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ベクトル値関数のベクトル和の極限

目次

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点において収束するベクトル値関数のベクトル和の極限

定義域を共有する2つのベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。\(f\)と\(g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、関数\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) +\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(点において収束するベクトル値関数のベクトル和の極限)
ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) +\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束するベクトル値関数\(f,g\)のベクトル和の形をしているベクトル値関数\(f+g\)が与えられたとき、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されているとともに、\(f\)の極限と\(g\)の極限のベクトル和をとれば\(f+g\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)のベクトル和の形をしている関数\(f+g\)の収束可能性を検討する際には、ベクトル値関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上でで、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。

例(点において収束するベクトル値関数のベクトル和の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 2x,5\right) +\left( \cos \left( x\right) ,-\sin
\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数である\(\left( 2x,5\right) \)と\(\left( \cos\left( x\right) ,-\sin \left( x\right) \right) \)のベクトル和として定義されています。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、関数\(\left( 2x,5\right) \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}\left( 2x,5\right) &=&\left( \lim_{x\rightarrow
a}2x,\lim_{x\rightarrow a}5\right) \quad \because \text{ベクトル値関数と成分関数の極限} \\
&=&\left( 2a,5\right) \quad \because \text{多項式関数と定数関数の極限}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}\left( 2x,5\right) =\left( 2a,5\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、関数\(\left( \cos\left( x\right) ,-\sin \left( x\right) \right) \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \cos \left( x\right) ,-\sin \left( x\right)
\right) &=&\left( \lim_{x\rightarrow a}\cos \left( x\right)
,\lim_{x\rightarrow a}\left[ -\sin \left( x\right) \right] \right) \quad
\because \text{ベクトル値関数と成分関数の極限} \\
&=&\left( \cos \left( a\right) ,-\sin \left( a\right) \right) \quad \because
\text{正弦関数と余弦関数の極限}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}\left( \cos \left( x\right) ,-\sin \left( x\right)
\right) =\left( \cos \left( a\right) ,-\sin \left( a\right) \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため\(f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{2}\)の点へ収束し、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left[ \left(
2x,5\right) +\left( \cos \left( x\right) ,-\sin \left( x\right) \right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}\left( 2x,5\right) +\lim_{x\rightarrow a}\left( \cos
\left( x\right) ,-\sin \left( x\right) \right) \quad \because \text{収束するベクトル値関数の和} \\
&=&\left( 2a,5\right) +\left( \cos \left( a\right) ,-\sin \left( a\right)
\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\left( 2a+\cos \left( a\right) ,5-\sin \left( a\right) \right) \quad
\because \text{ベクトル和の定義}
\end{eqnarray*}となります。

 

点において片側収束するベクトル値関数のベクトル和の片側極限

片側極限についても同様の命題が成り立ちます。

命題(点において片側収束するベクトル値関数のベクトル和の片側極限)
ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束するならば、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a+\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束し、それらの右側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a+}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束するならば、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束し、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a-}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a-}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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例(点において片側収束するベクトル値関数のベクトル和の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right)
+\left( x+1,x-1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数である\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left(x\right) \right) \)と\(\left( x+1,x-1\right) \)のベクトル和として定義されています。定義域の端点\(0\)において、ベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right),\sin \left( x\right) \right) \)は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right) &=&\left( \lim_{x\rightarrow 0+}\cos \left( x\right)
,\lim_{x\rightarrow 0+}\sin \left( x\right) \right) \\
&=&\left( \cos \left( 0\right) ,\sin \left( 0\right) \right) \quad \because
\text{正弦関数と余弦関数の右側極限} \\
&=&\left( 1,0\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right) =\left( 1,0\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たし、ベクトル値関数\(\left( x+1,x-1\right) \)は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\left( x+1,x-1\right) &=&\left( \lim_{x\rightarrow
0+}\left( x+1\right) ,\lim_{x\rightarrow 0+}\left( x-1\right) \right) \\
&=&\left( 0+1,0-1\right) \quad \because \text{多項式関数の右側極限} \\
&=&\left( 1,-1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0+}\left( x+1,x-1\right) =\left( 1,-1\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たします。したがって、\(f\)もまた\(x\rightarrow 0+\)のときに右側収束するとともに、右側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left[
\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) +\left(
x+1,x-1\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right) +\lim_{x\rightarrow 0+}\left( x+1,x-1\right) \quad \because \text{右側収束する関数のベクトル和} \\
&=&\left( 1,0\right) +\left( 1,-1\right) \quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \\
&=&\left( 2,-1\right) \quad \because \text{ベクトル和の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。定義域のもう一方の端点\(\pi \)について、ベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin\left( x\right) \right) \)は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \pi -}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right) &=&\left( \lim_{x\rightarrow \pi -}\cos \left( x\right)
,\lim_{x\rightarrow \pi -}\sin \left( x\right) \right) \\
&=&\left( \cos \left( \pi \right) ,\sin \left( \pi \right) \right) \quad
\because \text{正弦関数と余弦関数の左側極限} \\
&=&\left( -1,0\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow \pi -}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right) =\left( -1,0\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たし、ベクトル値関数\(\left( x+1,x-1\right) \)は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \pi -}\left( x+1,x-1\right) &=&\left( \lim_{x\rightarrow
\pi -}\left( x+1\right) ,\lim_{x\rightarrow \pi -}\left( x-1\right) \right)
\\
&=&\left( \pi +1,\pi -1\right) \quad \because \text{多項式関数の左側極限}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow \pi -}\left( x+1,x-1\right) =\left( \pi +1,\pi -1\right)
\quad \cdots (4)
\end{equation}を満たします。したがって、\(f\)もまた\(x\rightarrow \pi-\)のときに左側収束するとともに、左側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \pi -}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \pi -}\left[
\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) +\left(
x+1,x-1\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow \pi -}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left(
x\right) \right) +\lim_{x\rightarrow \pi -}\left( x+1,x-1\right) \quad
\because \text{左側収束する関数のベクトル和} \\
&=&\left( -1,0\right) +\left( \pi +1,\pi -1\right) \quad \because \left(
3\right) ,\left( 4\right) \\
&=&\left( \pi ,\pi -1\right) \quad \because \text{ベクトル和の定義}
\end{eqnarray*}となります。

