連立1次方程式を用いた線型従属であることの判定
複数かつ有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、この中の少なくとも1つのベクトルが他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表される場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \exists a_{1},\cdots
,a_{i-1},a_{i+1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}_{i}=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{i-1}\boldsymbol{x}_{i-1}+a_{i+1}\boldsymbol{x}_{i+1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)は線型従属であると言います。
線型スパンの定義を踏まえると、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型従属であることは、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\boldsymbol{x}_{i}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{i-1},\boldsymbol{x}_{i+1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つこと必要十分です。つまり、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型従属であることとは、その中の少なくとも1つのベクトルが残りのベクトルからなるベクトル集合の線型スパンの要素であることを意味します。
列ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、そこから変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}=\boldsymbol{0}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を定義します。この方程式に対して、以下の条件\begin{equation}
\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}\not=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす解\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)が存在することは、列ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型従属であるための必要十分条件です。
方程式\(\left( 1\right) \)は変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\)に関する同次連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
x_{11}a_{1}+\cdots +x_{m1}a_{m}=0 \\
\vdots \\
x_{n1}a_{1}+\cdots +x_{nm}a_{m}=0\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{equation}と必要十分です。\(\left(2\right) \)が以下の解\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{m}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を持つことは確定します。したがって、\(\left( 3\right) \)が複数の解を持つ場合には、\(\left( 3\right) \)が\(\left( 2\right) \)を満たす解を持つこととなり、したがって列ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)は線型従属になります。結論を整理すると、\(\left( 3\right) \)が複数の解を持つことを示せば、列ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型従属であることを示したことになります。
同次連立1次方程式\(\left(3\right) \)は\(m\)個の変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\)を持つため、\(\left( 3\right) \)の係数行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
x_{11} & \cdots & x_{m1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
x_{n1} & \cdots & x_{nm}\end{pmatrix}\end{equation*}に対してガウス・ジョルダンの消去法を適用した上で、得られた行標準形\(B\)について、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( B\right) <m
\end{equation*}が成り立つ場合、\(\left(3\right) \)は複数の解を持つため、列ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)は線型従属です。
\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
-1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
7 \\
-4 \\
1\end{array}\right) \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}が線型従属であることを示します。そこで、変数\(a_{1},a_{2},a_{3}\in \mathbb{R} \)に関する連立方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+2a_{2}+7a_{3}=0 \\
-2a_{1}+a_{2}-4a_{3}=0 \\
a_{1}-a_{2}+a_{3}=0\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}の係数行列を行簡約すると、\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 7 \\
-2 & 1 & -4 \\
1 & -1 & 1\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\quad \because \text{ガウス・ジョルダンの消去法} \\
&=&B
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( B\right) =2<3
\end{equation*}を得ます。\(\left( 2\right) \)の変数の個数は\(3\)であるため、\(\left( 2\right) \)は複数の解を持ちます。したがって、\(\left( 1\right) \)は線型従属です。
連立1次方程式を用いた線型独立であることの判定
複数かつ有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が線型従属であることとは、その中の少なくとも1つのベクトルが他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できること、すなわち、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \exists a_{1},\cdots
,a_{i-1},a_{i+1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}_{i}=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{i-1}\boldsymbol{x}_{i-1}+a_{i+1}\boldsymbol{x}_{i+1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。逆に、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型従属ではない場合には、すなわち、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \forall a_{1},\cdots
,a_{i-1},a_{i+1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}_{i}\not=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{i-1}\boldsymbol{x}_{i-1}+a_{i+1}\boldsymbol{x}_{i+1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つ場合には、ベクトル集合は線型独立であると言います。これは、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)の中のどのベクトルも他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できないことを意味します。
線型スパンの定義を踏まえると、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型独立であることは、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\boldsymbol{x}_{i}\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{i-1},\boldsymbol{x}_{i+1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つこと必要十分です。つまり、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型独立であることとは、その中のどのベクトルも残りのベクトルからなるベクトル集合の線型スパンの要素ではないことを意味します。
列ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、そこから変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}=\boldsymbol{0}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を定義します。この方程式の解が、\begin{equation}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)だけであることは、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型独立であるための必要十分条件です。
方程式\(\left( 1\right) \)は変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\)に関する同次連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
x_{11}a_{1}+\cdots +x_{m1}a_{m}=0 \\
\vdots \\
x_{n1}a_{1}+\cdots +x_{nm}a_{m}=0\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{equation}と必要十分です。\(\left(2\right) \)が以下の解\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{m}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を持つことは確定します。したがって、\(\left( 2\right) \)が解を1つだけ持つ場合には、\(\left( 3\right) \)は\(\left( 2\right) \)を満たす解だけを持つこととなり、したがって列ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)は線型独立になります。結論を整理すると、\(\left( 3\right) \)が解を1つだけ持つことを示せば、列ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型独立であることを示したことになります。
連立1次方程式\(\left( 3\right) \)は\(m\)個の変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\)を持つため、\(\left( 3\right) \)の係数行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
x_{11} & \cdots & x_{m1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
x_{n1} & \cdots & x_{nm}\end{pmatrix}\end{equation*}に対してガウス・ジョルダンの消去法を適用した上で、得られた行標準形\(B\)について、\begin{equation*}\mathrm{rank}\left( B\right) =m
\end{equation*}が成り立つ場合、\(\left(3\right) \)は解を1つだけ持つため、列ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)は線型独立です。
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
-3\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-3 \\
2\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
2 \\
-1 \\
5\end{array}\right) \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}が線型独立であることを示します。そこで、変数\(a_{1},a_{2},a_{3}\in \mathbb{R} \)に関する連立方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+a_{2}+2a_{3}=0 \\
2a_{1}-3a_{2}-a_{3}=0 \\
-3a_{1}+2a_{2}+5a_{3}=0\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}の係数行列を行簡約すると、\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
2 & -3 & -1 \\
-3 & 2 & 5\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1\end{pmatrix}\quad \because \text{ガウス・ジョルダンの消去法} \\
&=&B
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\mathrm{rank}\left( B\right) =3=3
\end{equation*}を得ます。\(\left( 2\right) \)の変数の個数は\(3\)であるため、\(\left( 2\right) \)は解を1つだけ持ちます。したがって、\(\left( 1\right) \)は線型独立です。
演習問題
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
a \\
1 \\
-a\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2a \\
3a+1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}が線型独立であるために\(a\)が満たすべき条件を特定してください。
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
a \\
5\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
4 \\
b\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}が線型従属であるために\(a,b\)が満たすべき条件を特定してください。
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