連立1次方程式の解集合は線形写像の逆像

連立1次方程式

連立1次方程式およびその解について簡単に復習します。

変数\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。ただし、\(a_{ij}\in \mathbb{R} \)は係数、\(b_{i}\in \mathbb{R} \)は定数項、\(x_{j}\in \mathbb{R} \)は変数です。変数の個数\(n\)と方程式の個数\(m\)はともに自然数であり、それぞれ任意に選ぶことができます。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の変数に具体的な実数\begin{equation}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
k_{1} \\
\vdots \\
k_{n}\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}をそれぞれ代入すると\(m\)個の命題\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}k_{1}+a_{12}k_{2}+\cdots +a_{1n}k_{n}=b_{1} \\
a_{21}k_{1}+a_{22}k_{2}+\cdots +a_{2n}k_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}k_{1}+a_{m2}k_{2}+\cdots +a_{mn}k_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{equation}が得られますが、\(\left(3\right) \)中のすべての命題が真である場合、\(\left(2\right) \)を\(\left( 1\right) \)の解と呼びます。逆に、\(\left( 3\right) \)の中に偽であるような命題が存在する場合、\(\left( 2\right) \)は\(\left( 1\right) \)の解ではありません。

連立1次方程式の解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そこで、連立1次方程式の解をすべて集めてできる集合を解集合と呼びます。

すべての定数項が\(0\)であるような連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を同次連立1次方程式と呼びます。また、同次連立1次方程式ではない連立1次方程式、すなわち少なくとも1つの定数項が非ゼロであるような連立1次方程式を非同次連立1次方程式と呼びます。

連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられたとき、すべての定数項を\(0\)に置き換えれば同次連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}が得られますが、これを\(\left( 1\right) \)に随伴する同次連立1次方程式と呼びます。

同次連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}の変数に以下の値\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を代入すると\(m\)個の命題\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}0+a_{12}0+\cdots +a_{1n}0=0 \\
a_{21}0+a_{22}0+\cdots +a_{2n}0=0 \\
\vdots \\
a_{m1}0+a_{m2}0+\cdots +a_{mn}0=0\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
0=0 \\
0=0 \\
\vdots \\
0=0\end{array}\right.
\end{equation*}が得られますが、これらは明らかに真であるため\(\left( 2\right) \)は同次連立1次方程式の解です。ゼロベクトルは任意の同次連立1次方程式の解であるということです。このような解を自明解と呼びます。また、自明解とは異なる解、すなわちゼロベクトルとは異なる解を自明ではない解と呼びます。

連立1次方程式の解集合と、それに随伴する同次連立1次方程式の解集合の間には以下の関係が成り立ちます。

連立1次方程式の係数行列から定義される線形写像

線形写像の知識を利用することにより連立1次方程式の解を構造を分析したり、解を体系的に求めることができるようになります。準備として、連立1次方程式を線形写像を用いて表現します。

連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の係数を並べることにより以下のような\(m\times n\)行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が得られます。これを連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の係数行列（coefficient matrix）と呼びます。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の変数を並べることにより以下のような\(n\)次の列ベクトル\begin{equation*}x=\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\cdots \\
x_{n}\end{pmatrix}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が得られます。これを連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の変数ベクトル（variable vector）と呼びます。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の定数項を並べることにより以下のような\(n\)次の列ベクトル\begin{equation*}b=\begin{pmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{m}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。これを連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の定数ベクトル（constant vector）と呼びます。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の係数行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の列の個数と変数ベクトル\(x\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)の行の個数はともに\(n\)で等しいため、行列ベクトル積\begin{equation*}Ax\in M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能であり、具体的には、\begin{eqnarray*}
Ax &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{pmatrix}\quad \because A,x\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\mathrm{row}\left( A,1\right) \cdot \mathrm{col}\left( B,1\right) \\
\mathrm{row}\left( A,2\right) \cdot \mathrm{col}\left( B,1\right) \\
\vdots \\
\mathrm{row}\left( A,m\right) \cdot \mathrm{col}\left( B,1\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{行列積の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{array}\right) \quad \because \text{内積の定義}
\end{eqnarray*}という\(m\)次元の列ベクトルになります。

以上を踏まえると、連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の係数行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それぞれの列ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、行列ベクトル積\begin{equation*}f_{A}\left( x\right) =Ax
\end{equation*}を像として定める写像\begin{equation*}
f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能ですが、この写像は線形写像になることが保証されます。

連立1次方程式の解集合は線形写像の逆像

変数\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}の係数行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)から線形写像\begin{equation*}f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定義します。連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の定数ベクトル\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)は\(m\)次元ベクトルであるため線形写像\(f_{A}\)の終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)であり、したがって、\(f_{A}\)による\(b\)の逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f_{A}\left( x\right) =b\right\}
\end{equation*}をとることができますが、これは\(\left( 1\right) \)の解集合と一致することが保証されます。

連立1次方程式が与えられたとき、その解集合を直接求める代わりに、連立1次方程式の係数行列\(A\)から定義される線形写像\(f_{A}\)による定数ベクトル\(b\)の逆像\(f_{A}^{-1}\left( b\right) \)を求めてもかまいません。なぜなら、上の命題から明らかであるように、両者は一致するからです。連立1次方程式を線形写像を用いて表現することにより、線形写像に関する知識を利用しながら連立1次方程式を分析できるようになります。

連立1次方程式の解集合はアフィン部分空間

連立1次方程式の解集合を以下のように表現することもできます。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の解\(u\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(\left( 1\right) \)の解集合は、\begin{equation*}u+\ker f_{A}
\end{equation*}として定まることが明らかになりました。\(f_{A}\)は線形写像であり、線形写像の核は部分空間であるため、\(\ker f_{A}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。以上の事実は、連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の解集合が部分空間\(\ker f_{A}\)上のベクトルをいずれも\(u\)だけ移動して得られるベクトル集合であること、すなわち\(\mathbb{R} ^{n}\)のアフィン部分空間であることを意味します。