可分空間であるような距離空間
距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
距離空間\(X\)の部分集合\(A\subset X\)が以下の条件\begin{equation*}A^{a}=X
\end{equation*}を満たす場合には、つまり、\(A\)の閉包が\(X\)と一致する場合には、\(A\)を\(X\)の稠密部分集合と呼びます。
集合\(A\subset X\)が与えられた状況を想定します。点\(x\in X\)を任意に選んだとき、それに対して、\(A\)の点を項とするとともに点\(x\)へ収束する点列が存在することは、\(A\)が\(X\)の稠密部分集合であるための必要十分条件です。したがって、\(A\)が\(X\)の稠密部分集合であることとは、\(X\)上の点\(x\)を任意に選んだとき、\(x\)からいくらでも近い場所に\(A\)の点が無数に存在することを意味します。
\end{equation*}と定めます。すべての有理数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{Q} \end{equation*}は\(\mathbb{R} \)の稠密部分集合です。以上の事実は、実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\)からいくらでも近い場所に有理数が無数に存在することを意味します（演習問題）。
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。有理数を成分とする順序対からなる集合\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{2}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)の稠密部分集合です。以上の事実は、2次元ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{x}\)からいくらでも近い場所に有理数を成分とする2次元ベクトルが無数に存在することを意味します（演習問題）。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(X\)の稠密部分集合は\(X\)自身のみです。
距離空間\(X\)が可算集合であるような稠密部分集合を持つ場合には、\(X\)は可分空間（separable space）であると言います。
距離空間\(X\)が可分空間である場合、\(X\)は可算な稠密部分集合\(A\)を持ちます。稠密部分集合の定義より、距離空間上の点\(x\in X\)を任意に選んだとき、点\(x\)へ収束する\(A\)上の点列\(\left\{a_{n}\right\} \)が存在することが保証されます。点列の極限の定義より、以上の事実は、\(x\)からいくらでも近い場所に\(\left\{ a_{n}\right\} \)の点、すなわち\(A\)の要素が無数に存在することを意味します。しかも\(A\)は可算集合であるため、\(x\)からいくらでも近い場所にある\(A\)の要素の個数は可算です。つまり、点\(x\)を任意に選んだとき、そこからいくらでも近い場所に可算個の\(A\)の要素が存在することが保証されるため、この事実を上手く利用することにより、非可算個の点を対象とした複雑な議論を、可算個の\(A\)の要素を対象としたシンプルな議論へ帰着させることができます。
\end{equation*}と定めます。先に示したように、すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)の稠密部分集合です。\(\mathbb{Q} \)は可算集合であるため、以上の事実は、\(\mathbb{R} \)が可分空間であることを意味します。
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。先に示したように、有理数を成分とする順序対からなる集合\(\mathbb{Q} ^{2}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の稠密部分集合です。\(\mathbb{Q} ^{2}\)は可算集合であるため、以上の事実は、\(\mathbb{R} ^{2}\)が可分空間であることを意味します。
距離空間は可分空間であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。先に示したように、\(X\)の稠密部分集合は\(X\)自身のみです。したがって、\(X\)が可算集合である場合には\(X\)は可分空間であるのに対し、\(X\)が非可算集合である場合には\(X\)は可分空間ではありません。つまり、離散距離空間については、それが可算集合であることと可分空間であることは必要十分です。
可分空間と第2可算公理の関係
距離空間\(X\)における開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)の基本開集合系\(\mathfrak{B}\)を任意に選びます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{O}\left( X\right) \ ,\exists \mathfrak{B}^{\prime
}\subset \mathfrak{B}:A=\bigcup \mathfrak{B}^{\prime }
\end{equation*}を満たす開集合族\(\mathfrak{B}\subset \mathcal{O}\left( X\right) \)を任意に選ぶということです。以上の事実は、\(X\)における任意の開集合\(A\)が\(\mathfrak{B}\)の要素の和集合として表現可能であることを意味します。
開集合族\(\mathfrak{B}\subset \mathcal{O}\left(X\right) \)が\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)の基本開集合系であることは、以下の条件\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{O}\left( X\right) \ ,\forall a\in A,\ \exists B\in
\mathfrak{B}:a\in B\subset A
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。以上の事実は、\(X\)における開集合\(A\)とその要素\(a\)を任意に選んだとき、\(a\)を要素として持つとともに\(A\)の部分集合であるような開集合を\(\mathfrak{B}\)の中から必ず選ぶことができることを意味します。
いずれにせよ、距離空間\(X\)が第2可算公理を満たす場合には可算集合であるような基本開集合系\(\mathfrak{B}\)が存在します。加えて、第2可算公理を踏まえると、\(X\)が可分であることを導くことができます。第2可算公理を満たす距離空間は可分空間であるということです。
\end{equation*}と定めます。先に示したように\(\mathbb{R} \)は可分空間です。また、\(\mathbb{R} \)は第2可算公理を満たすため、先の命題より、やはり\(\mathbb{R} \)は可分空間です。
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。先に示したように\(\mathbb{R} ^{2}\)は可分空間です。また、\(\mathbb{R} ^{2}\)は第2可算公理を満たすため、先の命題より、やはり\(\mathbb{R} ^{2}\)は可分空間です。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。先に示したように\(X\)が可算集合であることと可分空間であることは必要十分です。また、\(X\)が可算集合である場合には\(X\)は第2可算公理を満たすため、先の命題より、やはり\(X\)が可算集合である場合には\(X\)は可分空間です。
第2可算公理を満たす距離空間は可分空間であることが明らかになりましたが、逆の主張もまた成り立ちます。つまり、可分空間であるような距離空間は第2可算公理を満たします。
以上の2つの命題より、距離空間\(X\)が第2可算公理を満たすことと、\(X\)が可分空間であることが必要十分であることが明らかになりました。
距離空間が第2可算公理を満たすこととリンデレーフ空間は必要十分であるため以下を得ます。
- \(X\)は第2可算公理を満たす。
- \(X\)はリンデレーフ空間である。
- \(X\)は可分空間である。
演習問題
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{Q} \)が\(\mathbb{R} \)の可算な稠密部分集合であることを示すことを通じて\(\mathbb{R} \)が可分空間であることを示してください。
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。\(\mathbb{Q} ^{2}\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)の可算な稠密部分集合であることを示すことを通じて\(\mathbb{R} ^{2}\)が可分空間であることを示してください。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(X\)が可算集合であることと\(X\)が可分空間であることが必要十分であることを示してください。
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