連立1次方程式
連立1次方程式およびその解について簡単に復習します。
変数\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。ただし、\(a_{ij}\in \mathbb{R} \)は係数、\(b_{i}\in \mathbb{R} \)は定数項、\(x_{j}\in \mathbb{R} \)は変数です。変数の個数\(n\)と方程式の個数\(m\)はともに自然数であり、それぞれ任意に選ぶことができます。
連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の変数に具体的な実数\begin{equation}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
k_{1} \\
\vdots \\
k_{n}\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}をそれぞれ代入すると\(m\)個の命題\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}k_{1}+a_{12}k_{2}+\cdots +a_{1n}k_{n}=b_{1} \\
a_{21}k_{1}+a_{22}k_{2}+\cdots +a_{2n}k_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}k_{1}+a_{m2}k_{2}+\cdots +a_{mn}k_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{equation}が得られますが、\(\left(3\right) \)中のすべての命題が真である場合、\(\left(2\right) \)を\(\left( 1\right) \)の解と呼びます。逆に、\(\left( 3\right) \)の中に偽であるような命題が存在する場合、\(\left( 2\right) \)は\(\left( 1\right) \)の解ではありません。
連立1次方程式の解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そこで、連立1次方程式の解をすべて集めてできる集合を解集合と呼びます。
すべての定数項が\(0\)であるような連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を同次連立1次方程式と呼びます。また、同次連立1次方程式ではない連立1次方程式、すなわち少なくとも1つの定数項が非ゼロであるような連立1次方程式を非同次連立1次方程式と呼びます。
連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられたとき、すべての定数項を\(0\)に置き換えれば同次連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}が得られますが、これを\(\left( 1\right) \)に随伴する同次連立1次方程式と呼びます。
同次連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}の変数に以下の値\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を代入すると\(m\)個の命題\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}0+a_{12}0+\cdots +a_{1n}0=0 \\
a_{21}0+a_{22}0+\cdots +a_{2n}0=0 \\
\vdots \\
a_{m1}0+a_{m2}0+\cdots +a_{mn}0=0\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
0=0 \\
0=0 \\
\vdots \\
0=0\end{array}\right.
\end{equation*}が得られますが、これらは明らかに真であるため\(\left( 2\right) \)は同次連立1次方程式の解です。ゼロベクトルは任意の同次連立1次方程式の解であるということです。このような解を自明解と呼びます。また、自明解とは異なる解、すなわちゼロベクトルとは異なる解を自明ではない解と呼びます。
連立1次方程式の解集合と、それに随伴する同次連立1次方程式の解集合の間には以下の関係が成り立ちます。
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}に随伴する同次連立1次方程式は、\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義される。\(\left( 1\right) \)の解\(u\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶ。\(\left(2\right) \)の解集合が\(W\subset \mathbb{R} ^{n}\)であるとき、\(\left( 1\right) \)の解集合は、\begin{equation*}u+W=\left\{ u+w\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ w\in W\right\}
\end{equation*}となる。
連立1次方程式の係数行列から定義される線形写像
線形写像の知識を利用することにより連立1次方程式の解を構造を分析したり、解を体系的に求めることができるようになります。準備として、連立1次方程式を線形写像を用いて表現します。
連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。
連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の係数を並べることにより以下のような\(m\times n\)行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が得られます。これを連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の係数行列（coefficient matrix）と呼びます。
連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の変数を並べることにより以下のような\(n\)次の列ベクトル\begin{equation*}x=\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\cdots \\
x_{n}\end{pmatrix}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が得られます。これを連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の変数ベクトル（variable vector）と呼びます。
連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の定数項を並べることにより以下のような\(n\)次の列ベクトル\begin{equation*}b=\begin{pmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{m}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。これを連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の定数ベクトル（constant vector）と呼びます。
連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の係数行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の列の個数と変数ベクトル\(x\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)の行の個数はともに\(n\)で等しいため、行列ベクトル積\begin{equation*}Ax\in M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能であり、具体的には、\begin{eqnarray*}
Ax &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{pmatrix}\quad \because A,x\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\mathrm{row}\left( A,1\right) \cdot \mathrm{col}\left( B,1\right) \\
\mathrm{row}\left( A,2\right) \cdot \mathrm{col}\left( B,1\right) \\
\vdots \\
\mathrm{row}\left( A,m\right) \cdot \mathrm{col}\left( B,1\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{行列積の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{array}\right) \quad \because \text{内積の定義}
\end{eqnarray*}という\(m\)次元の列ベクトルになります。
以上を踏まえると、連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の係数行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それぞれの列ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、行列ベクトル積\begin{equation*}f_{A}\left( x\right) =Ax
\end{equation*}を像として定める写像\begin{equation*}
f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能ですが、この写像は線形写像になることが保証されます。
