WIIS

1変数のベクトル値関数

ベクトル値関数のスカラー倍の連続性

目次

関連知識

Mailで保存
Xで共有

連続なベクトル値関数のスカラー倍の連続性

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( cf\right) \left( x\right) &=&cf\left( x\right) \\
&=&c\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right) \right) \\
&=&\left( cf_{1},\cdots ,cf_{m}\left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}を定める新たなベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。

関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において連続であるならば、関数\(cf\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。

命題(点において連続なベクトル値関数のスカラー倍の連続性)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において連続であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において連続である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

つまり、定義域上の点\(a\)において連続なベクトル値関数\(f\)のスカラー倍の形をしているベクトル値関数\(cf\)が与えられたとき、\(cf\)もまた点\(a\)において連続であることを上の命題は保証しています。したがって、何らかのベクトル値関数\(f\)のスカラー倍の形をしている関数\(cf\)の連続性を検討する際には、ベクトル値関数の連続性の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が連続であることを確認すればよいということになります。

例(連続なベクトル値関数のスカラー倍の連続性)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f\)が連続関数であるものとします。つまり、\(f\)は任意の点\(a\in X\)において連続であるということです。すると先の命題より\(cf\)もまた点\(a\)において連続であるため、\(cf\)もまた連続関数です。
例(連続なベクトル値関数のスカラー倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は連続であるものとします。関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(g\)は\(f\)のスカラー倍(\(-1\)倍)として定義されているため、先の命題より\(g\)もまた連続です。
例(連続なベクトル値関数のスカラー倍の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2\left( x^{4},\ln \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。1変数関数である\(x^{4}\)および\(\ln \left( x\right) \)は点\(a\)において連続であるため、ベクトル値関数\(\left( x^{4},\ln \left( x\right) \right) \)は連続です。したがって先の命題より、そのスカラー倍(\(2\)倍)として定義される\(f\)もまた連続です。

 

片側連続なベクトル値関数のスカラー倍の片側連続性

片側連続性についても同様の命題が成り立ちます。

命題(点において片側連続なベクトル値関数のスカラー倍の連続性)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されており、なおかつ点\(a\)において右側連続であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において右側連続である。また、\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されており、なおかつ点\(a\)において左側連続であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において左側連続である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(片側連続なベクトル値関数のスカラー倍の片側連続性)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f\)が右側連続関数であるものとします。つまり、\(f\)は任意の点\(a\in X\)において右側連続であるということです。すると先の命題より\(cf\)もまた点\(a\)において右側連続であるため、\(cf\)もまた右側連続関数です。同様に、\(f\)が左側連続関数であるならば\(cf\)もまた左側連続関数です。
例(片側連続なベクトル値関数のスカラー倍の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{2}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left(
x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。余弦関数\(\cos \left( x\right) \)および正弦関数\(\sin \left(x\right) \)はともに\(f\)の定義域\(\left[ 0,1\right] \)上で連続です。つまり、端点\(0\)において右側連続であり、もう一方の端点\(1\)において左側連続であり、定義域の内部\(\left( 0,1\right) \)の任意の点において連続です。したがって、ベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)は\(\left[0,1\right] \)上で連続であるため、そのスカラー倍(\(-\frac{1}{2}\))である関数\(f\)もまた\(\left[ 0,1\right] \)上で連続です。

 

演習問題

問題(連続なベクトル値関数のスカラー商の連続性)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{f}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。関数\(f\)が\(X\)上で連続である場合には関数\(\frac{f}{c}\)もまた\(X\)上で連続であることを示してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

ベクトル値関数