集積点を用いた距離空間上のコンパクト集合の表現（集積点定理）

距離空間上のコンパクト集合

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合であることとは、\(A\)の開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在することとして定義されます。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( X\right) \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たす集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき（\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)は\(A\)の開被覆）、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists n\in \mathbb{N} :\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \Lambda \\
&&\left( d\right) \ A\subset \bigcup_{i=1}^{n}A_{\lambda _{i}}
\end{eqnarray*}が成り立つ（\(\left\{ A_{\lambda_{i}}\right\} _{i=1}^{n}\)は\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の有限部分被覆）ということです。ただし、\(\mathcal{O}\left( X\right) \)は\(X\)の開集合系を表す記号です。

コンパクト集合は様々な形で表現できます。今回は集積点を用いたコンパクト集合の定義について解説します。

集積点定理

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in X\)が\(A\)の集積点であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の集積点であることとは、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(A\)の点が必ず存在することを意味します。上の定義において、点\(a\)は集合\(A\)の要素であるとまでは指定されていません。つまり、\(A\)の集積点は\(A\)の要素である場合とそうではない場合の両方が起こり得るということです。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)と点\(a\in X\)が与えられたとき、\(A\)の要素を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する点列が存在することは、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A\backslash \left\{ a\right\} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在することは、\(a\)が\(A\)の集積点であるための必要十分条件です。

距離空間の部分集合が有限集合である場合、その集合の集積点は存在しません。

以上の議論により、距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が集積点を持つためには、\(A\)は無限集合でなければならないことが明らかになりました。一方、距離空間\(X\)上のコンパクト集合\(A\)が与えられたとき、無限個の要素を持つ\(A\)の任意の部分集合は\(A\)上に集積点を持つことを保証できます。これを集積点定理（accumulation point theorem）と呼びます。

集積点を用いたコンパクト集合の表現

距離空間\(X\)上のコンパクト集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の任意の無限部分集合\(B\)は\(A\)上に集積点を持つことが明らかになりましたが、逆の主張も成り立ちます。具体的には以下の通りです。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられた状況において、その部分集合\(B\subset A\)を任意に選びます。有限集合は集積点を持たないため、\(B\)が有限集合である場合には\(B\)の集積点は存在しません。一方、\(B\)が無限集合である場合には、\(B\)の集積点が存在する場合と存在しない場合の双方が起こり得ます。ただし、任意の無限集合\(B\)の集積点が\(A\)上に存在する場合には、\(A\)が\(X\)上の距離空間になることが保証されます。証明は必要な道具が揃った段階で行います。したがって以下を得ます。

繰り返しになりますが、上の命題中の主張2において、\(B\)が有限集合である場合について何も語っていません。\(B\)が有限集合である場合には\(B\)の集積点が存在しないことが確定しているからです。

上の命題において、そもそも\(A\)が有限集合である場合には主張は成り立つでしょうか。有限集合はコンパクト集合であるため、この場合には\(A\)は\(X\)上のコンパクト集合です。つまり、命題中の主張1は成り立ちます。一方、\(A\)が有限集合である場合には無限部分集合\(B\subset A\)がそもそも存在しないため、命題中の主張2もまた成り立つものと解釈できます。

集積点を用いたコンパクト距離空間の表現

距離空間\(X\)がコンパクト距離空間であることとは、\(X\)が\(X\)上のコンパクト集合であることを意味します。より正確には、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( X\right) \\
&&\left( b\right) \ X=\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たす集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき（\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)は\(X\)の開被覆）、それに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists n\in \mathbb{N} :\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \Lambda \\
&&\left( d\right) \ X=\bigcup_{i=1}^{n}A_{\lambda _{i}}
\end{eqnarray*}が成り立つ（\(\left\{ A_{\lambda_{i}}\right\} _{i=1}^{n}\)は\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の有限部分被覆）ということです。

距離空間に関する集積点定理は以下の通りです。証明は先と同様です。

コンパクト距離空間\(X\)の任意の無限部分集合\(A\)は\(X\)上に集積点を持つことが明らかになりましたが、逆の主張も成り立ちます。具体的には以下の通りです。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)を任意に選びます。\(A\)が有限集合である場合には\(A\)の集積点は存在しません。一方、\(A\)が無限集合である場合には、\(A\)の集積点が存在する場合と存在しない場合の双方が起こり得ます。ただし、任意の無限集合\(A\)の集積点が\(X\)上に存在する場合には、\(X\)上のコンパクト距離空間になることが保証されます。証明はコンパクト部分集合に関する先の命題と同様です。したがって以下を得ます。

上の命題において、そもそも\(X\)が有限集合である場合には主張は成り立つでしょうか。有限集合はコンパクト集合であるため、この場合には\(X\)はコンパクト距離空間です。つまり、命題中の主張1は成り立ちます。一方、\(X\)が有限集合である場合には無限部分集合\(A\subset X\)がそもそも存在しないため、命題中の主張2もまた成り立つものと解釈できます。

演習問題