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距離空間の位相

距離空間における外点・外部

目次

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外点・外部

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in X\)の近傍の中に\(A\)の補集合\(A^{c}=X\backslash A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の外点(exterior point)と呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の外点であることとは、十分小さい距離\(\varepsilon \)を選べば、\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも短い場所にある任意の点が\(A^{c}\)の点になること、すなわち\(A\)の点でないことが保証されることを意味します。

逆に、点\(a\in X\)が集合\(A\)の外点でないこととは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の外点でないこととは、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(A\)の要素が必ず存在することを意味します。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)のすべての外点からなる集合を\(A\)の外部(exterior)と呼び、\begin{equation*}A^{e},\quad \mathrm{ext}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}x\in A^{e}\Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A^{c}\quad \because \text{外部の定義}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

繰り返しになりますが、集合\(A\)の外点\(a\in A^{e}\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立ちます。近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)はその中心\(a\)を要素として持つため、すなわち\(a\in N_{\varepsilon}\left( a\right) \)が成り立つため、このとき、\begin{equation*}a\in A^{c}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合\(A\)の外点は必ず\(A\)の補集合\(A^{c}\)の要素であるということです。つまり、\(A\)の外部は\(A^{c}\)の部分集合です。\(A^{c}\)の要素ではない点は\(A\)の外点になり得ないため、\(A\)の外点を探す際には\(A\)の補集合\(A^{c}\)の点だけを候補としても問題はありません。

命題(集合の外部はその集合の補集合の部分集合)
距離空間\(X\)の任意の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{e}\subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(点の近傍の補集合の外部)
距離空間\(X\)が与えられたとき、点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)以上の場所にある\(X\)上の点からなる集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right) \geq \varepsilon \right\}
\end{equation*}をとります。この集合の外部は、\begin{equation*}
A^{e}=A^{c}
\end{equation*}となります(演習問題)。したがって、\begin{equation*}
A^{e}\subset A^{c}
\end{equation*}という関係が成立しており、これは先の命題の主張と整合的です。

例(1点集合の外部)
距離空間\(X\)が与えられたとき、点\(a\in X\)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}\left\{ a\right\}
\end{equation*}をとります。この集合の外部は、\begin{equation*}
\left\{ a\right\} ^{e}=X\backslash \left\{ a\right\}
\end{equation*}となります(演習問題)。ちなみに、\begin{equation*}
\left\{ a\right\} ^{c}=X\backslash \left\{ a\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\{ a\right\} ^{e}\subset \left\{ a\right\} ^{c}
\end{equation*}という関係が成立しており、これは先の命題の主張と整合的です。

例(1次元ユークリッド空間上の点の近傍の外部)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。点\(a\in \mathbb{R} \)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \quad \because \text{ユークリッド距離の定義} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \quad \because \text{区間の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} \)の点\(a\)の近傍は点\(a\)を中心とする有界開区間と実質的に等しい概念です。点の近傍の外部は、\begin{eqnarray*}\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert >\varepsilon \right\} \\
&=&\left( -\infty ,a-\varepsilon \right) \cup \left( a+\varepsilon ,+\infty
\right)
\end{eqnarray*}となります(演習問題)。ちなみに、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{c}=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) \geq \varepsilon \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e}\subset \left(
N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{c}
\end{equation*}という関係が成立しており、先の命題の主張と整合的です。

例(2次元ユークリッド空間上の点の近傍の外部)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left(
x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めます。点\(a\in \mathbb{R} ^{2}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\} \quad \because \text{距離の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}<\varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} ^{2}\)の点\(a\)の近傍は点\(a\)を中心とする円盤と実質的に等しい概念です。ただし、円盤の境界、すなわち円を含みません。点の近傍の外部は、\begin{eqnarray*}\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}>\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}>\varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}となります(演習問題)。ちなみに、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{c}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ d\left( x,a\right) \geq \varepsilon \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e}\subset \left(
N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{c}
\end{equation*}という関係が成立しており、先の命題の主張と整合的です。