 

無限大において収束するベクトル値関数のベクトル和の極限

無限大における極限についても同様の命題が成り立ちます。

命題(無限大において収束するベクトル値関数のベクトル和の極限)
ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f,g\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow+\infty \)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f+g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow +\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f,g\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f+g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow -\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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例(無限大において収束するベクトル値関数のベクトル和の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right) +\left( 1,\frac{3}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数である\(\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right) \)と\(\left( 1,\frac{3}{x}\right) \)のベクトル和として定義されています。関数\(\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right) \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right)
&=&\left( \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{x}\right)
,\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{2}{x^{3}}\right) \right) \quad
\because \text{ベクトル値関数と成分関数の極限} \\
&=&\left( -\frac{1}{+\infty },\frac{2}{+\infty }\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right)
=\left( 0,0\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、関数\(\left( 1,\frac{3}{x}\right) \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1,\frac{3}{x}\right) &=&\left(
\lim_{x\rightarrow +\infty }1,\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{3}{x}\right) \right) \quad \because \text{ベクトル値関数と成分関数の極限} \\
&=&\left( 1,\frac{3}{+\infty }\right) \\
&=&\left( 1,0\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1,\frac{3}{x}\right) =\left( 1,0\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため\(f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{2}\)の点へ収束し、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }
\left[ \left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right) +\left( 1,\frac{3}{x}\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right)
+\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1,\frac{3}{x}\right) \quad \because
\text{収束するベクトル値関数の和} \\
&=&\left( 0,0\right) +\left( 1,0\right) \quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \\
&=&\left( 1,0\right) \quad \because \text{ベクトル和の定義}
\end{eqnarray*}となります。また、関数\(\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right) \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right)
&=&\left( \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( -\frac{1}{x}\right)
,\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{2}{x^{3}}\right) \right) \quad
\because \text{ベクトル値関数と成分関数の極限} \\
&=&\left( -\frac{1}{-\infty },\frac{2}{-\infty }\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right)
=\left( 0,0\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ち、関数\(\left( 1,\frac{3}{x}\right) \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( 1,\frac{3}{x}\right) &=&\left(
\lim_{x\rightarrow -\infty }1,\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{3}{x}\right) \right) \quad \because \text{ベクトル値関数と成分関数の極限} \\
&=&\left( 1,\frac{3}{-\infty }\right) \\
&=&\left( 1,0\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( 1,\frac{3}{x}\right) =\left( 1,0\right)
\quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立つため\(f\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{2}\)の点へ収束し、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty }
\left[ \left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right) +\left( 1,\frac{3}{x}\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right)
+\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( 1,\frac{3}{x}\right) \quad \because
\text{収束するベクトル値関数の和} \\
&=&\left( 0,0\right) +\left( 1,0\right) \quad \because \left( 3\right)
,\left( 4\right) \\
&=&\left( 1,0\right) \quad \because \text{ベクトル和の定義}
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(点において収束するベクトル値関数のベクトル差の極限)
定義域を共有する2つのベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。\(f\)と\(g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、関数\(f-g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) \left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) -\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

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問題(点において片側収束するベクトル値関数のベクトル差の片側極限)
ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束するならば、\(f-g\)もまた\(x\rightarrow a+\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束し、それらの右側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow a+}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。また、\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束するならば、\(f-g\)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束し、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a-}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow a-}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

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問題(無限大において収束するベクトル値関数のベクトル差の極限)
ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f,g\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(f-g\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f-g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow +\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。また、\(f,g\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow-\infty \)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(f-g\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f-g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow -\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

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