WIIS

教材一覧
教材一覧
教材検索
VECTOR VALUED FUNCTION

ベクトル値関数のスカラー倍の極限

目次

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

点において収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) \left( x\right) =cf\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、関数\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(点において収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束するベクトル値関数\(f\)のスカラー倍の形をしているベクトル値関数\(cf\)が与えられたとき、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限をスカラー\(c\)倍すれば\(cf\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f\)のスカラー倍の形をしている関数\(cf\)の収束可能性を検討する際には、ベクトル値関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が収束することを確認すればよいということになります。

例(点において収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束するものとします。つまり、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b \quad \cdots (1)
\end{equation}です。関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(g\)は\(f\)の定数倍(\(-1\)倍)として定義されているため、先の命題より\(g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left[
-f\left( x\right) \right] \quad \because g\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \quad \because \text{収束する関数のスカラー倍} \\
&=&-b\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

点において片側収束するベクトル値関数のスカラー倍の片側極限

片側極限についても同様の命題が成り立ちます。

命題(点において片側収束するベクトル値関数のスカラー倍の片側極限)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束するならば、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a+\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束し、それらの右側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束するならば、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束し、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a-}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(点において片側収束するベクトル値関数のスカラー倍の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{2}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left(
x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)のスカラー倍(\(-\frac{1}{2}\)倍)として定義されています。定義域の端点\(0\)において、ベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left(x\right) \right) \)は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right) &=&\left( \lim_{x\rightarrow 0+}\cos \left( x\right)
,\lim_{x\rightarrow 0+}\sin \left( x\right) \right) \\
&=&\left( \cos \left( 0\right) ,\sin \left( 0\right) \right) \quad \because
\text{正弦関数と余弦関数の右側極限} \\
&=&\left( 1,0\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right) =\left( 1,0\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たします。以上より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left[ -\frac{1}{2}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \cos \left( x\right) ,\sin
\left( x\right) \right) \quad \because \text{右側収束する関数のスカラー倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 1,0\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left( -\frac{1}{2},0\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。定義域のもう一方の端点\(\pi \)について、ベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin\left( x\right) \right) \)は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \pi -}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right) &=&\left( \lim_{x\rightarrow \pi -}\cos \left( x\right)
,\lim_{x\rightarrow \pi -}\sin \left( x\right) \right) \\
&=&\left( \cos \left( \pi \right) ,\sin \left( \pi \right) \right) \quad
\because \text{正弦関数と余弦関数の左側極限} \\
&=&\left( -1,0\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow \pi -}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right) =\left( -1,0\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たします。以上より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \pi -}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \pi -}\left[
-\frac{1}{2}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow \pi -}\left( \cos \left( x\right) ,\sin
\left( x\right) \right) \quad \because \text{左側収束する関数のスカラー倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( -1,0\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left( \frac{1}{2},0\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

無限大において収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限

無限大において収束するベクトル値関数についても同様の命題が成り立ちます。

命題(無限大において収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow+\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(cf\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( cf\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(cf\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( cf\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(無限大において収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数\(\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \)のスカラー倍(\(-\frac{1}{2}\)倍)として定義されています。正の無限大において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right)
&=&\left( \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
,\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \right) \\
&=&\left( \frac{1}{+\infty },\frac{1}{+\infty }\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right)
=\left( 0,0\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。以上より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }
\left[ -\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \right] \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because \text{収束する関数のスカラー倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 0,0\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、負の無限大において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right)
&=&\left( \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
,\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \right) \\
&=&\left( \frac{1}{-\infty },\frac{1}{+\infty }\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right)
=\left( 0,0\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。以上より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty }
\left[ -\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \right] \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because \text{収束する関数のスカラー倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 0,0\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

演習問題

問題(点において収束するベクトル値関数のスカラー商の極限)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{f}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(点において片側収束するベクトル値関数のスカラー商の片側極限)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{f}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束するならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow a+\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束し、両者の右側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。また、関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束するならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow a-\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束し、両者の左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(無限大において収束するベクトル値関数のスカラー商の極限)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{f}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。関数\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。関数\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
RELATED KNOWLEDGE

関連知識

DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

ベクトル値関数