距離空間における触点・閉包

触点・閉包

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in X\)の任意の近傍が\(A\)と交わるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(a)\cap A\not=\phi
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の触点（adherent point）と呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の触点であることとは、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(A\)の点が存在することを意味します。

逆に、点\(a\in X\)が集合\(A\)の触点ではないことは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(a)\cap A=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の触点ではないこととは、点\(a\)から十分近い場所に\(A\)の点が存在しないことを意味します。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)のすべての触点からなる集合を\(A\)の閉包（closure）と呼び、\begin{equation*}A^{a},\quad \mathrm{cl}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in X\)に対して以下の関係\begin{equation*}x\in A^{a}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(x)\cap
A\not=\phi
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

点\(a\in X\)が集合\(A\)の触点ではないことは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、これは、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}と必要十分です。これは\(a\)が\(A\)の外点であることの定義に他なりません。以上より、\begin{equation*}a\not\in A^{a}\Leftrightarrow a\in A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\begin{equation*}
a\in A^{a}\Leftrightarrow a\not\in A^{e}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A^{a}=\left( A^{e}\right) ^{c}
\end{equation*}を得ます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の触点であることと\(a\)が\(A\)の外点ではないことは必要十分であるため、\(A\)の閉包は\(A\)の外部の補集合と一致します。

さらに、点\(a\)が集合\(A\)の外点でないことと\(a\)が\(A\)の内点または境界点であることは必要十分であるため、すなわち、\begin{equation*}a\not\in A^{e}\Leftrightarrow a\in A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A^{e}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
A^{a}=A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}を得ます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の触点であることと\(a\)が\(A\)の内点または境界点であることは必要十分であるため、\(A\)の閉包は\(A \)の内部と境界の和集合と一致します。

結論をまとめると以下の命題を得ます。

以上の命題より、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)のすべての触点を特定するために、\(A\)のすべての内点と境界点を特定してもよいことが明らかになりました。もしくは、集合\(A\)の外点をすべて特定すれば、それ以外のすべての点が\(A\)のすべての触点になります。

点列を用いた触点の定義

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in X\)が\(A\)の触点であることを判定する方法としては、触点の定義に照らし合わせて確認する方法や、\(a\)が\(A\)の外点でないことを示す方法、もしくは\(a\)が\(A\)の内点または外点であることを示す方法などがあります。ただ、触点は点列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が触点であることを容易に判定できることがあります。順を追って説明します。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)と点\(a\in X\)をそれぞれ任意に選びます。一般に、\(A\)の要素を項とするとともに点\(a\)に収束する点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は存在するとは限りません。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は存在するとは限らないということです。しかし、点\(a\)が集合\(A\)の触点である場合には、以上の性質を満たす点列\(\left\{x_{n}\right\} \)が必ず存在します。

上の命題の逆もまた成立します。つまり、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)と点\(a\in X\)が与えられたとき、\(A\)の点を項とするとともに点\(a\)へ収束する点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在する場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在する場合、この点\(a\)は集合\(A\)の触点になることが保証されます。

以上の2つの命題より、触点という概念は点列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)の要素を項とし点\(a\)へ収束する点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在する場合、極限に相当する点\(a\)のいくらでも近い場所に\(\left\{ x_{n}\right\} \)の点が無数に存在します。したがって、\(a\)が\(A\)の触点であることは、\(A\)上の点をたどりながら点\(a\)へ限りなく近づくことが必ず可能であることを意味します。

点列を用いて触点であることを判定する

先の命題より、触点に関する議論を点列の収束に関する議論に置き換えることができます。つまり、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in X\)が\(A\)の触点であることを示すためには、\(A\)の要素を項とするとともに\(a\)へ収束する点列を具体的に提示すればよいということになります。

点列を用いて触点ではないことを判定する

繰り返しになりますが、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)と点\(a\in X\)について、\(a\)が\(A\)の触点であることは、\(A\)の要素を項とするとともに\(a\)へ収束する点列が存在することと必要十分です。したがって、\(A\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列が存在しないことを示せば、\(a\)は\(A\)の触点ではないことを示したことになります。もしくは、\(A\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列が存在するものと仮定して矛盾を導けば、背理法より、\(a\)は\(A\)の触点ではないことになります。

