連立1次方程式と同値なベクトル方程式

連立1次方程式

連立1次方程式およびその解について簡単に復習します。

変数\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。ただし、\(a_{ij}\in \mathbb{R} \)は係数、\(b_{i}\in \mathbb{R} \)は定数項、\(x_{j}\in \mathbb{R} \)は変数です。変数の個数\(n\)と方程式の個数\(m\)はともに自然数であり、それぞれ任意に選ぶことができます。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の変数に具体的な実数\begin{equation}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
k_{1} \\
\vdots \\
k_{n}\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}をそれぞれ代入すると\(m\)個の命題\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}k_{1}+a_{12}k_{2}+\cdots +a_{1n}k_{n}=b_{1} \\
a_{21}k_{1}+a_{22}k_{2}+\cdots +a_{2n}k_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}k_{1}+a_{m2}k_{2}+\cdots +a_{mn}k_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{equation}が得られますが、\(\left(3\right) \)中のすべての命題が真である場合、\(\left(2\right) \)を\(\left( 1\right) \)の解と呼びます。逆に、\(\left( 3\right) \)の中に偽であるような命題が存在する場合、\(\left( 2\right) \)は\(\left( 1\right) \)の解ではありません。

連立1次方程式の解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そこで、連立1次方程式の解をすべて集めてできる集合を解集合と呼びます。

すべての定数項が\(0\)であるような連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を同次連立1次方程式と呼びます。また、同次連立1次方程式ではない連立1次方程式、すなわち少なくとも1つの定数項が非ゼロであるような連立1次方程式を非同次連立1次方程式と呼びます。

連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられたとき、すべての定数項を\(0\)に置き換えれば同次連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}が得られますが、これを\(\left( 1\right) \)に付随する同次連立1次方程式と呼びます。

同次連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}の変数に以下の値\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を代入すると\(m\)個の命題\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}0+a_{12}0+\cdots +a_{1n}0=0 \\
a_{21}0+a_{22}0+\cdots +a_{2n}0=0 \\
\vdots \\
a_{m1}0+a_{m2}0+\cdots +a_{mn}0=0\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
0=0 \\
0=0 \\
\vdots \\
0=0\end{array}\right.
\end{equation*}が得られますが、これらは明らかに真であるため\(\left( 2\right) \)は同次連立1次方程式の解です。ゼロベクトルは任意の同次連立1次方程式の解であるということです。このような解を自明解と呼びます。また、自明解とは異なる解、すなわちゼロベクトルとは異なる解を自明ではない解と呼びます。

連立1次方程式の解集合と、それに随伴する同次連立1次方程式の解集合の間には以下の関係が成り立ちます。

連立1次方程式のベクトル表示

連立1次方程式は行列方程式として表現できることを示しました。結果だけを復習します。

連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を行列方程式\begin{equation}
Ax=b \quad \cdots (2)
\end{equation}に読み替えることにより、行列に関する知識を利用しながら連立1次方程式を分析できるようになります。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)はベクトル方程式として表現することもできます。実際、連立1次方程式\(\left( 1\right) \)と同値な行列方程式\(\left( 2\right) \)の左辺をさらに変形すると、\begin{eqnarray*}Ax &=&\begin{pmatrix}
\mathrm{row}\left( A,1\right) \cdot \mathrm{col}\left( x,1\right) \\
\vdots \\
\mathrm{row}\left( A,m\right) \cdot \mathrm{col}\left( x,1\right)
\end{pmatrix}\quad \because \text{行列積の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
\left( a_{11},\cdots ,a_{1n}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \\
\vdots \\
\left( a_{m1},\cdots ,a_{mn}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right)
\end{pmatrix}\quad \because A,x\text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}\quad \because \text{内積の定義} \\
&=&x_{1}\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
\vdots \\
a_{m1}\end{array}\right) +\cdots +x_{n}\left(
\begin{array}{c}
a_{1n} \\
\vdots \\
a_{mn}\end{array}\right) \\
&=&x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left(
A,n\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
Ax=x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left(
A,n\right)
\end{equation*}を得るため、これを用いれば行列方程式\(\left( 2\right) \)と必要十分なベクトル方程式\begin{equation*}x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) =b
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{1}\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
\vdots \\
a_{m1}\end{array}\right) +\cdots +x_{n}\left(
\begin{array}{c}
a_{1n} \\
\vdots \\
a_{mn}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
\vdots \\
b_{m}\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。これを連立1次方程式\(\left( 1\right) \)のベクトル表示（vector representation）と呼びます。

