正の無限大におけるベクトル値関数の極限
定義域が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)の要素であるそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。加えて、この関数\(f\)は限りなく大きい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。
関数\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくした場合に\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の値が\(\mathbb{R} ^{m}\)上のあるベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ限りなく近づくことが保証されているのであれば、\(x\)が限りなく大きくなるときに\(\boldsymbol{f}\)は\(\boldsymbol{b}\)に収束する(converge)と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow +\infty \text{のときに}\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow \boldsymbol{b}
\end{equation*}などで表記します。その上で、このようなベクトル\(\boldsymbol{b}\)を\(x\rightarrow +\infty \)のときの\(\boldsymbol{f}\)の極限(limit)と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。
まず、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が\(\boldsymbol{b}\)に限りなく近いと言うためには、\(\boldsymbol{f}\left(x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入したとき、\begin{equation*}d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left[ f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right] ^{2}}<\varepsilon
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。
次に問題になるのは「\(x\)が大きくなるにつれて」という表現の定式化です。\(x\)が大きくなるにつれて\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとは、ある値より大きい任意の\(x\)について、\(\boldsymbol{f}\left(x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとして言い換え可能です。つまり、ある実数\(M\in \mathbb{R} \)が存在して、\(x>M\)を満たす任意の\(x\)について\(d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left[ x>M\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}となります。上の命題が成り立つならば、「\(x\)が大きくなるにつれて\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなる」と言えます。
最後に問題になるのは「限りなく近づく」という表現の定式化です。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が\(\boldsymbol{b}\)に収束することとは、\(x\)が大きくなるにつれて\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が\(\boldsymbol{b}\)に限りなく近づくことを意味しますが、この場合、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(x\)が大きくなるにつれて\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left[ x>M\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left( x>M\Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left[
f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。以上の命題によって、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。
結論をまとめましょう。ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が限りなく大きい任意の点において定義されている場合、ベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つこととは、\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくした場合に\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の値が\(\boldsymbol{b}\)へ限りなく近づくことを意味しますが、そのことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left[ x>M\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}になるということです。
ちなみに、先の命題は以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M>0,\ \forall x\in X:\left[ x>M\Rightarrow
d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(x\)が満たすべき条件を規定する実数\(M\)として正の実数だけを議論の対象としても一般性は失われません。
\end{equation*}が成り立つものとする。ベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)について、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left[ x>M\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M>0,\ \forall x\in X:\left[ x>M\Rightarrow
d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことと必要十分である。
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M>0,\ \forall x\in X:\left( x>M\Rightarrow
\sqrt{\left[ f_{1}\left( x\right) -b_{1}\right] ^{2}+\left[ f_{2}\left(
x\right) -b_{2}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,2\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\frac{1}{x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M>0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left( x>M\Rightarrow \sqrt{\left( \frac{1}{x}-0\right) ^{2}+\left( \frac{1}{x}-0\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M>0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left( x>M\Rightarrow \sqrt{\frac{2}{x^{2}}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}M=\frac{\sqrt{2}}{\varepsilon }>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を選べば、\begin{equation}
x>M \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{\frac{2}{x^{2}}} &<&\sqrt{\frac{2}{M^{2}}}\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\sqrt{\frac{2}{\frac{2}{\varepsilon ^{2}}}}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\sqrt{\varepsilon ^{2}} \\
&=&\varepsilon \quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M>0,\ \forall x\in X:\left( x>M\Rightarrow
\sqrt{\left[ f\left( x\right) -b\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M>0,\ \forall x\in X:\left( x>M\Rightarrow
\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、これは正の無限大における1変数関数の極限の定義に他なりません。つまり、ベクトル値関数の正の無限大における極限は1変数関数の正の無限大における極限の一般化です。
負の無限大におけるベクトル値関数の極限
