連立1次方程式の解集合は線形写像の逆像

連立1次方程式

連立1次方程式およびその解について簡単に復習します。

変数\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。ただし、\(a_{ij}\in \mathbb{R} \)は係数、\(b_{i}\in \mathbb{R} \)は定数項、\(x_{j}\in \mathbb{R} \)は変数です。変数の個数\(n\)と方程式の個数\(m \)はともに自然数であり、それぞれ任意に選ぶことができます。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の変数に具体的な実数\begin{equation}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
k_{1} \\
\vdots \\
k_{n}\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}をそれぞれ代入すると\(m\)個の命題\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}k_{1}+a_{12}k_{2}+\cdots +a_{1n}k_{n}=b_{1} \\
a_{21}k_{1}+a_{22}k_{2}+\cdots +a_{2n}k_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}k_{1}+a_{m2}k_{2}+\cdots +a_{mn}k_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{equation}が得られますが、\(\left(3\right) \)中のすべての命題が真である場合、\(\left(2\right) \)を\(\left( 1\right) \)の解と呼びます。逆に、\(\left( 3\right) \)の中に偽であるような命題が存在する場合、\(\left( 2\right) \)は\(\left( 1\right) \)の解ではありません。

連立1次方程式の解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そこで、連立1次方程式の解をすべて集めることにより得られる集合を解集合と呼びます。

すべての定数項が\(0\)であるような連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を同次連立1次方程式と呼びます。また、同次連立1次方程式ではない連立1次方程式、すなわち少なくとも1つの定数項が非ゼロであるような連立1次方程式を非同次連立1次方程式と呼びます。

連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられたとき、すべての定数項を\(0\)に置き換えれば同次連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}が得られますが、これを\(\left( 1\right) \)に付随する同次連立1次方程式と呼びます。

同次連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}の変数に以下の値\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を代入すると\(m\)個の命題\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}0+a_{12}0+\cdots +a_{1n}0=0 \\
a_{21}0+a_{22}0+\cdots +a_{2n}0=0 \\
\vdots \\
a_{m1}0+a_{m2}0+\cdots +a_{mn}0=0\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
0=0 \\
0=0 \\
\vdots \\
0=0\end{array}\right.
\end{equation*}が得られますが、これらは明らかに真であるため\(\left( 2\right) \)は同次連立1次方程式の解です。ゼロベクトルは任意の同次連立1次方程式の解であるということです。このような解を自明解と呼びます。また、自明解とは異なる解、すなわちゼロベクトルとは異なる解を自明ではない解と呼びます。

連立1次方程式の解集合と、それに随伴する同次連立1次方程式の解集合の間には以下の関係が成り立ちます。

連立1次方程式の係数行列から定義される線形写像

線形写像の知識を利用することにより連立1次方程式の解を構造を分析したり、解を体系的に求めることができるようになります。準備として、連立1次方程式を線形写像を用いて表現します。

連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の係数を並べることにより以下のような\(m\times n\)行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が得られます。これを連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の係数行列（coefficient matrix）と呼びます。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の変数を並べることにより以下のような\(n\)次の列ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\cdots \\
x_{n}\end{pmatrix}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が得られます。これを連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の変数ベクトル（variable vector）と呼びます。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の定数項を並べることにより以下のような\(m\)次の列ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{m}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。これを連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の定数ベクトル（constant vector）と呼びます。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の係数行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の列の個数と変数ベクトル\(\boldsymbol{x}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)の行の個数はともに\(n\)で等しいため、行列ベクトル積\begin{equation*}A\boldsymbol{x}\in M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能であり、具体的には、\begin{eqnarray*}
A\boldsymbol{x} &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{pmatrix}\quad \because A,x\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\mathrm{row}\left( A,1\right) \cdot \mathrm{col}\left( B,1\right) \\
\mathrm{row}\left( A,2\right) \cdot \mathrm{col}\left( B,1\right) \\
\vdots \\
\mathrm{row}\left( A,m\right) \cdot \mathrm{col}\left( B,1\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{行列積の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{array}\right) \quad \because \text{内積の定義}
\end{eqnarray*}という\(m\)次元の列ベクトルになります。

以上を踏まえると、連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の係数行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それぞれの列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、行列ベクトル積\begin{equation*}\boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =A\boldsymbol{x}
\end{equation*}を像として定める写像\begin{equation*}
\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能ですが、この写像は線形写像になることが保証されます。

連立1次方程式の解集合は線形写像の逆像

変数\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}の係数行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)から線形写像\begin{equation*}\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定義します。連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の定数ベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)は\(m\)次元ベクトルであるため線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}\)の終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)であり、したがって、\(\boldsymbol{f}_{A}\)による\(\boldsymbol{b}\)の逆像\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{b}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{f}_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{b}\right\}
\end{equation*}をとることができますが、これは\(\left( 1\right) \)の解集合と一致することが保証されます。

連立1次方程式が与えられたとき、その解集合を直接求める代わりに、連立1次方程式の係数行列\(A\)から定義される線形写像\(\boldsymbol{f}_{A}\)による定数ベクトル\(\boldsymbol{b}\)の逆像\(\boldsymbol{f}_{A}^{-1}\left( \boldsymbol{b}\right) \)を求めてもかまいません。なぜなら、上の命題から明らかであるように、両者は一致するからです。連立1次方程式を線形写像を用いて表現することにより、線形写像に関する知識を利用しながら連立1次方程式を分析できるようになります。

連立1次方程式の解集合はアフィン部分空間

連立1次方程式の解集合を以下のように表現することもできます。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の解\(\boldsymbol{u}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(\left( 1\right) \)の解集合は、\begin{equation*}\boldsymbol{u}+\ker \boldsymbol{f}_{A}
\end{equation*}として定まることが明らかになりました。\(\boldsymbol{f}_{A}\)は線形写像であり、線形写像の核は部分空間であるため、\(\ker \boldsymbol{f}_{A}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。以上の事実は、連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の解集合が部分空間\(\ker \boldsymbol{f}_{A}\)上のベクトルをいずれも\(\boldsymbol{u}\)だけ移動して得られるベクトル集合であること、すなわち\(\mathbb{R} ^{n}\)のアフィン部分空間であることを意味します。ちなみに、\(\boldsymbol{f}_{A}^{-1}\left( \boldsymbol{0}\right) =\ker \boldsymbol{f}_{A}\)であり、\(\boldsymbol{f}_{A}^{-1}\left( \boldsymbol{0}\right) \)は\(\left( 1\right) \)に随伴する同次連立1次方程式の解集合であるため、\(\left(1\right) \)に随伴する同次連立1次方程式の解集合は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。

演習問題