特に、連立1次方程式\(\left( 1\right) \)に随伴する同次連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}のベクトル表示は、\begin{equation*}
x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{1}\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
\vdots \\
a_{m1}\end{array}\right) +\cdots +x_{n}\left(
\begin{array}{c}
a_{1n} \\
\vdots \\
a_{mn}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}となります。

連立1次方程式とそのベクトル表示は同値

連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right.
\end{equation*}のベクトル表示\begin{equation}
x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) =b
\quad \cdots (1)
\end{equation}の変数ベクトルに具体的なベクトル\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
k_{1} \\
\vdots \\
k_{n}\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を代入すると命題\begin{equation}
k_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) =b
\quad \cdots (3)
\end{equation}が得られますが、\(\left(3\right) \)が真である場合、\(\left( 2\right) \)を\(\left( 1\right) \)の解と呼びます。逆に、\(\left( 3\right) \)が偽である場合、\(\left(2\right) \)は\(\left( 1\right) \)の解ではありません。

ベクトル方程式には解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そこで、ベクトル方程式\begin{equation*}
x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) =b
\end{equation*}の解をすべて集めてできる集合\begin{equation*}
\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left(
A,n\right) =b\right\}
\end{equation*}を解集合と呼びます。

連立1次方程式の解集合と、そのベクトル表示の解集合は一致します。つまり、ある列ベクトルが連立1次方程式の解であることと、その列ベクトルが連立1次方程式のベクトル表示の解であることは必要十分です。このような事情を踏まえた上で、連立1次方程式とその行列表示は同値（equivalent）であると言います。

連立1次方程式が与えられたとき、その解を分析する代わりに、連立1次方程式のベクトル表現に相当するベクトル方程式の解を分析してもかまいません。なぜなら、上の命題から明らかであるように、両者の解集合は一致するからです。連立1次方程式をベクトル方程式に読み替えることにより、ベクトルに関する知識を利用しながら連立1次方程式を分析できるようになります。

連立1次方程式のベクトル表示に解が存在するための必要十分条件

連立1次方程式と同値なベクトル方程式\begin{equation}
x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) =b
\quad \cdots (1)
\end{equation}に解が存在することとは、\begin{equation}
\exists \left(
\begin{array}{c}
k_{1} \\
\vdots \\
k_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}:k_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left(
A,n\right) =b \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを意味します。これは、定数ベクトル\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が係数行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の列ベクトルからなる集合\begin{equation*}\left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right)
\right\} \subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}の何らかの線型結合として表現可能であることを意味します。線型スパンを用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
b\in \mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right)
\end{equation*}となります。

先の命題は連立1次方程式と同値なベクトル方程式に解が存在するための必要十分条件を与えているため、解が存在しないことを示す際にも利用できます。つまり、ベクトル方程式\begin{equation*}
x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) =b
\end{equation*}について、\begin{equation*}
b\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right)
\end{equation*}が成り立つ場合、このベクトル方程式には解は存在しません。

連立1次方程式のベクトル表示の解集合

連立1次方程式と同値なベクトル方程式の解集合について以下が成り立ちます。

ベクトル方程式\begin{equation}
x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) =b
\quad \cdots (1)
\end{equation}解\(u\in \mathbb{R} ^{n}\)とベクトル方程式\begin{equation*}x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) =0
\end{equation*}の解集合\(W\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、上の命題より、\(\left( 1\right) \)の解集合は、\begin{equation*}u+W
\end{equation*}になることが保証されます。後ほど示すように\(W\)は実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるため、以上の事実は、\(Ax=b\)の解集合が\(\mathbb{R} ^{n}\)のアフィン部分空間であることを意味します。以上の事実は解集合の構造について考察する際に重要な役割を果たします。詳細は場を改めて解説します。

演習問題