距離空間と第1可算公理

点の基本近傍系

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)がそれぞれ与えられたとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義される\(X\)の部分集合です。点\(a\)の近傍をすべて集めることにより得られる\(X\)の部分集合族を点\(a\)の近傍系と呼び、これを、\begin{equation*}N\left( a\right) =\left\{ N_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ 0<\varepsilon
<+\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。

点\(a\in X\)を任意に選んだ上で、その近傍系\(N\left(a\right) \)をとります。このとき、その部分集合\(N^{\ast }\left( a\right) \subset N\left( a\right) \)の中に以下の条件\begin{equation*}\forall N\in N\left( a\right) ,\ \exists N^{\ast }\in N^{\ast }\left(
a\right) :N^{\ast }\subset N
\end{equation*}を満たすものが存在する場合には、つまり、点\(a\)の近傍\(N\in N\left( a\right) \)を任意に選んだとき、\(N\)の部分集合であるような点\(a\)の近傍\(N^{\ast }\)を\(N^{\ast }\left( a\right) \)から常にとることができるのであれば、このような\(N\left( a\right) \)の部分集合\(N^{\ast }\left(a\right) \)を点\(a\)の基本近傍系（fundamental system of neighborhoods）や近傍基底（local base）または近傍基（base of neighborhoods）などと呼びます。

点\(a\)の近傍\(N\in N\left( a\right) \)は何らかの半径\(\varepsilon >0\)を用いて、\begin{equation*}N=N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}と表すことができます。つまり、点\(a\)の近傍\(N\)を指定することとその半径\(\varepsilon \)を指定することは同義であるため、基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \subset N\left( a\right) \)が満たすべき先の条件を、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N^{\ast }\in N^{\ast }\left( a\right)
:N^{\ast }\subset N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}と表現することもできます。点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)を任意に選んだとき、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の部分集合であるような点\(a\)の近傍\(N^{\ast }\)を基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)から常にとることができるということです。

距離空間上の点\(a\in X\)の基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)が存在する場合、どのようなメリットがあるのでしょうか。点\(a\)の基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)が存在する状況において、それぞれの点\(x\in X\)が点\(a\)とどれくらい離れているかを調べようとしている状況を想定します。点\(x\)と点\(a\)の距離が\(\varepsilon \)よりも短いというためには\(x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \)が成り立つことを示す必要があります。ただ、基本近傍系の定義より、この近傍\(N_{\varepsilon }\left(a\right) \)の部分集合であるような近傍\(N^{\ast }\)が基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)の中に存在することが保証されます。つまり、\begin{equation*}x\in N^{\ast }\subset N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす点\(a\)の近傍\(N^{\ast}\in N^{\ast }\left( a\right) \)が存在するということです。したがって、\(x\in N^{\ast }\)が成り立つことを示すことによっても、点\(x\)と点\(a\)の距離が\(\varepsilon \)よりも短いことを示したことになります。同様の議論は任意の距離\(\varepsilon \)について成立するため、結局、点\(a\)との近さを調べるためには基本近傍系\(N^{\ast}\left( a\right) \)に属する近傍が与えられれば十分であり、近傍系\(N\left( a\right) \)に属するすべての近傍を必要としません。点\(a\)の基本近傍系が存在する場合、点\(a\)からの近さを調べる際に議論の対象とすべき近傍を減らすことができるため、それにより議論を簡素化できるということです。

第1可算公理

距離空間\(X\)上の点\(a\in X\)を任意に選んだとき、それに対して可算個の要素を持つ基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)が存在する場合、\(X\)は第1可算公理（first axiom of countability）を満たすと言います。特定の点\(a\in X\)に対して可算個の要素を持つ基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)が存在することを示しただけでは\(X\)が第1可算公理を満たすことを示したことにはなりません。距離空間\(X\)が第1可算公理を満たすと言うためには、点\(a\in X\)を任意に選んだとき、それに対して可算個の要素を持つ基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)がそれぞれ存在することを示す必要があります。

