点列を用いたベクトル値関数の無限大における収束判定

ベクトル値関数の無限大における極限と点列の極限の関係

定義域が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)の要素であるそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。

加えて、この関数\(\boldsymbol{f}\)は限りなく大きい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。このようなベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合にベクトルへ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left[ x>M\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left( x>M\Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left[
f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、以上の定義にもとづいてベクトル値関数が収束することを証明するのは面倒です。ベクトル値関数の無限大における極限は点列の極限を用いて表現できます。順番に解説します。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=+\infty
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(X\)の点を項とするとともに、正の無限大へ発散する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。

さて、この数列\(\left\{x_{v}\right\} \)の任意の項\(x_{v}\)は\(X\)の要素であるため、それに対してベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)はベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \)を定めます。\(\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点であるため、これを項とする\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\}
\end{equation*}を構成できます。このとき、この点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)がベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ収束することが保証されます。

先の命題の逆もまた成立します。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=+\infty
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right)\right\} \)を構成します。このように定義される任意の点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left(x_{v}\right) \right\} \)がベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ収束する場合には、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)について、
\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

以上の2つの命題により、ベクトル値関数の無限大における収束という概念は点列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

この命題が要求していることは、\(X\)の点を項とするとともに正の無限大へ発散する「任意の」数列\(\left\{x_{v}\right\} \)に対して、そこから構成される点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)がベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ収束しなければならないということです。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{x_{v}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合にベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ収束することを示したことになりません。

負の無限大において収束するベクトル値関数についても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

ベクトル値関数が無限大において収束することの判定

先の命題より、ベクトル値関数の無限大における収束に関する議論を点列の収束に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。加えて、点列の収束に関する議論は座標数列の収束に関する議論に置き換えられるため、結局、ベクトル値関数の無限大における収束に関する議論は数列の収束に関する議論へ置き換え可能です。

ベクトル値関数が無限大において収束しないことの判定

先の命題はベクトル値関数が無限大において収束するための必要十分条件を与えているため、ベクトル値関数が収束しないことを判定する上でも有用です。

つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられた状況において、\(X\)上の点を項とするとともに正の無限大へ収束する何らかの数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を選んだとき、点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束しないのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束しません。

また、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられた状況において、\(X\)上の点を項とするとともに負の無限大へ収束する何らかの数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を選んだとき、点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束しないのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束しません。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられた状況において、\(X\)上の点を項とするとともに正の無限大へ収束する2つの数列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)を選んだとき、点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} ,\left\{ \boldsymbol{f}\left( y_{v}\right) \right\} \)が異なるベクトルへ収束するのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束しません。

また、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられた状況において、\(X\)上の点を項とするとともに負の無限大へ収束する2つの数列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)を選んだとき、点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} ,\left\{ \boldsymbol{f}\left( y_{v}\right) \right\} \)が異なるベクトルへ収束するのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束しません。

演習問題