\end{equation*}を定める写像\(f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義すれば、これは線形写像になる。
連立1次方程式の解集合は線形写像の逆像
変数\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}の係数行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)から線形写像\begin{equation*}f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定義します。連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の定数ベクトル\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)は\(m\)次元ベクトルであるため線形写像\(f_{A}\)の終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)であり、したがって、\(f_{A}\)による\(b\)の逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f_{A}\left( x\right) =b\right\}
\end{equation*}をとることができますが、これは\(\left( 1\right) \)の解集合と一致することが保証されます。
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとする。ただし、\(a_{ij}\in \mathbb{R} \)は係数、\(b_{i}\in \mathbb{R} \)は定数項、\(x_{i}\in \mathbb{R} \)は変数である。\(\left( 1\right) \)の係数行列\(A\)と変数ベクトル\(x\)および定数ベクトル\(b\)を、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \\
x &=&\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{pmatrix}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \\
b &=&\begin{pmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{m}\end{pmatrix}\in M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}と定めた上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f_{A}\left( x\right) =Ax
\end{equation*}を定める線型写像\(f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。このとき、\(\left( 1\right) \)の解集合は、\begin{equation*}f_{A}^{-1}\left( b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f_{A}\left( x\right) =b\right\}
\end{equation*}と一致する。
連立1次方程式が与えられたとき、その解集合を直接求める代わりに、連立1次方程式の係数行列\(A\)から定義される線形写像\(f_{A}\)による定数ベクトル\(b\)の逆像\(f_{A}^{-1}\left( b\right) \)を求めてもかまいません。なぜなら、上の命題から明らかであるように、両者は一致するからです。連立1次方程式を線形写像を用いて表現することにより、線形写像に関する知識を利用しながら連立1次方程式を分析できるようになります。
\begin{array}{r}
x+y=7 \\
2x+4y=18\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}の係数行列と定数ベクトルは、\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 4\end{pmatrix}
\\
b &=&\left(
\begin{array}{c}
7 \\
18\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(\left( 1\right) \)の解集合は、\begin{eqnarray*}f_{A}^{-1}\left( b\right) &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ f_{A}\left( x,y\right) =b\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 4\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
7 \\
18\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}と一致します。ちなみに、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
5 \\
2\end{array}\right) \in f_{A}^{-1}\left( b\right)
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 4\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
5 \\
2\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
7 \\
18\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つからです。他に\(f_{A}^{-1}\left( b\right) \)の要素は存在せず、したがって、\(\left( 1\right) \)の解集合は、\begin{equation*}f_{A}^{-1}\left( b\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
5 \\
2\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}となります。
\begin{array}{r}
2x+3y=7 \\
4x+6y=10\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}の係数行列と定数ベクトルは、\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
4 & 6\end{pmatrix}
\\
b &=&\left(
\begin{array}{c}
7 \\
10\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(\left( 1\right) \)の解集合は、\begin{eqnarray*}f_{A}^{-1}\left( b\right) &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ f_{A}\left( x,y\right) =b\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
4 & 6\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
7 \\
10\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}と一致します。ちなみに、\begin{equation*}
f_{A}^{-1}\left( b\right) =\phi
\end{equation*}となります。実際、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
k_{1} \\
k_{2}\end{array}\right) \in f_{A}^{-1}\left( b\right)
\end{equation*}を満たすベクトル\(\left(k_{1},k_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)が存在するものと仮定すると、\begin{equation*}\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
4 & 6\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
k_{1} \\
k_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
7 \\
10\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
2k_{1}+3k_{2} \\
4k_{1}+6k_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
7 \\
10\end{array}\right)
\end{equation*}が真となりますが、このとき、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
2k_{1}+3k_{2}=7 \\
4k_{1}+6k_{2}=10\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
4k_{1}+6k_{2}=14 \\
4k_{1}+6k_{2}=10\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
14=16
\end{equation*}を得ますが、これは矛盾だからです。以上より、\(\left( 1\right) \)には解は存在しないことが明らかになりました。
\begin{array}{r}
x-y=1 \\
-2x+2y=-2\end{array}\right.