繰り返しになりますが、点\(a\in X\)の基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)が存在する場合には、点\(a\)との近さを調べるためには基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)に属する近傍が与えられれば十分です。しかも、第1可算公理が成り立つ場合には、可算集合であるような基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)が存在することが保証されるため、この場合、点\(a\)からの近さを調べる際に可算個の近傍だけを議論の対象とすることができます。しかも、距離空間\(X\)上の任意の点\(a\)について同様の議論が成り立ちます。

先に例を通じて確認したように、点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}N^{\ast }\left( a\right) =\left\{ N_{\frac{1}{n}}\left( a\right) \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}と定義される\(X\)の部分集合族は点\(a\)の基本近傍系です。しかも、\(\mathbb{N} \)は可算集合であるため\(N^{\ast }\left( a\right) \)は可算集合族です。\(X\)上の任意の点\(a\)について同様の議論が成立しますが、この事実は\(X\)が第1可算公理を満たすことを意味します。任意の距離空間について同様の議論が成り立つため以下を得ます。

開集合を用いた第1可算公理の表現

距離空間\(X\)の点\(a\in X\)が与えられた状況を想定します。点\(a\)を要素として持つ\(X\)上の開集合からなる集合を、\begin{equation*}\mathcal{O}_{a}=\left\{ A\in \mathcal{O}\left( X\right) \ |\ a\in A\right\}
\end{equation*}で表記します。ただし、\(\mathcal{O}\left( X\right) \)は\(X\)の開集合系です。点\(a\)を中心とする近傍は点\(a\)を要素として持つ\(X\)上の開集合であるため、点\(a\)の近傍系\(N\left( a\right) \)との間に以下の関係\begin{equation*}N\left( a\right) \subset \mathcal{O}_{a}
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。先の集合\(\mathcal{O}_{a}\)に対して、以下の条件\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{O}_{a},\ \exists A^{\ast }\in \mathcal{O}_{a}^{\ast
}:A^{\ast }\subset A
\end{equation*}を満たす可算部分集合\(\mathcal{O}_{a}^{\ast }\subset \mathcal{O}_{a}\)が存在する状況を想定します。つまり、点\(a\)を要素として持つ開集合\(A\in \mathcal{O}_{a}\)を任意に選んだとき、\(A\)の部分集合であるような点\(a\)を要素として持つ開集合\(A^{\ast }\)を\(\mathcal{O}_{a}\)の可算部分集合である\(\mathcal{O}_{a}^{\ast }\)から常にとることができるということです。任意の点\(a\in X\)について以上の条件が成り立つことは、距離空間\(X\)が第1可算公理を満たすための必要十分条件です。

縮小基本近傍系

任意の距離空間\(X\)は第1可算公理を満たすことが明らかになりました。したがって、点\(a\in X\)を任意に選んだとき、点\(a\)の可算基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)が存在することが保証されます。可算基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)は可算集合であるため、その要素である点\(a\)の近傍に対して、\begin{equation*}N^{1}\left( a\right) ,\ N^{2}\left( a\right) ,\ N^{3}\left( a\right) ,\cdots
\end{equation*}と番号を振ることができます。これに加えてさらに、\begin{equation*}
N^{1}\left( a\right) \supset N^{2}\left( a\right) \supset N^{3}\left(
a\right) \supset \cdots
\end{equation*}という条件が成り立つ場合には、このような可算基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)を縮小基本近傍系（nested fundamental system of neighborhoods）や縮小近傍基底（nested local base）または縮小近傍基（nested base of neighborhoods）などと呼びます。

点\(a\)の可算基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)が与えられれば、そこから点\(a\)の縮小基本近傍系を常に作ることができます。

縮小基本近傍系から生成される収束点列

距離空間\(\left( X,d\right) \)上の点\(a\in X\)の縮小基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)が与えられたとき、その要素である点\(a\)の近傍の間には以下の関係\begin{equation*}N^{1}\left( a\right) \supset N^{2}\left( a\right) \supset N^{3}\left(
a\right) \supset \cdots
\end{equation*}が成り立ちます。その上で、以下の条件\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in N^{n}\left( a\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{n}\)を項とする点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ場合、この点列は点\(a\)へ収束することが保証されます。つまり、点\(a\)の縮小基本近傍系の要素である近傍から要素を1つずつ選ぶことにより得られる点列は必ず点\(a\)へ収束します。

演習問題