距離空間とリンデレーフの被覆定理

リンデレーフの被覆定理

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間\(X\)の部分集合\(A\subset X\)が与えられた状況において、その開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( X\right) \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}が成り立つということです。ただし、\(\mathcal{O}\left( X\right) \)は\(X\)の開集合系です。\(A\)が\(X\)上のコンパクト集合である場合には\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の有限部分被覆が存在することが保証されます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \exists n\in \mathbb{N} :\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \Lambda \\
&&\left( d\right) \ A\subset \bigcup_{i=1}^{n}A_{\lambda _{i}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(A\)がコンパクト集合である場合には、開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素である開集合によって\(A\)を覆ったつもりでも、実は、\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)の要素である有限個の開集合によって\(A\)を覆えていることが保証されるということです。では、集合\(A\)がコンパクトであるとは限らない場合にも、その被覆に関して何らかの主張が可能なのでしょうか。

距離空間\(X\)が第2可算公理を満たす状況を想定します。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{O}\left( X\right) \ ,\exists \mathfrak{A}\subset
\mathfrak{B}:A=\bigcup \mathfrak{A}
\end{equation*}を満たす可算な基本開集合系\(\mathfrak{B}\subset \mathcal{O}\left(X\right) \)が存在するということです。以上の事実は、可算個の開集合からなる集合族\(\mathfrak{B}\)が存在して、\(X\)における任意の開集合\(A\in \mathcal{O}\left( X\right) \)が\(\mathfrak{B}\)の要素の和集合として表現できることを意味します。

集合\(A\subset X\)を任意に選びます。ただし、\(A\)は\(X\)上のコンパクト集合である必要はありません。その上で、集合\(A\)の開被覆\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選んだとき、\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の可算部分被覆が必ず存在することが第2可算公理より導かれます。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\left( X\right) \\
&&\left( b\right) \ A\subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たす\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)を任意に選んだとき、それに対して可算個の添字\(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots\in \Lambda \)が存在して、\begin{equation*}A\subset \bigcup_{i\in \mathbb{N} }A_{\lambda _{i}}
\end{equation*}とすることができるということです。以上の命題をリンデレーフの被覆定理（Lindelöf’s covering theorem）と呼びます。ちなみに、エルンスト・レナード・リンデレフ（Ernst Leonard Lindelöf）はフィンランドの数学者です。

一般に、位相空間\(X\)において、任意の開被覆が可算部分被覆を持つ場合、そのような位相空間\(X\)をリンデレーフ空間（Lindelöf space）と呼びます。先の命題は、第2可算公理を満たす距離空間がリンデレーフ空間であることを主張しています。

リンデレーフ空間と第2可算公理の関係

第2可算公理を満たす距離空間はリンデレーフ空間であることが明らかになりましたが、逆の主張もまた成り立ちます。つまり、リンデレーフ空間であるような距離空間は第2可算公理を満たします。

以上の2つの命題より、距離空間\(X\)が第2可算公理を満たすことと、\(X\)がリンデレーフ空間であることが必要十分であることが明らかになりました。

距離空間はリンデレーフ空間であるとは限らない

任意の距離空間\(X\)は第1可算公理を満たす一方で、第2可算公理を満たすとは限りません。距離空間\(X\)が第2可算公理を満たすことと\(X\)がリンデレーフ空間であることは必要十分であるため、距離空間\(X\)が第2可算公理を満たさないことと\(X\)がリンデレーフ空間ではないことは必要十分です。

演習問題