曲線のスカラー倍の極限

曲線(ベクトル値関数)が収束するとき、その曲線のスカラー倍として定義される曲線もまた収束します。
曲線 ベクトル値関数 スカラー倍 極限

点において収束する曲線のベクトル和の極限

定義域を共有する2つの曲線\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな曲線\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。\(f\)と\(g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)と\(g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するとき、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) +\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。証明は以下の通りです。

曲線\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &\in &\mathbb{R} ^{m} \\
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &\in &\mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}がともに成り立つものとします。これは、\(f\)のすべての座標関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)と\(g\)のすべての座標関数\(g_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することと必要十分であり、それらの極限の間には、\begin{eqnarray}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\left( \lim\limits_{x\rightarrow
a}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left(
x\right) \right) \quad\cdots (1) \\
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\left( \lim\limits_{x\rightarrow
a}g_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim\limits_{x\rightarrow a}g_{m}\left(
x\right) \right) \quad\cdots (2)
\end{eqnarray}という関係が成り立ちます。また、関数\(f_{i},g_{i}\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するとき、関数\(f_{i}+g_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f_{i}+g_{i}\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow a}f_{i}\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g_{i}\left(
x\right) \quad\cdots (3)
\end{equation}という関係が成り立ちますが、これは曲線\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束することと必要十分です。さらにそれらの極限の間には、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) &=&\left(
\lim_{x\rightarrow a}\left( f_{1}+g_{1}\right) \left( x\right) ,\cdots
,\lim_{x\rightarrow a}\left( f_{m}+g_{m}\right) \left( x\right) \right) \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow
a}g_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x\right)
+\lim_{x\rightarrow a}g_{m}\left( x\right) \right) \quad \because \left(
3\right) \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x\right) ,\cdots
,\lim_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x\right) \right) +\left(
\lim_{x\rightarrow a}g_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow
a}g_{m}\left( x\right) \right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。以上で証明が完了しました。

命題(点において収束する曲線のベクトル和の極限)
曲線\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから曲線\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点に収束するならば、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) +\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
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つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束する曲線\(f,g\)のベクトル和の形をしている曲線\(f+g\)が与えられたとき、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されているとともに、\(f\)の極限と\(g\)の極限のベクトル和をとれば\(f+g\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの曲線\(f,g\)のベクトル和の形をしている曲線\(f+g\)の収束可能性を検討する際には、曲線の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上でで、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。

例(点において収束する曲線のベクトル和の極限)
曲線\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}+2x \\
5x^{3}+3\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を選んだ上で、この曲線\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに収束するか否かを検討している状況を想定してください。それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x^{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2} \\
h\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
2x \\
3\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}を定める曲線\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)に注目すると、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =g\left( x\right) +h\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、仮に\(g\)と\(h\)が\(x\rightarrow a\)のときに収束するならば、先の命題より、\(f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証され、なおかつ、そこでの極限が明らかになります。実際、\(g\)と\(h\)は\(x\rightarrow a\)のときに収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
a^{2} \\
5a^{3}\end{array}\right) \\
\lim_{x\rightarrow a}h\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
2a \\
3\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right) +\lim_{x\rightarrow a}h\left( x\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a^{2} \\
5a^{3}\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
2a \\
3\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a^{2}+2a \\
5a^{3}+3\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。
例(点において収束する曲線のベクトル差の極限)
曲線\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな曲線\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。\(f\)と\(g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)と\(g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するとき、\(f-g\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) \left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) -\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが先の命題より示されます(演習問題にします)。

 

無限大において収束する曲線のベクトル和の極限

無限大において収束する曲線についても同様の命題が成り立ちます(証明は演習問題にします)。

命題(無限大において収束する曲線のベクトル和の極限)
曲線\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから曲線\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f,g\)が任意の限りなく大きい実数において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点に収束するならば、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点に収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f+g\right) \left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
+\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f,g\)が任意の限りなく小さい実数において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点に収束するならば、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点に収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f+g\right) \left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
+\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
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例(無限大において収束する曲線のベクトル和の極限)
曲線\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{x}+1 \\
\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{x}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を選んだ上で、この曲線\(f\)が\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束するか否かを検討している状況を想定してください。それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{x} \\
\frac{2}{x^{2}}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2} \\
h\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\frac{3}{x}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}を定める曲線\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)に注目すると、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =g\left( x\right) +h\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、仮に\(g\)と\(h\)が\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束するならば、先の命題より、\(f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束することが保証され、なおかつ、そこでの極限が明らかになります。実際、\(g\)と\(h\)は\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
\lim_{x\rightarrow +\infty }h\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}g\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow +\infty }h\left( x\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。
例(無限大において収束する曲線のベクトル差の極限)
曲線\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、そこから曲線\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f,g\)が任意の限りなく大きい実数において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点に収束するならば、\(f-g\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f-g\right) \left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
-\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが先の命題より示されます(演習問題にします)。また、\(f,g\)が任意の限りなく小さい実数において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点に収束するならば\(f-g\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)のときに収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f-g\right) \left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
-\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことも同様にして示されます。

次回は収束する曲線どうしのベクトル和として定義される曲線もまた収束することを示します。

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