点列を用いたベクトル値関数の収束判定

ベクトル値関数の極限と点列の極限の関係

始集合が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)の要素であるそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \) \(\left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。

その上で、関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。集積点の定義より、このとき、\begin{equation*}\forall \delta >0:\left( a-\delta ,a+\delta \right) \cap \left( X\backslash
\left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。この場合、関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

このようなベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限なベクトルへ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim\limits_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left[ f_{i}\left( x\right)
-b_{i}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、以上の定義にもとづいてベクトル値関数が有限なベクトルへ収束することを証明するのは面倒です。ベクトル値関数の極限は点列の極限を用いて表現できます。順番に解説します。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限なベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(a\)以外の\(X\)の点を項とするとともに、\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。点\(a\)は集合\(X\)の集積点であるため、このような数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は必ず存在することに注意してください。

さて、この数列\(\left\{x_{v}\right\} \)の任意の項\(x_{v}\)はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の要素であるため、それに対してベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)はベクトル\(\boldsymbol{f}\left(x_{v}\right) \)を定めます。\(\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点であるため、これを項とする\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\}
\end{equation*}を構成できます。このとき、この点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)がベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ収束することが保証されます。

上の命題の逆もまた成立します。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限なベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right)\right\} \)を構成します。このように定義される任意の点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left(x_{v}\right) \right\} \)がベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ収束する場合には、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

以上の2つの命題により、ベクトル値関数の収束概念は点列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

この命題が要求していることは、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」数列\(\left\{x_{v}\right\} \)に対して、そこから構成される点列\(\{\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \}\)がベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ収束しなければならないということです。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合にベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ収束することを示したことにはなりません。

上の命題より、ベクトル値関数の収束可能性に関する議論を点列の収束可能性に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。さらに、点列の収束可能性に関する議論は、その座標数列の収束可能性に関する議論に置き換えることができるため、結局、ベクトル値関数の収束可能性に関する議論を数列の収束可能性に関する議論に置き換えることができます。

ベクトル値関数が収束しないことの証明

先の命題は、ベクトル値関数が収束しないことを示す際にも有用です。ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する何らかの数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right)\right\} \)が有限なベクトルへ収束しないことを示せば、\(\boldsymbol{f}\)は\(x\rightarrow a\)の場合に有限なベクトルへ収束しないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が存在することは、\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限なベクトルへ収束することと矛盾するからです。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する何らかの2つの数列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} ,\left\{ \boldsymbol{f}\left( y_{v}\right) \right\} \)が異なるベクトルへ収束することを示せば、\(\boldsymbol{f}\)は\(x\rightarrow a\)の場合に有限なベクトルへ収束しないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような数列\(\left\{x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)が存在することは、\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限なベクトルへ収束することと矛盾するからです。

演習問題