掃き出し法
変数\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right.
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、\(a_{ij}\in \mathbb{R} \)は係数、\(b_{i}\in \mathbb{R} \)は定数項、\(x_{j}\in \mathbb{R} \)は変数です。変数の個数\(n\)と方程式の個数\(m\)はともに自然数であり、それぞれ任意に選ぶことができます。
連立1次方程式に解が存在することを判定する方法や、解の個数を特定する方法を明らかにしました。結果だけを復習します。
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとする。ただし、\(a_{ij}\in \mathbb{R} \)は係数、\(b_{i}\in \mathbb{R} \)は定数項、\(x_{i}\in \mathbb{R} \)は変数である。\(\left( 1\right) \)の係数行列\(A\)と定数ベクトルを、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \\
b &=&\begin{pmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{m}\end{pmatrix}\in M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}と定め、\(\left( 1\right) \)の拡大係数行列\(\widetilde{A}\)を、\begin{equation*}\widetilde{A}=\left( A,b\right) \in M_{m,n+1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と定める。以下の条件\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( A\right) =\mathrm{rank}\left( \widetilde{A}\right)
\end{equation*}が成り立つことは\(\left(1\right) \)が解を持つための必要十分条件である。特に、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( A\right) =\mathrm{rank}\left( \widetilde{A}\right) =n
\end{equation*}が成り立つことは\(\left(1\right) \)が解を1つだけ持つための必要十分条件であり、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( A\right) =\mathrm{rank}\left( \widetilde{A}\right) <n
\end{equation*}が成り立つことは\(\left(1\right) \)が複数の解を持つための必要十分条件である。
行列の階数はその行列の行標準形の階数と一致します。したがって、連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right.
\end{equation*}の拡大係数行列\begin{equation*}
\widetilde{A}=\left( A,b\right)
\end{equation*}にガウス・ジョルダンの消去法を適用した上で、得られた行標準形\begin{equation*}
\widetilde{B}=\left( B,c\right)
\end{equation*}について、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( B\right) =\mathrm{rank}\left( \widetilde{B}\right)
\end{equation*}が成り立つことを確認すれば、連立1次方程式が解を持つことを示したことになります。特に、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( B\right) =\mathrm{rank}\left( \widetilde{B}\right) =n
\end{equation*}の場合には解が1つだけ存在し、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( B\right) =\mathrm{rank}\left( \widetilde{B}\right) <n
\end{equation*}の場合には複数の解が存在します。
連立1次方程式の解を具体的に特定するためにはどうすればよいでしょうか。以前に示した以下の命題がヒントになります。
\end{equation}が与えられているものとする。ただし、\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は係数行列であり、\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)は定数ベクトルである。拡大係数行列\begin{equation*}\widetilde{A}=\left( A,b\right) \in M_{m,n+1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と行同値な行列\begin{equation*}
\widetilde{B}=\left( B,c\right) \in M_{m,n+1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を任意に選んだ上で、行列方程式\begin{equation}
Bx=c \quad \cdots (2)
\end{equation}を定義する。このとき、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)の解集合は一致する。
連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が解を持つものとします。つまり、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( B\right) =\mathrm{rank}\left( \widetilde{B}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。連立1次方程式\(\left( 1\right) \)は行列方程式\begin{equation}Ax=b \quad \cdots (2)
\end{equation}と同値であるため、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)の解集合は一致します。拡大係数行列\begin{equation*}\widetilde{A}=\left( A,b\right)
\end{equation*}にガウス・ジョルダンの消去法を適用した上で、得られた行標準形\begin{equation*}
\widetilde{B}=\left( B,c\right)
\end{equation*}から行列方程式\begin{equation}
Bx=b \quad \cdots (3)
\end{equation}を定義します。ガウス・ジョルダンの消去法は有限回の行基本操作であるため\(\widetilde{A}\)と\(\widetilde{B}\)は行同値であり、したがって先の命題より\(\left( 2\right) \)と\(\left( 3\right) \)の解集合は一致します。ゆえに\(\left( 1\right) \)と\(\left(3\right) \)の解集合もまた一致するため、\(\left( 1\right) \)を解く代わりに\(\left( 3\right) \)を解くことができます。\(B\)は行標準形であるため、\(\left( 3\right) \)の解集合は容易に特定できます。このような解法を吐き出し法（row reduction）やガウスの消去法（Gaussian elimination）などと呼びます。
掃き出し法の利用例：解が1つだけ存在する場合
連立1次方程式が解を1つだけ持つ場合、掃き出し法を用いることにより以下の形で解を特定できます。
\begin{array}{r}
x+2y+2z=2 \\
3x-2y-z=5 \\
2x-5y+3z=-4 \\
x+4y+6z=0\end{array}\right.
