連立1次方程式に解が存在するための必要十分条件

変数\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right.
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、\(a_{ij}\in \mathbb{R} \)は係数、\(b_{i}\in \mathbb{R} \)は定数項、\(x_{j}\in \mathbb{R} \)は変数です。変数の個数\(n\)と方程式の個数\(m \)はともに自然数であり、それぞれ任意に選ぶことができます。連立1次方程式は解を持つとは限りません。では、どのような条件が満たされていれば解が存在することを保証できるのでしょうか。順番に考えます。

連立1次方程式はベクトル方程式として表現できることを示しました。結果だけを簡単に復習します。

連立1次方程式が与えられたとき、その解を分析する代わりに、連立1次方程式のベクトル表現に相当するベクトル方程式の解を分析してもかまいません。なぜなら、上の命題から明らかであるように両者の解集合は一致するからです。連立1次方程式をベクトル方程式に読み替えることにより、ベクトルに関する知識を利用しながら連立1次方程式を分析できるようになります。

連立1次方程式と同値なベクトル方程式\begin{equation}
x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) =\boldsymbol{b} \quad \cdots (1)
\end{equation}に解が存在することとは、\begin{equation}
\exists \left(
\begin{array}{c}
k_{1} \\
\vdots \\
k_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}:k_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left(
A,n\right) =\boldsymbol{b} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを意味します。これは、定数ベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)が係数行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の列ベクトルからなる集合\begin{equation*}\left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right)
\right\} \subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}の何らかの線型結合として表現可能であることを意味します。線型スパンを用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\boldsymbol{b}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right)
,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right)
\end{equation*}となります。

この命題は連立1次方程式と同値なベクトル方程式に解が存在するための必要十分条件を与えているため、解が存在しないことを示す際にも利用できます。つまり、ベクトル方程式\begin{equation*}
x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}について、\begin{equation*}
\boldsymbol{b}\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right)
\end{equation*}が成り立つ場合、このベクトル方程式には解は存在しません。

線型スパンを用いた連立1次方程式に解が存在するための必要十分条件

先の命題を以下のように言い換えることもできます。

この命題は連立1次方程式と同値なベクトル方程式に解が存在するための必要十分条件を与えているため、解が存在しないことを示す際にも利用できます。つまり、ベクトル方程式\begin{equation*}
x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}について、\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right) \not=\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) ,\boldsymbol{b}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つ場合、このベクトル方程式には解は存在しません。

行列の階数を用いた連立1次方程式に解が存在するための必要十分条件

先の命題を以下のように言い換えることもできます。

この命題は連立1次方程式と同値なベクトル方程式に解が存在するための必要十分条件を与えているため、解が存在しないことを示す際にも利用できます。つまり、ベクトル方程式\begin{equation*}
x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}について、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( A\right) \not=\mathrm{rank}\left( \widetilde{A}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、このベクトル方程式には解は存在しません。

行標準形を用いた連立1次方程式に解が存在するための必要十分条件

先の命題を以下のように言い換えることもできます。

連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right.
\end{equation*}の係数行列は、\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}と定義され、拡大係数行列は、\begin{equation*}
\widetilde{A}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m}\end{pmatrix}\end{equation*}と定義されますが、先の命題より、これらの階数が一致することは、すなわち、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( A\right) =\mathrm{rank}\left( \widetilde{A}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、連立1次方程式に解が存在するための必要十分条件です。したがって、ガウス・ジョルダンの消去法を通じて\(A,\widetilde{A}\)をそれぞれ行標準形\(B,\widetilde{B}\)へ行簡約し、これらの行標準形に含まれる主成分の個数が一致することを確認すれば、もとの連立1次方程式に解が存在すること示したことになります。

先の命題は連立1次方程式に解が存在するための必要十分条件を与えているため、連立1次方程式に解が存在しないことを示す際にも利用できます。つまり、ベクトル方程式\begin{equation*}
x_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +x_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}について、\(A\)の行標準形\(B\)に含まれる主成分の個数と\(\widetilde{A}\)の行標準形\(\widetilde{B}\)に含まれる主成分の個数が異なる場合、このベクトル方程式には解は存在しません。

演習問題