距離空間と第2可算公理

点の基本近傍系

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)がそれぞれ与えられたとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義される\(X\)の部分集合です。点\(a\)の近傍をすべて集めてできる\(X\)の部分集合族を点\(a\)の近傍系と呼び、これを、\begin{equation*}N\left( a\right) =\left\{ N_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ 0<\varepsilon
<+\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が\(X\)上の開集合であることとは、\(A\)の点\(a\)を任意に選んだときに、\(A\)の部分集合であるような\(a\)の近傍が存在すること、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。同じことを点\(a\)の近傍系\(N\left( a\right) \)を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists N\in N\left( a\right) :N\subset A
\end{equation*}となります。また、距離空間\(X\)上の開集合をすべて集めることによりできる集合族を\(X\)の開集合系と呼び、これを、\begin{equation*}\mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}で表記します。

開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)の部分集合\(\mathfrak{B}\subset \mathcal{O}\left( X\right) \)が与えられた状況を想定します。つまり、\(\mathfrak{B}\)は開集合を要素として持つ集合族です。その上で、それぞれの開集合\(A\in \mathcal{O}\left( X\right) \)を\(\mathfrak{B}\)の要素である開集合の和集合として表現できるのであれば、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{O}\left( X\right) \ ,\exists \mathfrak{A}\subset
\mathfrak{B}:A=\bigcup \mathfrak{A}
\end{equation*}を満たす開集合の族\(\mathfrak{B}\subset \mathcal{O}\left( X\right) \)が存在する場合には、\(\mathfrak{B}\)を\(\mathcal{O}\left( X\right) \)の基本開集合系（fundamental system of open sets）や開基（open base）などと呼びます。上の定義中の\(\mathfrak{A}\)は開集合の族\(\mathfrak{B}\)の「部分集合」を表す記号であることに注意してください。集合\(A\)を集合族\(\mathfrak{A}\)の要素の和集合として表すことができることとは、\(A\)を\(\mathfrak{B}\)の部分集合の和集合として表すことができることと同義であるため、上のような表現になっています。

距離空間\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)の基本開集合系\(\mathfrak{B}\)が存在する場合、どのようなメリットがあるのでしょうか。開集合系\(\mathcal{O}\left(X\right) \)の基本開集合系\(\mathfrak{B}\)が存在する場合、任意の開集合\(A\in \mathcal{O}\left( X\right) \)は基本開集合系\(\mathfrak{B}\)に属する開集合の和集合として表すことができます。つまり、基本開集合系\(\mathfrak{B}\)さえ与えられていれば、それをもとに任意の開集合を表現できるため、開集合について議論する際に開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)のすべての要素を議論の対象とする必要はなく、基本開集合系\(\mathfrak{B}\)の要素だけを議論の対象とすれば十分です。基本開集合系が存在する場合、議論の対象とすべき開集合の数を減らすことができるため、それにより議論を簡素化できるということです。

第2可算公理

距離空間\(X\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)の基本開集合系\(\mathfrak{B}\)の中に可算集合であるようなものが存在する場合、\(X\)は第2可算公理（second axiom of countability）を満たすと言います。

繰り返しになりますが、開集合系\(\mathcal{O}\left( X\right) \)の基本開集合系\(\mathfrak{B}\)が存在する場合には、任意の開集合\(A\in \mathcal{O}\left( X\right) \)を基本開集合系\(\mathfrak{B}\)の要素の和集合として表現できるため、開集合について議論する際に\(\mathcal{O}\left( X\right) \)に属するすべての開集合を議論の対象とする必要はなく、基本開集合系\(\mathfrak{B}\)に属する開集合だけを議論の対象とすれば十分です。しかも、第2可算公理が成り立つ場合には、可算集合であるような基本開集合系\(\mathfrak{B}\)が存在することが保証されるため、この場合、可算個の開集合だけを議論の対象とすれば十分です。

距離空間は第2可算公理を満たすとは限らない

距離空間は第2可算公理を満たすとは限りません。以下の例より明らかです。

第1可算公理と第2可算公理の関係

距離空間\(X\)の点\(a\in X\)を任意に選んだ上で、その近傍系\(N\left( a\right) \)をとります。このとき、その部分集合\(N^{\ast }\left( a\right) \subset N\left( a\right) \)の中に以下の条件\begin{equation*}\forall N\in N\left( a\right) ,\ \exists N^{\ast }\in N^{\ast }\left(
a\right) :N^{\ast }\subset N
\end{equation*}を満たすものが存在する場合には、つまり、点\(a\)の近傍\(N\in N\left( a\right) \)を任意に選んだとき、\(N\)の部分集合であるような点\(a\)の近傍\(N^{\ast }\)を\(N^{\ast }\left( a\right) \)から常にとることができるのであれば、このような\(N\left( a\right) \)の部分集合\(N^{\ast }\left(a\right) \)を点\(a\)の基本近傍系と呼びます。任意の点\(a\in X\)に対して、可算集合であるような基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)が必ず存在する場合、そのような距離空間\(X\)は第1可算公理を満たすと言います。

任意の距離空間は第1可算公理を満たします。その一方で、先に例を通じて確認したように、距離空間の中には第2可算公理を満たすものと満たさないものの双方が存在します。一方、距離空間が第2可算公理を満たす場合、その距離空間は第1可算公理を満たすことが保証されます。

演習問題