\end{equation*}について考えます。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{eqnarray*}
\widetilde{A} &=&\left( A,b\right) \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 2 \\
3 & -2 & -1 & 5 \\
2 & -5 & 3 & -4 \\
1 & 4 & 6 & 0\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( A\right) =\mathrm{rank}\left( \widetilde{A}\right) =3
\end{equation*}を得ます。変数の個数は\(3\)であるため、連立1次方程式は解を1つだけ持つことが明らかになりました。拡大係数行列\(\widetilde{A}\)の行標準形は、\begin{equation*}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}であるため、与えられた連立1次方程式は以下の行列方程式\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
0\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}と同値です。したがって、連立1次方程式の解集合は、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
-1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}です。
掃き出し法の利用例：複数の解が存在する場合
連立1次方程式が複数の解を持つ場合、掃き出し法を用いることにより以下の形で解集合を特定できます。
\begin{array}{r}
x+y+z=6 \\
2x+3y+4z=15 \\
x+2y+3z=9\end{array}\right.
\end{equation*}について考えます。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{eqnarray*}
\widetilde{A} &=&\left( A,b\right) \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 6 \\
2 & 3 & 4 & 15 \\
1 & 2 & 3 & 9\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( A\right) =\mathrm{rank}\left( \widetilde{A}\right) =2
\end{equation*}を得ます。変数の個数は\(3\)であるため、与えられた連立1次方程式は複数の解を持つことが明らかになりました。拡大係数行列\(\widetilde{A}\)の行標準形は、\begin{equation*}\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}であるため、与えられた連立1次方程式は以下の行列方程式\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
3 \\
3 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x-z \\
y+2z \\
0\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
3 \\
3 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}と同値です。これは連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
x-z=3 \\
y+2z=3\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
x=3+z \\
y=3-2z\end{array}\right.
\end{equation*}と同値であるため、その解集合は、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
3+z \\
3-2z \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ z\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}となります。これはもとの連立1次方程式の解集合でもあります。
解が存在しない場合
連立1次方程式が解を持たない場合、そもそも解を求めることはできません。
\begin{array}{r}
2x+3y-2z=5 \\
x-2y+3z=2 \\
4x-y+4z=1\end{array}\right.
\end{equation*}について考えます。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{eqnarray*}
\widetilde{A} &=&\left( A,b\right) \\
&=&\begin{pmatrix}
2 & 3 & -2 & 5 \\
1 & -2 & 3 & 2 \\
4 & -1 & 4 & 1\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{5}{7} & 0 \\
0 & 1 & -\frac{8}{7} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( A\right) =2\not=3=\mathrm{rank}\left( \widetilde{A}\right)
\end{equation*}となるため、与えられた連立1次方程式は解を持たないことが明らかになりました。したがって、掃き出し法を用いて解を特定することはできません。
演習問題
\begin{array}{r}
y+2z=1 \\
x+3z=2 \\
2x+3y=1\end{array}\right.
\end{equation*}の解集合を求めてください。
\begin{array}{r}
y+2z=1 \\
-x+3z=1 \\
-2x-3y=1\end{array}\right.
\end{equation*}の解集合を求めてください。
\begin{array}{r}
y+2z=1 \\
-x+3z=2 \\
-2x-3y=1\end{array}\right.
\end{equation*}の解集合を求めてください。
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