点において収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( cf\right) \left( x\right) &=&cf\left( x\right) \\
&=&c\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right) \right) \\
&=&\left( cf_{1},\cdots ,cf_{m}\left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}を定める新たなベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。
関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、関数\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
命題（点において収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限）
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束するベクトル値関数\(f\)のスカラー倍の形をしているベクトル値関数\(cf\)が与えられたとき、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限をスカラー\(c\)倍すれば\(cf\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f\)のスカラー倍の形をしている関数\(cf\)の収束可能性を検討する際には、ベクトル値関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が収束することを確認すればよいということになります。
例（点において収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するものとします。関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(g\)は\(f\)の定数倍（\(-1\)倍）として定義されているため、先の命題より\(g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left[
-f\left( x\right) \right] \quad \because g\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \quad \because \text{収束する関数のスカラー倍}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(g\)は\(f\)の定数倍（\(-1\)倍）として定義されているため、先の命題より\(g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left[
-f\left( x\right) \right] \quad \because g\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \quad \because \text{収束する関数のスカラー倍}
\end{eqnarray*}となります。
例（点において収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2\left( x^{4},\ln \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}2\left(
x^{4},\ln \left( x\right) \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&2\lim_{x\rightarrow a}\left( x^{4},\ln \left( x\right) \right) \quad
\because \text{収束する関数のスカラー倍} \\
&=&2\left( \lim_{x\rightarrow a}x^{4},\lim_{x\rightarrow a}\ln \left(
x\right) \right) \\
&=&2\left( a^{4},\ln \left( a\right) \right) \\
&=&\left( 2a^{4},2\ln \left( a\right) \right) \\
&=&\left( 2a^{4},\ln \left( a^{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}2\left(
x^{4},\ln \left( x\right) \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&2\lim_{x\rightarrow a}\left( x^{4},\ln \left( x\right) \right) \quad
\because \text{収束する関数のスカラー倍} \\
&=&2\left( \lim_{x\rightarrow a}x^{4},\lim_{x\rightarrow a}\ln \left(
x\right) \right) \\
&=&2\left( a^{4},\ln \left( a\right) \right) \\
&=&\left( 2a^{4},2\ln \left( a\right) \right) \\
&=&\left( 2a^{4},\ln \left( a^{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}となります。
点において片側収束するベクトル値関数のスカラー倍の片側極限
片側極限についても同様の命題が成り立ちます。
命題（点において片側収束するベクトル値関数のスカラー倍の片側極限）
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束するならば、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a+\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束し、それらの右側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束するならば、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束し、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a-}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
a+}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束するならば、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束し、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a-}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
例（点において片側収束するベクトル値関数のスカラー倍の片側極限）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{2}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left(
x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の左側の端点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left[ -\frac{1}{2}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \cos \left( x\right) ,\sin
\left( x\right) \right) \quad \because \text{右側収束する関数のスカラー倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( \lim_{x\rightarrow 0+}\cos \left( x\right)
,\lim_{x\rightarrow 0+}\sin \left( x\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( \cos \left( 0\right) ,\sin \left( 0\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 1,0\right) \\
&=&\left( -\frac{1}{2},0\right)
\end{eqnarray*}となります。また、定義域の右側の端点\(\pi \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \pi -}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \pi -}\left[
-\frac{1}{2}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow \pi -}\left( \cos \left( x\right) ,\sin
\left( x\right) \right) \quad \because \text{左側収束する関数のスカラー倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( \lim_{x\rightarrow \pi -}\cos \left( x\right)
,\lim_{x\rightarrow \pi -}\sin \left( x\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( \cos \left( 0\right) ,\sin \left( 0\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( -1,0\right) \\
&=&\left( \frac{1}{2},0\right)
\end{eqnarray*}となります。
x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の左側の端点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left[ -\frac{1}{2}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \cos \left( x\right) ,\sin
\left( x\right) \right) \quad \because \text{右側収束する関数のスカラー倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( \lim_{x\rightarrow 0+}\cos \left( x\right)
,\lim_{x\rightarrow 0+}\sin \left( x\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( \cos \left( 0\right) ,\sin \left( 0\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 1,0\right) \\
&=&\left( -\frac{1}{2},0\right)
\end{eqnarray*}となります。また、定義域の右側の端点\(\pi \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \pi -}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \pi -}\left[
-\frac{1}{2}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow \pi -}\left( \cos \left( x\right) ,\sin
\left( x\right) \right) \quad \because \text{左側収束する関数のスカラー倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( \lim_{x\rightarrow \pi -}\cos \left( x\right)
,\lim_{x\rightarrow \pi -}\sin \left( x\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( \cos \left( 0\right) ,\sin \left( 0\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( -1,0\right) \\
&=&\left( \frac{1}{2},0\right)
\end{eqnarray*}となります。
無限大において収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限
無限大において収束するベクトル値関数についても同様の命題が成り立ちます。
命題（無限大において収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限）
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow+\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(cf\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( cf\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(cf\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( cf\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
=c\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(cf\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( cf\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
例（無限大において収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。正の無限大において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }
\left[ -\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \right] \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because \text{収束する関数のスカラー倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
,\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 0,0\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となり、負の無限大において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty }
\left[ -\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \right] \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because \text{収束する関数のスカラー倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
,\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 0,0\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。正の無限大において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }
\left[ -\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \right] \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because \text{収束する関数のスカラー倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
,\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 0,0\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となり、負の無限大において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty }
\left[ -\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \right] \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because \text{収束する関数のスカラー倍} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
,\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left( 0,0\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
問題（点において収束するベクトル値関数のスカラー商の極限）
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{f}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{f}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
問題（点において片側収束するベクトル値関数のスカラー商の片側極限）
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{f}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束するならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow a+\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束し、両者の右側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。また、関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束するならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow a-\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束し、両者の左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{f}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束するならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow a+\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束し、両者の右側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。また、関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束するならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow a-\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束し、両者の左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
問題（無限大において収束するベクトル値関数のスカラー商の極限）
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{f}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。関数\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。関数\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{f}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。関数\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。関数\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
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