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スカラー場の商の極限

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収束するスカラー場の商の極限

定義域を共有するスカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める新たなスカラー場\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。スカラー場\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺にある任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するならば、スカラー場\(\frac{f}{g}\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(収束するスカラー場の商の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからスカラー場\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)と\(g\)がともに有限な実数へ収束するならば、\(\frac{f}{g}\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) }
\end{equation*}を満たす。
証明
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つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束するスカラー場\(f,g\)の商の形をしているスカラー場\(f\cdot g\)が与えられたとき、\(f\cdot g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限と\(g\)の極限の商をとれば\(\frac{f}{g}\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかのスカラー場\(f,g\)の商の形をしているスカラー場\(\frac{f}{g}\)の収束可能性を検討する際には、スカラー場の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、それらが収束することを確認すればよいということになります。

例(収束するスカラー場の商の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\frac{2x^{2}y}{3z^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} ^{3}\)は開集合であるため、点\(\left( a,b,c\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left( a,b,c\right) \)の周辺の任意の点において定義されています。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( a,b,c\right) }f\left(
x,y,z\right) &=&\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( a,b,c\right)
}\left( \frac{2x^{2}y}{3z^{2}+1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( a,b,c\right)
}\left( 2x^{2}y\right) }{\lim\limits_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left(
a,b,c\right) }\left( 3z^{2}+1\right) }\quad \because \text{収束するスカラー場の商} \\
&=&\frac{2\lim\limits_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( a,b,c\right)
}\left( x^{2}y\right) }{3\lim\limits_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left(
a,b,c\right) }z^{2}+\lim\limits_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left(
a,b,c\right) }1}\quad \because \text{収束するスカラー場の定数倍・和} \\
&=&\frac{2\left( \lim\limits_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left(
a,b,c\right) }x\right) ^{2}\left( \lim\limits_{\left( x,y,z\right)
\rightarrow \left( a,b,c\right) }y\right) }{3\left( \lim\limits_{\left(
x,y,z\right) \rightarrow \left( a,b,c\right) }z\right)
^{2}+\lim\limits_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( a,b,c\right) }1}\quad \because \text{収束するスカラー場の積} \\
&=&\frac{2a^{2}b}{3c^{2}+1}\quad \because \text{恒等関数・定数関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

以下はもう少し複雑な場合です。

例(収束するスカラー場の商の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \\
0 & if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)が\(a\not=0\)かつ\(b\not=0\)を満たす場合、\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)の内点であるため、スカラー場\(f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\)は\(\left(a,b\right) \)の周辺の任意の点において定義されています。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}\left( xy\right) }{\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
a,b\right) }\left( x^{2}+y^{2}\right) }\quad \because \text{収束するスカラー場の商} \\
&=&\frac{\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}\left( xy\right) }{\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
a,b\right) }x^{2}+\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
a,b\right) }y^{2}}\quad \because \text{収束するスカラー場の和} \\
&=&\frac{\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}x\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y}{\left(
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }x\right)
^{2}+\left( \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}y\right) ^{2}}\quad \because \text{収束するスカラー場の積} \\
&=&\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。一方、\(a=0\)と\(b=0\)の少なくとも一方を満たす点\(\left(a,b\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)や\(\left\{ \left(0,0\right) \right\} \)の内点ではないため、そこでの極限を求める際に先の命題を利用できず、関数の極限の定義にさかのぼって考える必要があります。詳細は演習問題にしますが、そのような\(\left( a,b\right) \)についても、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right) =\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。

 

応用例

先の命題と連続関数の性質を利用すると、より広範なスカラー場の極限を容易に求められます。

例(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation}f\left( x,y\right) =\sin \left( \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するでしょうか。スカラー場\(\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}\)に関しては、先の命題などから、\begin{equation}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}\right) =\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}+1}
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。ここで重要なことは正弦関数\(\sin \)が定義域\(\mathbb{R} \)で連続であるという事実です。したがって、正弦関数\(\sin \)は点\(\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}+1}\)においても連続であるため、連続性の定義より、\begin{equation}\lim_{\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}\rightarrow \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}+1}}\sin \left( \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}\right) =\sin
\left( \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}+1}\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}\rightarrow \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}+1}}\sin \left( \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}\right) \quad
\because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\sin \left( \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}+1}\right) \quad \because
\left( 3\right) \\
&=&f\left( a,b\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=f\left( a,b\right)
\end{equation*}という関係を得ます。つまり、問題としているスカラー場\(f\left(x,y\right) \)の変数\(\left( x,y\right) \)に\(\left(a,b\right) \)を代入して値\(f\left(a,b\right) \)を求めれば、それが\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)のときの\(f\)の極限と一致することが保証されます。
例(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x^{2}+1}}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するでしょうか。スカラー場\(\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x^{2}+1}\)に関しては、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x^{2}+1}\right) =\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{a^{2}+1}
\end{equation*}が成り立つとともに、平方根関数は点\(\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{a^{2}+1}\)において連続であるため、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&f\left( a,b\right) \\
&=&\sqrt{\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{a^{2}+1}}
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(収束するスカラー場の積の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-x^{3}+\frac{x^{2}y}{2}-\frac{y}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(\left(a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=-a^{3}+\frac{a^{2}b}{2}-\frac{b}{a^{2}}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(収束するスカラー場の積の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \\
0 & if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(\left(a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right) =\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(収束するスカラー場の定数倍の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( \frac{x^{2}+y^{2}+1}{y^{2}+1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) \)のときの\(f\)の極限を求めてください。
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次回は多項式関数の極限について解説します。

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