例(離散空間の部分集合の外部)
離散距離空間\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、その外部は、\begin{equation*}A^{e}=A^{c}
\end{equation*}となります(演習問題)。したがって、\begin{equation*}
A^{c}\subset A^{e}
\end{equation*}という関係が成立しており、これは先の命題の主張と整合的です。

距離空間の部分集合は外点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(有理数空間の外点)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \)は外点を持たないため(演習問題)、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{e}=\phi \end{equation*}となります。空集合は任意の集合の部分集合であるため、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{e}\subset \mathbb{Q} ^{c}
\end{equation*}という関係が成立しており、これは先の命題の主張と整合的です。

 

外部と内部の関係

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、任意の点\(x\in X\)に対して、\begin{align*}x\in A^{i}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}(x)\subset A\quad \because \text{内部の定義}
\\
& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(x)\subset
(A^{c})^{c}\quad \because A=(A^{c})^{c} \\
& \Leftrightarrow \ x\in (A^{c})^{e}\quad \because \text{外部の定義}
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
A^{i}=\left( A^{c}\right) ^{e}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}x\text{は}A\text{の内点}\Leftrightarrow x\text{は}A^{c}\text{の外点}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。また、\begin{align*}
x\in A^{e}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon
}(x)\subset A^{c}\quad \because \text{外部の定義} \\
& \Leftrightarrow \ x\in (A^{c})^{i}\quad \because \text{内部の定義}
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}
\end{equation*}も成り立ちます。つまり、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}x\text{は}A\text{の外点}\Leftrightarrow x\text{は}A^{c}\text{の内点}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。以上の事実を命題としてまとめておきます。

命題(内部と外部の関係)
距離空間\(X\)の任意の部分集合\(A\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A^{i}=\left( A^{c}\right) ^{e} \\
&&\left( b\right) \ A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

距離空間\(X\)の部分集合の内部という概念は\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から定義可能であることを以前に指摘しました。さらに内部が定義されれば、上の命題より、外部という概念を間接的に定義できます。つまり距離空間\(X\)の部分集合\(A\)の外部を、その補集合\(A^{c}\)の内部として定義できるということです。したがって、距離空間\(X\)の部分集合の外部という概念もまた\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から定義可能です。

 

外部を用いた開集合および閉集合の定義

繰り返しになりますが、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}A^{e}\subset A^{c}
\end{equation*}という関係が常に成立します。では逆に、\begin{equation*}
A^{c}\subset A^{e}
\end{equation*}という関係もまた常に成り立つのでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

例(補集合と外部の関係)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}をとると、その外部は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{e}=\left[ a,b\right] ^{c}
\end{equation*}となります。点\(a,b\in \mathbb{R} \)は\(\left( a,b\right) \)の要素である一方で\(\left[ a,b\right] ^{e}\)の要素ではないため、\begin{equation*}\left( a,b\right) ^{c}\subset \left[ a,b\right] ^{e}
\end{equation*}は成り立ちません。

では、どのような条件のもとで\(A^{c}\subset A^{e}\)が成立するのでしょうか。実は、\(A^{c}\)が距離空間\(X\)上の開集合である場合、そしてその場合にのみ\(A^{c}\subset A^{e}\)という関係もまた成立します。

命題(外部による開集合の定義)
距離空間\(X\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{c}\subset A^{e}
\end{equation*}が成り立つことは、\(A^{c}\)が\(X\)上の開集合であるための必要十分条件である。
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以上の命題は、開集合という概念が外部という概念から定義可能であることを意味します。つまり、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{c}\subset A^{e}
\end{equation*}が成り立つこととして、つまり\(A\)の補集合の任意の点が\(A\)の外点であることとして、\(A\)が開集合であることの意味を定義できるということです。さらに、距離空間\(X\)の任意の部分集合\(A\)について\(A^{e}\subset A^{c}\)が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}A^{c}\subset A^{e} &\Leftrightarrow &A^{c}\subset A^{e}\wedge A^{e}\subset
A^{c}\quad \because A^{e}\subset A^{c}\text{は恒真式}
\\
&\Leftrightarrow &A^{c}=A^{e}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A^{c}\subset A^{e}=A^{c}=A^{e}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、上の命題を以下のように言い換えることもできます。