\end{equation*}の係数行列と定数ベクトルは、\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-2 & 2\end{pmatrix}
\\
b &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(\left( 1\right) \)の解集合は、\begin{eqnarray*}f_{A}^{-1}\left( b\right) &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ f_{A}\left( x,y\right) =b\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\
\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-2 & 2\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}と一致します。ちなみに、任意の\(t\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
t \\
t-1\end{array}\right) \in f_{A}^{-1}\left( b\right)
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-2 & 2\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
t \\
t-1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つからです。他に\(f_{A}^{-1}\left( b\right) \)の要素は存在せず、したがって、\(\left( 1\right) \)の解集合は、\begin{equation*}f_{A}^{-1}\left( b\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
t \\
t-1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}となります。
連立1次方程式の解集合はアフィン部分空間
連立1次方程式の解集合を以下のように表現することもできます。
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとする。ただし、\(a_{ij}\in \mathbb{R} \)は係数、\(b_{i}\in \mathbb{R} \)は定数項、\(x_{i}\in \mathbb{R} \)は変数である。\(\left( 1\right) \)の係数行列\(A\)と変数ベクトル\(x\)および定数ベクトル\(b\)を、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \\
x &=&\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{pmatrix}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \\
b &=&\begin{pmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{m}\end{pmatrix}\in M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}と定めた上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f_{A}\left( x\right) =Ax
\end{equation*}を定める線型写像\(f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(\left( 1\right) \)の解\(u\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(\left( 1\right) \)の解集合は、\begin{eqnarray*}f_{A}^{-1}\left( b\right) &=&u+\ker f_{A} \\
&=&\left\{ u+x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f_{A}\left( x\right) =0\right\}
\end{eqnarray*}となる。ただし、\(\ker f_{A}\)は\(f_{A}\)の核であり、\begin{equation*}\ker f_{A}=f_{A}^{-1}\left( 0\right)
\end{equation*}と定義される。
連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の解\(u\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(\left( 1\right) \)の解集合は、\begin{equation*}u+\ker f_{A}
\end{equation*}として定まることが明らかになりました。\(f_{A}\)は線形写像であり、線形写像の核は部分空間であるため、\(\ker f_{A}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。以上の事実は、連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の解集合が部分空間\(\ker f_{A}\)上のベクトルをいずれも\(u\)だけ移動して得られるベクトル集合であること、すなわち\(\mathbb{R} ^{n}\)のアフィン部分空間であることを意味します。
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right.
\end{equation*}が与えられているものとする。ただし、\(a_{ij}\in \mathbb{R} \)は係数、\(b_{i}\in \mathbb{R} \)は定数項、\(x_{i}\in \mathbb{R} \)は変数である。\(\left( 1\right) \)の解集合は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のアフィン部分空間である。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】