連立1次方程式の解の個数の判定方法

連立1次方程式に解が存在するための必要十分条件

変数\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right.
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、\(a_{ij}\in \mathbb{R} \)は係数、\(b_{i}\in \mathbb{R} \)は定数項、\(x_{j}\in \mathbb{R} \)は変数です。変数の個数\(n\)と方程式の個数\(m\)はともに自然数であり、それぞれ任意に選ぶことができます。

連立1次方程式が解を持つための必要十分条件を明らかにしました。結果だけを復習します。

行列の階数は、その行列の行標準形に含まれる主成分の個数と一致するため、ガウス・ジョルダンの消去法を通じて\(A,\widetilde{A}\)をそれぞれ行標準形\(B,\widetilde{B}\)へ行簡約し、これらの行標準形に含まれる主成分の個数が一致することを確認すれば、上の命題より、連立1次方程式に解が存在すること示したことになります。

連立1次方程式の係数行列\(A\)の列空間と拡大係数行列\(\widetilde{A}\)の列空間の間には以下の関係\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A\right) \subset \mathrm{col}\left( \widetilde{A}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( A\right) \leq \mathrm{rank}\left( \widetilde{A}\right)
\end{equation*}を得ます。したがって、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( A\right) =\mathrm{rank}\left( \widetilde{A}\right)
\end{equation*}が成り立たないことは、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( A\right) <\mathrm{rank}\left( \widetilde{A}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、係数行列\(A\)の階数が拡大係数行列\(\widetilde{A}\)の階数よりも小さい場合、連立1次方程式は解を持ちません。

連立1次方程式の解集合の次元

連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}に解が存在する状況を想定します。つまり、\(\left( 1\right) \)の係数行列\(A\)と拡大係数行列\(\widetilde{A}\)の間に以下の関係\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( A\right) =\mathrm{rank}\left( \widetilde{A}\right)
\end{equation*}が成立するということです。では、\(\left( 1\right) \)の解の個数を特定するためにはどうすればいいでしょうか。順番に考えます。

連立1次方程式の解集合は線形写像の逆像として表現できることを明らかにしました。結果だけを復習します。

連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}に随伴する同次連立1次方程式は、\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義されますが、\(\left( 2\right) \)は自明解\begin{equation*}0=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を持つため、先の命題より、\(\left( 2\right) \)の解集合は、\begin{equation*}0+\ker f_{A}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\ker f_{A} \quad \cdots (3)
\end{equation}と一致します。線形写像の核は部分空間であるため\(\ker f_{A}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であることに注意してください。一方、先の命題より、もとの連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の解集合は\(\left( 1\right) \)の解\(u\in \mathbb{R} ^{n}\)を用いて、\begin{equation}u+\ker f_{A} \quad \cdots (4)
\end{equation}と表現できます。以上の事実は、連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の解集合\(\left( 4\right) \)が、同次連立1次方程式\(\left( 2\right) \)の解集合\(\left( 3\right) \)上のベクトルをいずれも\(u\)だけ移動して得られるベクトル集合であること、すなわち\(\mathbb{R} ^{n}\)のアフィン部分空間であることを意味します。

アフィン部分空間の次元は、それと平行な部分空間の次元と一致するものと定義されるため、連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の解集合\(\left( 4\right) \)の次元は、同次連立1次方程式\(\left( 2\right) \)の解集合\(\left( 3\right) \)の次元と一致します。そこで、まずは\(\left( 3\right) \)の次元を求めます。証明では線形写像に関する次元定理を利用します。