命題(外部による開集合の定義)
距離空間\(X\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{c}=A^{e}
\end{equation*}が成り立つことは、\(A^{c}\)が\(X\)上の開集合であるための必要十分条件である。

閉集合は開集合の補集合として定義されます。したがって、上の命題を以下のように言い換えることもできます。

命題(外部による閉集合の定義)
距離空間\(X\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{c}=A^{e}
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(X\)上の閉集合であるための必要十分条件である。

 

開集合を用いた外部の定義

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、その外部に関して、\begin{equation*}A^{e}=\left( A^{c}\right) ^{i}
\end{equation*}という関係が成り立つことを先に示しました。一般に、距離空間\(X\)の部分集合の内部は\(X\)上の開集合であるため、\(X\)の部分集合である\(A^{c}\)の内部である\(\left( A^{c}\right) ^{i}\)は開集合であり、したがってそれと等しい\(A^{e}\)もまた開集合です。つまり、距離空間\(X\)の任意の部分集合の外部は\(X\)上の開集合であるということです。

命題(外部は開集合)
距離空間\(X\)の任意の部分集合\(A\)について、その外部\(A^{e}\)は\(X\)上の開集合である。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その外部\(A^{e}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であり、なおかつ\(X\)上の開集合です。\(A^{c}\)の部分集合であるような\(X\)上の開集合は\(A^{e}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{e}\)はそのような集合の中でも最大のものです。つまり、\(A^{c}\)の部分集合であるような\(X\)上の開集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{e}\)の間には\(B\subset A^{e}\)という関係が成り立つということです(演習問題)。

命題(開集合を用いた外部の定義)
距離空間\(X\)の任意の部分集合\(A\)について、その外部\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であるような開集合の中でも最大のものである。すなわち、距離空間\(X\)の開集合系を\(\mathcal{O}\)で表すとき、\(A^{e}\in \mathcal{O}\)であるとともに、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{O}:\left( B\subset A^{c}\Rightarrow B\subset
A^{e}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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距離空間\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{O}\)に属する\(X\)上の開集合の中でも、\(A^{c}\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の外部\(A^{e}\)になります。したがって距離空間\(X\)の部分集合の外部という概念は\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義することも可能です。

 

演習問題

問題(点の近傍の外部)
距離空間\(X\)が与えられたとき、点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)以上の場所にある\(X\)上の点からなる集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right) \geq \varepsilon \right\}
\end{equation*}をとります。この集合の外部は、\begin{equation*}
A^{e}=A^{c}
\end{equation*}であることを示してください。

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問題(1点集合の外部)
距離空間\(X\)が与えられたとき、点\(a\in X\)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}\left\{ a\right\}
\end{equation*}をとります。この集合の外部は、\begin{equation*}
\left\{ a\right\} ^{e}=X\backslash \left\{ a\right\}
\end{equation*}であることを示してください。

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問題(離散空間の部分集合の外部)
離散距離空間\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、その外部は、\begin{equation*}A^{e}=A^{c}
\end{equation*}であることを示してください。

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問題(点の開近傍の外部)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする開近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。このとき、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{e}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(有理数空間の外部)
1次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)においては、すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)について、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{e}=\phi \end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(包含関係と外部)
距離空間\(X\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow B^{e}\subset A^{e}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(和集合および共通部分と外部)
距離空間\(X\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) ^{e}=A^{e}\cap B^{e}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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