WIIS

1変数のベクトル値関数

ベクトル値関数のグラフ

目次

Mailで保存
Xで共有

ベクトル値関数のグラフ

始集合が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。それに対して、以下の命題\begin{equation*}
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が真になるようなベクトル\(\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{eqnarray*}G\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \left( x,\boldsymbol{y}\right) \in
X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y_{1} \\
\vdots \\
y_{m}\end{array}\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{m}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m+1}\ |\ x\in X\right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを関数\(\boldsymbol{f}\)のグラフ(graph)と呼びます。明らかに、\begin{equation*}G\left( \boldsymbol{f}\right) \subset X\times \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立ちます。表記の都合上、ここでは行ベクトルと列ベクトルを同一視しています。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left( x,\boldsymbol{y}\right) \in
X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されるため、ベクトル\(\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル\(\left( x,\boldsymbol{y}\right) \)がベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)のグラフの要素であることと、\(\boldsymbol{f}\)が実数\(x\)に対して定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が\(\boldsymbol{y}\)と一致することは必要十分です。

例(ベクトル値関数のグラフ)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{eqnarray*}
G\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
y \\
z\end{array}\right) =\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\} \quad \because \text{グラフの定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \right\} \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}であり、これは下図の点集合として描かれます。

図:ベクトル値関数のグラフ
図:ベクトル値関数のグラフ

 

直積の部分集合としてのベクトル値関数

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left( x,\boldsymbol{y}\right) \in
X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(X\times \mathbb{R} ^{m}\)の部分集合ですが、これはどのような性質を満たす集合でしょうか。関数\(\boldsymbol{f}\)は始集合のそれぞれの要素\(x\in X\)に対してその像\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を1つずつ定めますが、以上の事実は、それぞれの実数\(x\in X\)に対して\(\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right) \)を満たすベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)が1つずつ必ず存在することを意味します。

命題(ベクトル値関数のグラフの性質)
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、そのグラフ\(G\left( \boldsymbol{f}\right)\subset X\times \mathbb{R} ^{m}\)は、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}:\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}を満たす。ただし、\(\exists !\)は「一意的に存在する」ことを表す記号である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

逆に、直積\(X\times \mathbb{R} ^{m}\)の部分集合\(G\)が以下の性質\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}:\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in G
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、集合\(X\)の要素である実数\(x\)を任意に選んだとき、\(\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in G\)を満たすようなベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)が1つずつ存在するということです。したがってこの場合、それぞれの実数\(x\in X\)に対して\(\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in G\)を満たすようなベクトル\(\boldsymbol{y}\)を\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)として定めるベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能であり、なおかつ、このように定義された\(\boldsymbol{f}\)のグラフは\(G\)と一致します。

命題(ベクトル値関数のグラフであるための条件)
集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられたとき、集合\(G\subset X\times \mathbb{R} ^{m}\)が、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}:\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in G
\end{equation*}を満たす場合には、\begin{equation*}
G=G\left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}を満たすベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が存在する。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

以上の2つの命題より、以下の概念の間には1対1の関係が成立することが明らかになりました。したがって、これらの概念は実質的に等しく、互いに交換可能です。

  1. ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)
  2. ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)のグラフ\(G\left( \boldsymbol{f}\right) \)
  3. 以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}:\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in G
    \end{equation*}を満たす集合\(G\subset X\times \mathbb{R} ^{m}\)

 

演習問題

問題(ベクトル値関数のグラフ)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)のグラフを特定するとともに、それを図示してください。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(ベクトル値関数のグラフ)
集合\(G\subset \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{2}\)が、\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
4\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
2 \\
-1 \\
4\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
3 \\
1 \\
2\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
3 \\
2 \\
1\end{array}\right) \right\} \subset G
\end{equation*}を満たすものとします。この\(G\)をグラフとして持つようなベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が存在しないことを示してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録