以上の命題を踏まえると、連立1次方程式の解集合の次元に関する以下の命題が得られます。

連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}の解集合の次元を特定するに先立ち、まずは\(\left( 1\right) \)が解を持つこと、すなわち、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( A\right) =\mathrm{rank}\left( \widetilde{A}\right)
\end{equation*}が成り立つことを確認する必要があります。行列の階数は、その行列の行標準形に含まれる主成分の個数と一致するため、行列の階数を特定するためにガウス・ジョルダンの消去法を利用できます。その上で、連立1次方程式に含まれる変数の個数と係数行列の階数の差\begin{equation*}
n-\mathrm{rank}\left( A\right)
\end{equation*}をとれば、それが解集合の次元になります。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)が解を持つ場合、その解集合の次元は必ず非負になります。実際、\begin{eqnarray*}\mathrm{rank}\left( A\right) &=&\dim \mathrm{row}\left( A\right) \\
&=&\dim \mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{row}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}ですが、\begin{equation*}
\left\{ \mathrm{row}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right)
\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( A\right) \leq \mathrm{rank}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( A\right) \leq n
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
n-\mathrm{rank}\left( A\right) \geq 0
\end{equation*}となるからです。

連立1次方程式が解を1つだけ持つための必要十分条件

連立1次方程式が解を持つ場合、解集合の次元を特定する方法が明らかになりました。以下では、連立1次方程式が解を1つだけ持つための必要十分条件を明らかにします。

まずは同次1次方程式について考えます。同次1次方程式は常にゼロベクトルを自明解として持つため、解が1つだけ存在することと、ゼロベクトル以外の解を持たないことは必要十分です。

行列の階数はその行列の行標準形の階数と一致します。したがって、同次連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}の係数行列\(A\)にガウス・ジョルダンの消去法を適用した上で、得られた行標準形\(B\)について、\begin{equation*}n=\mathrm{rank}\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つことを確認すれば、上の命題より、この同次連立1次方程式が解を1つだけ持つことを示したことになります。

先の命題を踏まえると、同次連立1次方程式であるとは限らない一般の連立1次方程式の解の個数に関する以下の命題が得られます。

行列の階数はその行列の行標準形の階数と一致します。したがって、連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right.
\end{equation*}の拡大係数行列\(\widetilde{A}=\left( A,b\right) \)にガウス・ジョルダンの消去法を適用した上で、得られた行標準形\(\widetilde{B}=\left( B,c\right) \)について、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( B\right) =\mathrm{rank}\left( \widetilde{B}\right) =n
\end{equation*}が成り立つことを確認すれば、上の命題より、この連立1次方程式が解を1つだけ持つことを示したことになります。

これまでは連立1次方程式の変数の個数\(n\)と方程式の個数\(m\)に制約を設けない形で議論を行ってきました。特に、\(n=m\)の場合には、すなわち変数の個数と方程式の個数が一致する連立1次方程式に関しては、その係数行列は正方行列となりますが、この場合には先の命題を以下のように言い換えることができます。

正方行列が正則であることと、その行標準形が単位行列であることは必要十分です。したがって、変数の個数と方程式の個数が一致する連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\end{array}\right.
\end{equation*}の係数行列\(A\)にガウス・ジョルダンの消去法を適用した結果として単位行列\(I_{n}\)が得られれば、上の命題より、この連立1次方程式が解を1つだけ持つことを示したことになります。

連立1次方程式が複数の解を持つための必要十分条件

先の諸命題は連立1次方程式が解を1つだけ持つための必要十分条件であるため、そこから連立1次方程式が複数の解を持つための必要十分条件を導くことができます。

まずは、同次連立1次方程式が複数の解を持つための必要十分条件は以下の通りです。

行列の階数はその行列の行標準形の階数と一致します。したがって、同次連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}の係数行列\(A\)にガウス・ジョルダンの消去法を適用した上で、得られた行標準形\(B\)について、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( B\right) <n
\end{equation*}が成り立つことを確認すれば、上の命題より、この同次連立1次方程式が複数の解を持つことを示したことになります。

同次連立1次方程式であるとは限らない一般の連立1次方程式が複数の解を持つための必要十分条件は以下の通りです。

行列の階数はその行列の行標準形の階数と一致します。したがって、連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right.
\end{equation*}の拡大係数行列\(\widetilde{A}=\left( A,b\right) \)にガウス・ジョルダンの消去法を適用した上で、得られた行標準形\(\widetilde{B}=\left( B,c\right) \)について、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( B\right) =\mathrm{rank}\left( \widetilde{B}\right) <n
\end{equation*}が成り立つことを確認すれば、上の命題より、この連立1次方程式が複数の解を持つことを示したことになります。

演習問題