孤立点
距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
距離空間の点\(a\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in X\ |\ d\left( x,a\right)
<\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in X\)が\(A\)の集積点であることとは、点\(a\)の任意の近傍が\(a\)とは異なる\(A\)の点を要素として持つこと、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。定義より、\(A\)の集積点は必ずしも\(A\)の要素であるとは限りません。一方、点\(a\)が集合\(A\)の要素であるとともに\(A\)の集積点でない場合には、すなわち、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in A \\
&&\left( b\right) \ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\cap \left( A\backslash \left\{ a\right\} \right) =\phi
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、この点\(a\)を集合\(A\)の孤立点（isolated point）と呼びます。
集積点とは異なり、集合\(A\)の孤立点は\(A\)の点でなければなりません。\(A\)の点の中でも\(A\)の集積点でないものを\(A\)の孤立点と呼ぶということです。したがって、\(A\)の孤立点からなる集合は、\begin{equation*}A\backslash A^{d}
\end{equation*}となります。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の集積点からなる集合、すなわち導集合です。
以上の事実は、\(A\)上の点は\(A\)の集積点または孤立点のどちらか一方であることも意味します。
\end{equation*}である。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合である。
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}を定義します。導集合は、\begin{equation*}
\left( a,d\right) ^{d}=\left[ a,d\right] \end{equation*}であるため、孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}
\left( a,b\right) \backslash \left( a,b\right) ^{d} &=&\left( a,b\right)
\backslash \left[ a,b\right] \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left( a,b\right) \)は孤立点を持ちません。
\end{equation*}と定めます。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。導集合は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{d}=\left[ a,d\right] \end{equation*}であるため、孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}
\left[ a,b\right] \backslash \left[ a,b\right] ^{d} &=&\left[ a,b\right] \backslash \left[ a,b\right] \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left[ a,b\right] \)は孤立点を持ちません。
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}
A\backslash A^{d} &=&A\backslash \left\{ 0\right\} \\
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(A\)のすべての要素が\(A\)の孤立点です。この集合\(A\)のように、孤立点だけからなる集合を離散集合（discrete set）と呼びます。
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \cup \left\{ 0\right\} \\
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,0,\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}
A\backslash A^{d} &=&A\backslash \left\{ 0\right\} \\
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(0\)以外の\(A\)のすべての要素が\(A\)の孤立点です。\(A\)は孤立点ではない点\(0\)を要素として持つため、\(A\)は離散集合ではありません。
\end{equation*}と定めます。すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)の導集合は、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{d}=\mathbb{R} \end{equation*}であるため、孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}\mathbb{Q} \backslash \mathbb{Q} ^{d} &=&\mathbb{Q} \backslash \mathbb{R} \\&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{Q} \)は孤立点を持ちません。
\end{equation*}と定めます。実数空間\(\mathbb{R} \)の導集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{d}=\mathbb{R} \end{equation*}であるため、孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}\mathbb{R} \backslash \mathbb{R} ^{d} &=&\mathbb{R} \backslash \mathbb{R} \\&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} \)は孤立点を持ちません。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。非空の部分集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、その導集合は、\begin{equation*}A^{d}=\phi
\end{equation*}であるため、孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}
A\backslash A^{d} &=&A\backslash \phi \\
&=&A
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(A\)上のすべての点が\(A\)の孤立点です。
\end{equation*}となります。したがって、孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}
\phi \backslash \phi ^{d} &=&\phi \backslash \phi \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\phi \)は孤立点を持ちません。
孤立点であるための必要十分条件
距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in X\)が\(A\)の孤立点であることとは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in A \\
&&\left( b\right) \ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\cap \left( A\backslash \left\{ a\right\} \right) =\phi
\end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。これは、点\(a\)以外の\(A\)の点を要素として持たない点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)が存在するということです。さらに、\(a\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \)かつ\(a\in A\)であることを踏まえると、上の条件は、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)と\(A\)が共有する点が\(a\)だけであること、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\left\{
a\right\}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、点\(a\)が\(A\)の孤立点であることとは、十分小さな半径\(\varepsilon >0\)のもとでは近傍\(N_{\varepsilon}\left( a\right) \)の中に\(a\)以外の\(A\)の点が存在しないことを意味します。孤立点という名称の由来はここにあります。
a\right\}
\end{equation*}が成り立つことは、点\(a\)が\(A\)の孤立点であるための必要十分条件である。
\end{equation*}と定めます。すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} \)は\(\mathbb{R} \)の部分集合です。自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選びます。半径が\(\frac{1}{2}\)であるような点\(n\)の近傍は、\begin{equation*}N_{\frac{1}{2}}\left( n\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left( n-\frac{1}{2},n+\frac{1}{2}\right) \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
N_{\frac{1}{2}}\left( n\right) \cap \mathbb{N} =\left\{ n\right\}
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より\(n\)は\(\mathbb{N} \)の孤立点です。任意の自然数\(n\)について同様の議論が成り立つため、自然数はいずれも\(\mathbb{N} \)の孤立点であることが明らかになりました。
触点・集積点・孤立点の関係
距離空間\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}A^{a}=A\cup A^{d}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包であり、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合です。また、\(A\)の孤立点からなる集合は\(A\backslash A^{d}\)です。このとき、\begin{eqnarray*}A^{a} &=&A\cup A^{d} \\
&=&\left( \left( A\backslash A^{d}\right) \cup A^{d}\right) \cup A^{d} \\
&=&\left( A\backslash A^{d}\right) \cup A^{d}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A^{a}=\left( A\backslash A^{d}\right) \cup A^{d}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(A\)の閉包は\(A\)の孤立点からなる集合と\(A\)の導集合に分割されるということです。言い換えると、\(A\)の孤立点と集積点をすべて集めれば\(A\)のすべての触点が得られると言うことです。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包、\(A\backslash A^{d}\)は\(A\)の孤立点からなる集合、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合である。
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