begin{equation*}A=\left( 0,3\right)
\end{equation*}に注目すると、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{eqnarray*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} &=&\left\{ \left\vert x-y\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \left( 0,3\right) \right\} \\
&=&[0,3)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\exists 3>0,\ \forall x,y\in A:d\left( x,y\right) <3
\end{equation*}を得ます。したがって\(A\)は有界です。
例(有界な集合)
離散距離空間\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\exists 2>0,\ \forall x,y\in A:d\left( x,y\right) <2
\end{equation*}が成り立つため、\(A\)は有界です。
例(有界ではない集合)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である以下の集合\begin{equation*}A=[0,+\infty )
\end{equation*}に注目すると、\(A\)の2つの点の間の距離がとり得る値の範囲は、\begin{eqnarray*}\left\{ d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in A\right\} &=&\left\{ \left\vert x-y\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ x,y\in \lbrack 0,+\infty )\right\} \\
&=&[0,+\infty )
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall x,y\in A:d\left( x,y\right) <\varepsilon
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(A\)は有界ではありません。

 

点の近傍を用いた有界性の表現

距離空間\(X\)の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)の近傍(neighborhood of \(a\))や開近傍(open neighborhoodof \(a\))などと呼びます。また、\(a\)を近傍の中心(center)と呼び、\(\varepsilon \)を近傍の半径(radius)と呼びます。距離\(d\)の対称性より\(d\left(x,a\right) =d\left( a,x\right) \)が点\(a\)の近傍を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( a,x\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。

距離空間の非空な部分集合が有界であることを点の近傍を用いて以下のように表現することもできます。

命題(点の近傍を用いた有界性の表現)
距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)に対して、\begin{equation*}\exists x\in X,\ \exists \varepsilon >0:A\subset N_{\varepsilon }\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。ただし、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( x\right) =\left\{ y\in X\ |\ d\left( x,y\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}である。

証明

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上の命題より、距離空間\(X\)の非空な部分集合が有界であることは、\(X\)上の何らかの点を中心とする何らかの近傍によって\(A\)が覆われることと必要十分であることが明らかになりました。

例(有界な集合)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である以下の集合\begin{equation*}A=\left( 0,3\right)
\end{equation*}に注目します。以下の近傍\begin{eqnarray*}
N_{3}\left( 1\right) &=&\left( 1-3,1+3\right) \\
&=&\left( -2,4\right)
\end{eqnarray*}に注目すると、\begin{equation*}
A\subset N_{3}\left( 1\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(A\)は有界です。
例(有界な集合)
離散距離空間\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)を任意に選びます。点\(a\in A\)を適当に選び、以下の近傍\begin{equation*}N_{2}\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( a,x\right) <2\right\}
\end{equation*}を構成します。このとき、任意の\(y\in A\)について、\(d\)の定義より\(d\left(a,y\right) <2\)すなわち\(y\in N_{2}\left( a\right) \)が成り立つため、\begin{equation*}A\subset N_{2}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。このような近傍\(N_{2}\left( a\right) \)が存在することは\(A\)が有界であることを意味します。
例(有界ではない集合)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である以下の集合\begin{equation*}A=[0,+\infty )
\end{equation*}に注目します。任意の近傍\begin{equation*}
N_{\varepsilon }\left( x\right) =\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right)
\end{equation*}について、\begin{equation*}
A\subset N_{\varepsilon }\left( x\right)
\end{equation*}は成り立たないため、\(A\)は有界ではありません。

 

演習問題

問題(有界な集合)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\begin{equation*}A=\left( 0,+\infty \right)
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上において有界でしょうか。議論してください。
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問題(有界な集合)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}A=[0,1)\times \lbrack 0,1)
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{2}\)上において有界でしょうか。議論してください。
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