確認テスト I（距離空間の定義）

以下の問いに答えてください。

1. 非空の集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)が距離空間であることの定義を述べてください。（5点）
2. 非空の集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)について、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d\left( x,y\right)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
   &&\left( b\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,y\right) \leq d\left(
   z,x\right) +d\left( z,y\right)
   \end{eqnarray*}が成り立つことは、\(\left( X,d\right) \)が距離空間であるための必要十分条件であることを示してください。（15点）

距離空間\(\left( X,d\right) \)および写像\(f:X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。その上で、それぞれの\(\left( x,y\right)\in X\times X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =d\left( x,y\right) +\left\vert f\left( x\right) -f\left(
y\right) \right\vert
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
g:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(\left( X,g\right) \)が距離空間であることを証明してください。

集合\(X\)と距離空間\(\left(Y,d\right) \)に加えて単射\(f:X\rightarrow Y\)が与えられているものとします。その上で、それぞれの\(\left( x,y\right)\in X\times X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =d\left( f\left( x\right) ,f\left( y\right) \right)
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
g:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(\left( X,g\right) \)が距離空間であることを示してください。

2つの集合\(A,B\)の対称差は、\begin{equation*}A\triangle B=\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right)
\end{equation*}と定義されます。有限集合\(X\)のベキ集合を、\begin{equation*}2^{X}=\left\{ A\ |\ A\subset X\right\}
\end{equation*}で表記します。その上で、それぞれの\(\left(A,B\right) \in 2^{X}\times 2^{X}\)に対して、\begin{equation*}d\left( A,B\right) =\left\vert A\triangle B\right\vert
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
d:2^{X}\times 2^{X}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。ただし、\(\left\vert A\triangle B\right\vert \)は対称差\(A\triangle B\)の濃度です。\(\left( 2^{X},d\right) \)が距離空間であることを証明してください。

非空の集合\(X\)に加えて2つの距離関数\begin{eqnarray*}d_{1} &:&X\times X\rightarrow \mathbb{R} \\
d_{2} &:&X\times X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。その上で、それぞれの\(\left( x,y\right)\in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\min \left\{ d_{1}\left( x,y\right) ,d_{2}\left(
x,y\right) \right\}
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。以下の問いに答えてください。

1. \(d\)は距離関数であるとは限らないことを示す反例を提示してください。（15点）
2. \(d_{1}\)が離散距離である場合には、\(d_{2}\)がいかなる距離関数であっても、\(d\)は距離関数になることを示してください。（15点）