閉包を用いた閉集合の定義

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\(A\)の閉包は\(A\)を部分集合として持ちます。つまり、\begin{equation*}A\subset A^{a}
\end{equation*}という関係が常に成り立ちます。\(A\)の任意の点は\(A\)の触点であるということです。言い換えると、\(A\)の任意の点は\(A\)の内点または境界点であるということです。

では逆に、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)について、以下の関係\begin{equation*}A^{a}\subset A
\end{equation*}もまた必ず成り立つのでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

では、どのような条件のもとで\(A^{a}\subset A\)が成立するのでしょうか。実は、\(A\)が距離空間\(X\)上の閉集合である場合、そしてその場合にのみ\(A^{a}\subset A\)という関係もまた成立します。

距離空間\(X\)の任意の部分集合\(A\)について\(A\subset A^{a}\)が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}A^{a}\subset A &\Leftrightarrow &A^{a}\subset A\wedge A\subset A^{a}\quad
\because A\subset A^{a}\text{は恒真式} \\
&\Leftrightarrow &A^{a}=A
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A^{a}\subset A\Leftrightarrow A^{a}=A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、先の命題を以下のように言い換えることもできます。

以上の命題は、閉集合という概念が閉包という概念から定義可能であることを意味します。つまり、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)に対して、その閉包\(A^{a}\)が定義されていれば、以下の条件\begin{equation*}A\text{は}X\text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{a}=A
\end{equation*}を満たすものとして閉集合の概念を間接的に定義できるということです。

閉包を用いた閉集合であることの判定

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}X\text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{a}=A
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(X\)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、\(A\)の閉包\(A^{a}\)を特定した上で、それが\(A\)と一致することを示してもよいということになります。

閉包を用いた閉集合ではないことの判定

距離空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}X\text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{a}=A
\end{equation*}が成り立つのであれば、以下の関係\begin{equation*}
A\text{は}X\text{上の閉集合ではない}\Leftrightarrow A^{a}\not=A
\end{equation*}もまた成立します。したがって、\(X\)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、\(A\)の閉包\(A^{a}\)を特定した上で、それが\(A\)と一致しないことを示してもよいということになります。

ちなみに、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことは\(A\)が開集合であることを必ずしも意味しないため、\(A^{a}\not=A\)を示した場合、\(A\)が開集合であることを示したことにはなりません。

閉集合を用いた閉包の定義

距離空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A^{a}=\left( A^{e}\right) ^{c}
\end{equation*}が成り立つことを先に示しました。外部\(A^{e}\)は\(X\)上の開集合であるため、その補集合\(\left( A^{e}\right) ^{c}\)は閉集合です。したがってそれと一致する\(A^{a}\)もまた閉集合です。つまり、\(X\)の任意の部分集合の閉包は\(X\)上の閉集合であるということです。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その閉包\(A^{a}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{a}\)は\(A\)を部分集合として持つ閉集合です。\(A\)を部分集合として持つ閉集合は\(A^{a}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{a}\)はそのような集合の中でも最小のものです。つまり、\(A\)を部分集合として持つような\(X\)上の閉集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{a}\)の間には\(A^{a}\subset B\)という関係が成り立つということです（演習問題）。

距離空間\(X\)の閉集合系\(\mathcal{A}\left( X\right) \)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{A}\left(X\right) \)に属する\(X\)上の閉集合の中でも、\(A\)を部分集合として持つものの中で最小のものをとればそれは\(A\)の閉包\(A^{a}\)になります。したがって\(X\)の部分集合の閉包という概念は、\(X\)の閉集合系\(\mathcal{A}\left( X\right) \)から間接的に定義することも可能です。さらに、閉集合系は開集合系から定義可能であるため、結局、閉包もまた開集合系から定義可能な概念です。

演習問題