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ベクトル値関数のグラフ

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ベクトル値関数のグラフ

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(y=f\left( x\right) \)が真になるような\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)からなる集合を、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)のグラフ(graph)と呼びます。\(G\left( f\right) \)は\(X\times \mathbb{R} ^{m}\)の部分集合です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、組\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選ぶと、グラフ\(G\left( f\right) \)の定義より、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \Leftrightarrow y=f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、組\(\left( x,y\right) \)が関数\(f\)のグラフの要素であることと、\(f\)による\(x\)の像が\(y\)であることは必要十分です。

例(ベクトル値関数のグラフ)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-x,x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( y,z\right) =\left( x^{2}-x,x+1\right) \right\}
\end{equation*}であり、これは下図の点集合として描かれます。

図:ベクトル値関数のグラフ
図:ベクトル値関数のグラフ
例(ベクトル値関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( y,z\right) =\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left(
x\right) \right) \right\}
\end{equation*}であり、これは下図の点集合として描かれます。

図:ベクトル値関数のグラフ
図:ベクトル値関数のグラフ

 

直積の部分集合としてのベクトル値関数

繰り返しになりますが、ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(X\times \mathbb{R} ^{m}\)の部分集合ですが、これはどのような性質を満たす集合でしょうか。関数\(f\)は始集合のそれぞれの要素\(x\in X\)に対してその像\(f\left(x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を1つずつ定めますが、\(G\left( f\right) \)の定義より、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して\(\left( x,y\right) \in G\left(f\right) \)を満たす\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)が1つずつ存在することを意味します。

命題(ベクトル値関数のグラフの性質)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、そのグラフ\(G\left( f\right) \subset X\times \mathbb{R} ^{m}\)は、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} ^{m}:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}を満たす。ただし、\(\exists !\)は「一意的に存在する」ことを表す記号である。
証明

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逆に、直積\(X\times \mathbb{R} ^{m}\)の部分集合\(G\)が、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} ^{m}:\left( x,y\right) \in G
\end{equation*}という性質を満たすものとします。つまり、集合\(X\)の要素\(x\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \in G\)を満たすような\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)が1つずつ存在するということです。したがってこの場合、それぞれの\(x\in X\)に対して\(\left( x,y\right) \in G\)を満たすような\(y\)を\(f\left( x\right) \)として定める関数\(f:X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能であり、なおかつ\(f\)のグラフは\(G\)と一致します。

命題(ベクトル値関数のグラフであるための条件)
集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられたとき、集合\(G\subset X\times \mathbb{R} ^{m}\)が、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} ^{m}:\left( x,y\right) \in G
\end{equation*}を満たす場合には、\(G=G\left( f\right) \)を満たす関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が存在する。
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上の2つの命題より、以下を得ます。

命題(直積の部分集合としてのベクトル値関数)
集合\(X\subset \mathbb{R} \)が与えられたとき、集合\(G\subset X\times \mathbb{R} ^{m}\)が、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} ^{m}:\left( x,y\right) \in G
\end{equation*}を満たすことは、\(G=G\left(f\right) \)を満たす関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が存在するための必要十分条件である。ただし、\(\exists !\)は「一意的に存在する」ことを表す記号である。

上の命題より、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} ^{m}:\left( x,y\right) \in G
\end{equation*}という条件を満たす直積\(X\times \mathbb{R} ^{m}\)の部分集合\(G\)と同一視することができます。

次回はベクトル値関数による像と値域について解説します。

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