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が限りなく大きい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。関数\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく小さくした場合に\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の値が\(\mathbb{R} ^{m}\)上のあるベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ限りなく近づくことが保証されているのであれば、\(x\)が限りなく小さくなるときに\(\boldsymbol{f}\)は\(\boldsymbol{b}\)に収束する(converge)と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow -\infty \text{のときに}\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow \boldsymbol{b}
\end{equation*}などで表記します。その上で、このようなベクトル\(\boldsymbol{b}\)を\(x\rightarrow -\infty \)のときの\(\boldsymbol{f}\)の極限(limit)と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。
まず、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が\(\boldsymbol{b}\)に限りなく近いと言うためには、\(\boldsymbol{f}\left(x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入したとき、\begin{equation*}d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left[ f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right] ^{2}}<\varepsilon
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。
次に問題になるのは「\(x\)が小さくなるにつれて」という表現の定式化です。\(x\)が大きくなるにつれて\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとは、ある値より小さい任意の\(x\)について、\(\boldsymbol{f}\left(x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとして言い換え可能です。つまり、ある実数\(L\in \mathbb{R} \)が存在して、\(x<L\)を満たす任意の\(x\)について\(d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left[ x<L\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}となります。上の命題が成り立つならば、「\(x\)が小さくなるにつれて\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなる」と言えます。
最後に問題になるのは「限りなく近づく」という表現の定式化です。\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が\(\boldsymbol{b}\)に収束することとは、\(x\)が小さくなるにつれて\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が\(\boldsymbol{b}\)に限りなく近づくことを意味しますが、この場合、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(x\)が小さくなるにつれて\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left[ x<L\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left( x<L\Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left[
f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。以上の命題によって、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。
結論をまとめましょう。ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が限りなく小さい任意の点において定義されている場合、ベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つこととは、\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく小さくした場合に\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の値が\(\boldsymbol{b}\)へ限りなく近づくことを意味しますが、そのことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left[ x<L\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}になるということです。
ちなみに、先の命題は以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists L<0,\ \forall x\in X:\left[ x<L\Rightarrow
d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(x\)が満たすべき条件を規定する実数\(L\)として負の実数だけを議論の対象としても一般性は失われません。
\end{equation*}が成り立つものとする。ベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)について、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left[ x<L\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists L<0,\ \forall x\in X:\left[ x<L\Rightarrow
d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことと必要十分である。
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists L<0,\ \forall x\in X:\left( x<L\Rightarrow
\sqrt{\left[ f_{1}\left( x\right) -b_{1}\right] ^{2}+\left[ f_{2}\left(
x\right) -b_{2}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,2\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\frac{1}{x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists L<0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left( x<L\Rightarrow \sqrt{\left( \frac{1}{x}-0\right) ^{2}+\left( \frac{1}{x}-0\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists L<0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left( x<L\Rightarrow \sqrt{\frac{2}{x^{2}}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}L=-\frac{\sqrt{2}}{\varepsilon }<0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を選べば、\begin{equation}
x<L \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{\frac{2}{x^{2}}} &<&\sqrt{\frac{2}{L^{2}}}\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\sqrt{\frac{2}{\frac{2}{\varepsilon ^{2}}}}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\sqrt{\varepsilon ^{2}} \\
&=&\varepsilon \quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists L<0,\ \forall x\in X:\left( x<L\Rightarrow
\sqrt{\left[ f\left( x\right) -b\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists L<0,\ \forall x\in X:\left( x<L\Rightarrow
\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、これは負の無限大における1変数関数の極限の定義に他なりません。つまり、ベクトル値関数の負の無限大における極限は1変数関数の負の無限大における極限の一般化です。
無限大におけるベクトル値関数の極限の一意性
ベクトル値関数が正の無限大において収束する場合、その極限は1つのベクトルとして定まります。同様に、ベクトル値関数が負の無限大に収束する場合、その極限は1つのベクトルとして定まります。
演習問題
\begin{array}{c}
1-\frac{1}{x} \\
2-\frac{1}{x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
\begin{array}{c}
\frac{1}{x^{2}} \\
\frac{1}{x^{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
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